Einführung

Sie können (spezielle) Funktionen verwenden, die im Bereich der Physik im Paket scipy.special [1] erscheinen.


from scipy.special import *

** Typische (spezielle) Funktionsverwendungen (Funktionsnamen, Argumente usw.) sind nachstehend zusammengefasst, damit sie bei der Durchführung wissenschaftlicher / technischer Berechnungen mit Python als angemessen bezeichnet werden können. ** ** ** Auf der offiziellen Seite [1] finden Sie eine ausführliche Erläuterung der Optionen. Die Definition von Sonderfunktionen ist in Referenz [2] leicht verständlich beschrieben und hilfreich.

Dieses Papier wird nach Bedarf überarbeitet und überarbeitet.

● 7. August 2017: Perfekte elliptische Integrale vom Typ 1 und Typ 2 hinzugefügt.

Einsiedlerpolypoly

H_n(x)=n!\sum_{m=0}^{\lfloor n / 2 \rfloor}\dfrac{(-1)^m(2x)^{n-2m}}{m!(n-2m)!} ($ \ Lfloor \ rfloor $ ist das [Gaußsche Symbol](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8A%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8% E5% A4% A9% E4% BA% 95% E9% 96% A2% E6% 95% B0))

** Anwendung in der Physik **: Intrinsische Lösung des linearen Rückstellkraftpotentials für die stationäre Schrödinger-Gleichung in der Quantenmechanik [3] usw.

#Verwendung
from scipy.special import *
eval_hermite(n, x)

Legendre Polypoly

\begin{align} P_n(x) = 2^n\cdot \sum_{k=0}^n x^k {n \choose k}{\frac{n+k-1}2\choose n}\end{align}

Anwendungsbeispiel in der Physik: [Laplace-Gleichung](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E6% 96% B9% E7% A8% 8B% E5% BC% 8F) [4], Schrödinger-Gleichung für dreidimensionales zentrales Kraftfeld [4], [Multipolare Expansion] in der Elektromagnetik (https://en.wikipedia.org) / wiki / Multipole_expansion) Erscheint in [4] usw.

#Verwendung
eval_legendre(n, x)

Legendre-Polynome

P_n{}^m (t) = {1\over 2^n} (1-t^2)^{m \over 2} \sum_{j=1}^{\lfloor (n-m) / 2\rfloor} {(-1)^j (2n-2j)! \over j!(n-j)!(n-2j-m)!}t^{n-2j-m} (n\leq m, \ $|t|\leq 1$)

** Anwendungsbeispiel in der Physik **: Lösung der Laplace-Gleichung, Darstellung der sphärischen harmonischen Funktion

#Verwendung
lpmv(m, n, t)

Laguerre-Polypoly

$L_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} \frac{n!}{k!} x^k $

** Anwendung in der Physik **: Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung unter Coulomb-Potential [4].

#Verwendung
eval_laguerre(n, x)

Sphärische Harmonische

{{Y_{l}^{m}(\theta, \phi) =(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{ \frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} \,} \,P_l^{|m|}(\cos\theta)\,e^{im\phi}}}

Hierl\geq |m|, P_l^{|m|}Ist das Legendre-Polypoly.

** Anwendung in der Physik **: Erscheint, wenn die Einteilchen-Steady-State-Schrödinger-Gleichung für das sphärisch symmetrische Potential variabel getrennt ist. Da es in Winkelrichtung ein komplettes System bildet, wird es häufig als Expansionsbasis für Funktionen mit Winkelabhängigkeit verwendet.

#Verwendung
sph_harm(m, l, theta, phi)

Gammafunktion

\Gamma(z)=\int^{\infty}_{0}t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad (Re(z)>0)

** Anwendung in der Physik **: Erscheint häufig in der statistischen Mechanik. Kostenlose fermi elektronische systemspezifische Wärmeformel [3,5], [Sterling-Formel](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC% Ableitung von E3% 83% AA% E3% 83% B3% E3% 82% B0% E3% 81% AE% E8% BF% 91% E4% BC% BC) (fortschreitende Erweiterung der Γ-Funktion) [5] usw. ..

#Verwendung
gamma(z)

Polygammafunktion

Logimetrische Differenzierung der Gammafunktion, $\psi^{(n)}(z) = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}} \ln{\Gamma(z)} = \frac{d^n}{dz^n} \psi(z) $ Wird als Polygammafunktion bezeichnet. Oft benutzt.

#Verwendung
polygamma(n, x)

Beta-Funktion

{\beta(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt} =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} (Wobei x und y komplexe Zahlen sind, die $ Re \ x> 0, Re \ y> 0 $ erfüllen)

#Verwendung
beta(x, y)

Bessel-Funktion:

** Anwendungsbeispiele in der Physik **: Laplace-Gleichung [5], die beim Lösen der Helmholtz-Gleichung im Spaltenkoordinatensystem oder Polarkoordinatensystem [4] auftritt. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen, Wärmeleitung zylindrischer Objekte, Schwingungslösung dünner Filme [6] usw.

Schiffsfunktion Typ 1

#Verwendung
jn(n, z) #Ganzzahlige Reihenfolge Schiffsfunktion
jv(v, z) #Schiffsfunktion allgemeiner Ordnung

Schiffsfunktion Typ 2

#Verwendung
yn(n,x) #Ganzzahlige Reihenfolge
yv(v,z) #Allgemeine Reihenfolge

Hankelfunktion:

Spezielle Lösung für die Differentialgleichung von Vessel

#Verwendung
hankel1(v, z) #Erstklassige Hankel-Funktion

Modifizierte Bessel-Funktion

[Gefäßdifferentialgleichung] für reine imaginäre Variablen (https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E9% 96% A2% E6% 95% B0) Speziallösung.

#Verwendung
kn(n,x) #Ganzzahlige Reihenfolge
kv(v,z) #Allgemeine Reihenfolge

Sphärische Bessel-Funktion

J_n(z)

** Anwendung in der Physik **: Regelmäßige Lösung der Schrödinger-Gleichung freier Teilchen im Kugelkoordinatensystem (nicht reguläre Lösung ist die Kugel-Neumann-Funktion) [3] usw.

#Verwendung
spherical_jn(n, z, derivative=False)

Luftige Funktion

\begin{align} \operatorname{Ai}(x) & = \frac{1}{\pi}\int_0^\infty\cos(\tfrac{t^3}{3} + xt)\mathit{dt}\\ \equiv \frac{1}{\pi}\lim_{b\to\infty} \int_0^b \cos(\tfrac{t^3}{3} + xt)\mathit{dt}\end{align}

** Anwendung in der Physik **: Klassisch nach [WKB-Methode] in der Quantenmechanik (https://ja.wikipedia.org/wiki/WKB%E8%BF%91%E4%BC%BC) [3] Eine Lösung, die die Regressionspunkte usw. verbindet.

#Verwendung
airy(z)

Matieu-Funktion (elliptische Säulenfunktion)

** Anwendungsbeispiele in der Physik **: Schwingung der elliptischen Membran [6], Parameteranregung bei erzwungener Schwingung [6], Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung für das Potential des Dreiecksfunktionstyps [3], in der allgemeinen Relativitätstheorie [Einstein-Gleichung](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3% 82% BF% E3% 82% A4% E3% 83% B3% E6% 96% B9% E7% A8% 8B% E5% BC% 8F) Darstellung der ebenen Wellenlösung usw.

#Verwendung
mathieu_a(m, q) #Matthew-Cosinus-Funktion
mathieu_b(m, q) #Matthew Sinusfunktion

Komplettes elliptisches Integral

** Anwendungsbeispiel in der Physik **: Erscheint in Pendelbewegungen mit großer Amplitude [6], exakte Lösung des ansteigenden 2D-Modells in der statistischen Mechanik usw.

Erstklassiges perfektes elliptisches Integral

{K(k)=\int_0^{\pi/2}{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}}d\theta} Als $ m = k ^ 2 <1 $

#Verwendung: ellipk(m)

a=ellipk(0.45)
print(a)

Ergebnis: 1.81388393682

Typ 2 perfektes elliptisches Integral

{E(k)=\int_0^{\pi/2}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta}

Als $ m = k ^ 2 \ le 1 $

#Verwendung: ellipe(m)
a=ellipe(0.9)
print(a)

Ergebnis: 1.1047747327

Verweise

[1] Scipy Official: Sonderfunktionen

[2] Yoshitaka Onodera, [Angewandte Mathematik für Physik](https://www.amazon.co.jp/%E7%89%A9%E7%90%86%E3%81%AE%E3%81 % 9F% E3% 82% 81% E3% 81% AE% E5% BF% 9C% E7% 94% A8% E6% 95% B0% E5% AD% A6-% E5% B0% 8F% E9% 87% 8E% E5% AF% BA-% E5% 98% 89% E5% AD% 9D / dp / 4785320311 / ref = sr_1_2? S = Bücher & dh = UTF8 & qid = 1501826776 & sr = 1-2 & Schlüsselwörter =% E5% B0% 8F% E9% 87% 8E% E5% AF% BA +% E5% 98% 89% E5% AD% 9D), Shokabo (1988), von Hirokazu Terazawa, [Einführung in die Mathematik für Naturwissenschaftler](https: // www.amazon.co.jp/%E8%87%AA%E7%84%B6%E7%A7%91%E5%AD%A6%E8%80%85%E3%81%AE%E3%81%9F % E3% 82% 81% E3% 81% AE% E6% 95% B0% E5% AD% A6% E6% A6% 82% E8% AB% 96-% E5% A2% 97% E8% A8% 82% E7% 89% 88-% E5% AF% BA% E6% B2% A2-% E5% AF% 9B% E4% B8% 80 / dp / 4000054805 / ref = sr_1_1? S = Bücher & dh = UTF8 & qid = 1501697831 & sr = 1- 1 & Stichwörter =% E8% 87% AA% E7% 84% B6% E7% A7% 91% E5% AD% A6% E8% 80% 85% E3% 81% AE% E3% 81% 9F% E3% 82% 81 % E3% 81% AE% E6% 95% B0% E5% AD% A6% E6% A6% 82% E8% AB% 96), Iwanami Shoten (1983), von Tetsuro Inui, [Special Function](https :: //www.amazon.co.jp/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E5%87%BD%E6%95%B0-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E5% 85% A8% E6% 9B% B8-252-% E7% 8A % AC% E4% BA% 95-% E9% 89% 84% E9% 83% 8E / dp / 4000214128), Iwanami Shoten (1962).

[3] von Landau Rifsitz, [Quantenmechanik](https://www.amazon.co.jp/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6% E2% 80% 95% E9% 9D% 9E% E7% 9B% B8% E5% AF% BE% E8% AB% 96% E7% 9A% 84% E7% 90% 86% E8% AB% 96-1- % E3% 83% A9% E3% 83% B3% E3% 83% 80% E3% 82% A6-% E3% 83% AA% E3% 83% 95% E3% 82% B7% E3% 83% 83% E3% 83% 84% E7% 90% 86% E8% AB% 96% E7% 89% A9% E7% 90% 86% E5% AD% A6% E6% 95% 99% E7% A8% 8B-% E3 % 83% AC% E3% 83% 95% E3% 83% BB% E3% 83% 80% E3% 83% 93% E3% 83% 89% E3% 83% B4% E3% 82% A3% E3% 83 % 81% E3% 83% BB% E3% 83% A9% E3% 83% B3% E3% 83% 80% E3% 82% A6 / dp / 4489000588), Tokyo Tosho (1983); [Übung zur Quantenmechanik](https://www.amazon.co.jp/%E8%A9%B3%E8%A7%A3%E7%90%86%E8%AB%96%E5%BF%9C%E7 % 94% A8% E9% 87% 8F% E5% AD% 90% E5% 8A% 9B% E5% AD% A6% E6% BC% 94% E7% BF% 92-% E5% BE% 8C% E8% 97% A4-% E6% 86% B2% E4% B8% 80 / dp / 4320031717 / ref = sr_1_1? E5% 8A% 9B% E5% AD% A6% E6% BC% 94% E7% BF% 92), Kyoritsu Publishing, (1982).

[4] von Shigenobu Sunagawa, [Theoretischer Elektromagnetismus](https://www.amazon.co.jp/%E7%90%86%E8%AB%96%E9%9B%BB%E7%A3%81% E6% B0% 97% E5% AD% A6-% E7% A0% 82% E5% B7% 9D-% E9% 87% 8D% E4% BF% A1 / dp / 4314008547 / ref = sr_1_1? S = Bücher & dh = UTF8 & qid = 15018259222 & sr = 1-1 & keywords =% E7% 90% 86% E8% AB% 96% E9% 9B% BB% E7% A3% 81% E6% B0% 97% E5% AD% A6) Dritte Ausgabe, Kii Kuniya Buchhandlung, (1999).

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[6] Morikazu Toda, [Vibrationstheorie](https://www.amazon.co.jp/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E8%AB%96-%E6%96%B0 % E7% 89% A9% E7% 90% 86% E5% AD% A6% E3% 82% B7% E3% 83% AA% E3% 83% BC% E3% 82% BA-3-% E6% 88% B8% E7% 94% B0-% E7% 9B% 9B% E5% 92% 8C / dp / 4563024031 / ref = sr_1_2? S = Bücher & dh = UTF8 & qid = 1501826199 & sr = 1-2 & Schlüsselwörter =% E6% 8C% AF% E5% 8B% 95% E8% AB% 96), Bakufukan (1968).

[Wissenschaftlich-technische Berechnung durch Python] Liste der Verwendung von (speziellen) Funktionen, die in der Physik unter Verwendung von scipy verwendet werden