Inhalt

(1) Stöhnphänomen, wenn keine Dispergierbarkeit vorliegt. Zu diesem Zeitpunkt stimmen die Phasengeschwindigkeit der Welle und die Gruppengeschwindigkeit überein.

(2) Stöhnphänomen bei Dispergierbarkeit. Die Gruppengeschwindigkeit stimmt nicht mit der Phasengeschwindigkeit überein.

(3) Kombinieren Sie die in (1) und (2) oben erstellten Animationen.

Code (1): Wenn es keine Dezentralisierung gibt

"""
Stöhnendes Phänomen:Keine Dispergierbarkeit

"""

%matplotlib nbagg 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation


fig = plt.figure(figsize = (8, 6))

L, t_max = 6,12
Nx= 240
Nt = 100

delta_x=L/Nx
delta_t=t_max/Nt
xx=list(range(Nx))

a=1
k1= 2*np.pi/(L/10)
omega1=10
phi1=0

k2= (1+0.15)*k1
omega2=(1+0.15)*omega1
phi2=0

u1=np.zeros([Nx,Nt])
u2=np.zeros([Nx,Nt])
utot=np.zeros([Nx,Nt])


xlis=np.zeros([Nx])

for i in range(Nx):
    x = i*delta_x
    xlis[i] = x
    for j in range(Nt):
        t = j*delta_t
        u1[i,j]=a*np.cos(k1*x-omega1*t-phi1)
        u2[i,j]=a*np.cos(k2*x-omega2*t-phi2)
        utot[i,j]= u1[i,j]+u2[i,j]


def update(j,utot,fig_title):
    if j != 0:
        plt.cla()
    plt.ylim(-3, 3)
    plt.xlim(0, L)
    plt.plot( xlis,u1[:,j],  '--', color='red', linewidth = 1)
    plt.plot( xlis,u2[:,j],  '--', color='blue',linewidth = 1)
    plt.plot( xlis,utot[:,j],  '-', color='purple', linewidth =4)

    plt.title(fig_title  + str("{0:.1f}".format(j*delta_t)))

    plt.xlabel('X')
    plt.ylabel('U')
    plt.legend(['u1','u2', 'u1+u2'], loc='upper right')


ani = animation.FuncAnimation(fig,update,fargs = (utot,'Beat: t ='), interval =1, frames = Nt,blit=False)
fig.show()

ani.save("output.gif", writer="imagemagick")

Ergebnis (1) Keine Dispergierbarkeit

Ein Brüllphänomen (ein Phänomen, bei dem die Amplitude der zusammengesetzten Welle periodisch schwankt) wird beobachtet. Zu diesem Zeitpunkt stimmen die Phasengeschwindigkeit und die Gruppengeschwindigkeit überein.

Code (2): Verteilt

Untersuchen Sie, was passiert, wenn heterogene Wellen, dh dispersive Wellen, überlagert werden.

"""
Verteilte Beziehung ω=f(k)Wenn da ist
"""

%matplotlib nbagg 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

fig = plt.figure(figsize = (8, 6))


L, t_max = 6,12
Nx= 240
Nt = 100

delta_x=L/Nx
delta_t=t_max/Nt
xx=list(range(Nx))
#X,T = np.meshgrid(x,t)

omega=10
omega0=30

a=1
k1= 2*np.pi/(L/10)

V0= omega/k1

omega1=np.sqrt((V0*k1)**2+omega0**2)
phi1=0

k2= (1+0.15)*k1
omega2=np.sqrt((V0*k2)**2+omega0**2)
phi2=0

u1=np.zeros([Nx,Nt])
u2=np.zeros([Nx,Nt])
utot=np.zeros([Nx,Nt])


xlis=np.zeros([Nx])
for i in range(Nx):
    x = i*delta_x
    xlis[i] = x
    for j in range(Nt):
        t = j*delta_t
        u1[i,j]=a*np.cos(k1*x-omega1*t-phi1)
        u2[i,j]=a*np.cos(k2*x-omega2*t-phi2)
        utot[i,j]= u1[i,j]+u2[i,j]



def update(j,utot,fig_title):
    if j != 0:
        plt.cla()
    plt.ylim(-3, 3)
    plt.xlim(0, L)
    plt.plot( xlis,u1[:,j],  '--', color='red', linewidth = 1)
    plt.plot( xlis,u2[:,j],  '--', color='blue',linewidth = 1)
    plt.plot( xlis,utot[:,j],  '-', color='green', linewidth =4)

    plt.title(fig_title  + str("{0:.1f}".format(j*delta_t)))

    plt.xlabel('X')
    plt.ylabel('U')
    plt.legend(['u1','u2', 'u1+u2'], loc='upper right')


ani = animation.FuncAnimation(fig,update,fargs = (utot,'Beat: t ='), interval =1, frames = Nt,blit=False)
fig.show()

ani.save("output2.gif", writer="imagemagick")

Ergebnis (2) Dispergierbar

** In diesem Fall gibt es einen Unterschied zwischen der Gruppengeschwindigkeit (der Geschwindigkeit, mit der sich die Hüllkurve bewegt ("Stöhnwellenform")) und der Phasengeschwindigkeit (der Geschwindigkeit, mit der sich die Welle selbst bewegt). Die "Stöhnwellenform" bewegt sich mit Gruppengeschwindigkeit und die Welle selbst bewegt sich mit Phasengeschwindigkeit. ** ** **

Ergebnis (3): Verteilende und nicht verteilte Animation: Vergleich

Der Bewegungsunterschied zwischen dispergierbar (grüne Linie) und nicht dispersiv (violette Linie) ist klar.

Nachtrag

(1) Über die in diesem Dokument verwendete Verteilungsbeziehung

Eindimensionale Stringwellengleichung, $\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \tag{1} $ Wenn die Rückstellkraft $ - \ omega_0 ^ 2 u (x, t) \ tag {2} $ hinzugefügt wird, die die Teilchen der Kette an jeder Position enthält, wird die Wellengleichung

\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} -\omega_0^2 u(x,t) \tag{3} Wird sein. Einige Schwingungen, die in tatsächlichen Materialien auftreten, folgen einer ähnlichen Gleichung (z. B. Schwingungen intraatomarer Elektronen).

Die Lösung dieser Wellengleichung ist

Als $ \ omega (k) = (v ^ 2k ^ 2 + \ omega_0 ^ 2) ^ \ frac {1} {2} \ tag {4} $

u(x,t) = a cos(k x-\omega(k)t-\phi \tag{5}

Es stellt sich heraus, dass In dem Inhalt (2) dieser Arbeit wurde die obige Dispersionsbeziehung (Gleichung .4) verwendet.

(2) In verschiedenen Medien sind verschiedene Dispersionsbeziehungen bekannt. Lassen Sie mich Ihnen ein Beispiel geben.

• ** Dispersionsformel von Wellen, die sich auf der Oberfläche von tiefem Wasser bewegen **: $ \ omega (k) = \ sqrt (gk + T k ^ 3 / \ rho) \ tag {6} $ (g ist die Schwerkraftbeschleunigung, T ist Oberflächenspannung, $ \ rho $ ist Dichte.

• ** Zwei-Atom-System (jede Ionenmasse ist $ m_1 $ und $ m_2 $) ** ** Gitterschwingung ** unter Berücksichtigung nur der engsten Wechselwirkung Wiki /% E6% A0% BC% E5% AD% 90% E6% 8C% AF% E5% 8B% 95) Verteilung: \omega^2(k)= \frac{f}{m_\mu} \left ( 1 \pm \sqrt{1-\frac{4m_\mu^{\, 2}}{m_1m_2} \sin^2{ka} } \right ), \quad \frac{1}{m_\mu}=\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\tag{7}

Verweise

[1] Für die Animationserstellung war der Qiita-Artikel von AnchorBlues: Flexible Animationserstellung mit Animation.FuncAnimation of matplotlib hilfreich und leicht zu verstehen. ..

[2] Für Gruppengeschwindigkeit zum Beispiel von Yosuke Nagaoka ["Vibration and Waves"](https://www.amazon.co.jp/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81% A8% E6% B3% A2-% E9% 95% B7% E5% B2% A1-% E6% B4% 8B% E4% BB% 8B / dp / 4785320451) hat eine elementare und leicht verständliche Erklärung.