Nachtrag

Nachtrag (1): Gauß-Seidel-Methode: - Leichte Verbesserung der Jacobi-Methode -

[Gauß-Seidel-Methode](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%B6% E3% 82% A4% E3% 83% 87% E3% 83% AB% E6% B3% 95) ist der Jacobi im Nachtrag zu Qiita-Artikeln Gesetzliche Formel (12)

$ \phi(x_i,y_j) = \frac{1}{4} [\phi(x_{i+1},y_{j})+\phi(x_{i-1},y_{j})+\phi(x_{i},y_{j+1})+\phi(x_{i},y_{j-1})]+\frac{\rho(x_{i},y_{j})}{4\epsilon_0}\Delta^2 $

$ (N + 1) $ Schrittdarstellung

$ \phi(x_i,y_j)^{(n+1)} = \frac{1}{4} [\phi(x_{i+1},y_{j})^{(n)}+\phi(x_{i-1},y_{j})^{(n)}+\phi(x_{i},y_{j+1})^{(n)}+\phi(x_{i},y_{j-1})^{(n)}]+\frac{\rho(x_{i},y_{j})}{4\epsilon_0}\Delta^2　\tag{1} $

In sind $ \ phi (x_ {i-1}, y_j) ^ {(n)} $ und $ \ phi (x_ {i}, y_ {j-1}) ^ {(n)} $ tatsächlich ** Da es im Voraus aktualisiert wurde, wird der Wert des $ n $ -Schritts nicht verwendet. Verwenden Sie $ \ phi (x_ {i-1}, y_j) ^ {(n + 1)} $ und $ \ phi (x_ {i}, y_ {j-1}) ^ {(n + 1)} $ Methode **. Mit anderen Worten

$ \phi(x_i,y_j)^{(n+1)} = \frac{1}{4} [\phi(x_{i+1},y_{j})^{(n)}+\phi(x_{i-1},y_{j})^{(n+1)}+\phi(x_{i},y_{j+1})^{(n)}+\phi(x_{i},y_{j-1})^{(n+1)}]+\frac{\rho(x_{i},y_{j})}{4\epsilon_0}\Delta^2　\tag{2} $ Und. Dadurch wird ** nacheinander $ \ phi (x_i, y_j) $ aktualisiert, wodurch die Verwendung des Codespeichers im Vergleich zur Jacobi-Methode gespart wird ** Es ist zu erwarten, dass die Konvergenz etwas schneller ist als bei der Jacobi-Methode (die Anzahl der Iterationen für ein großes Netz beträgt etwa die Hälfte der Anzahl der Jacobi-Methode [1]), aber diese Methode konvergiert auch langsam.

Nachtrag (2): Numerische Lösung: SOR-Methode: - Leichte Verbesserung der Jacobi-Methode -

Einer der praktischen Algorithmen ist die ** sequentielle Überrelaxationsmethode (SOR-Methode [2]) **. Wie unten gezeigt, beschleunigt diese Methode die Aktualisierung von $ \ phi (x_i, y_j) ^ {(n)} $ durch die ** Gauss-Seidel-Methode durch Anwenden des Beschleunigungsparameters $ \ omega $. ** ** **

Der iterative Prozess der Gauß-Seidel-Methode kann wie folgt umgeschrieben werden [1].

\phi(x_i,y_j)^{(n+1)} = \phi(x_i,y_j)^{(n)}+\Delta \phi(x,y)^{(n)} \tag{3}

\Delta \phi(x,y)^{(n)}=\frac{1}{4} [\phi(x_{i+1},y_{j})^{(n)}+\phi(x_{i-1},y_{j})^{(n)}+\phi(x_{i},y_{j+1})^{(n)}+\phi(x_{i},y_{j-1})^{(n)}]+\frac{\rho(x_{i},y_{j})}{4\epsilon_0}\Delta^2-\phi(x_i,y_j)^{(n)} \tag{4}

Hier repräsentiert $ \ Delta \ phi (x, y) $ den Aktualisierungsbetrag von $ \ phi (x, y) ^ {(n)} $ nach der Gauß-Seidel-Methode. Übrigens ** Bei der Gauß-Seidel-Methode ändert sich $ \ phi (x, y) ^ {(n)} $ im iterativen Prozess häufig monoton **. Als Beispiel zeigt die Abbildung die Änderungen im iterativen Prozess einiger $ \ phi $ -Werte beim Lösen der Laplace-Gleichung auf einem 10x10-Netz. Sie können sehen, dass es sich monoton ändert.

Änderungen in $ \ phi $ während des iterativen Prozesses.

** Die SOR-Methode ist eine Methode, um diese monotone Änderung aktiv zu nutzen. Da sich $ \ phi $ monoton ändert, kann der durch das Gauß-Seidel-Verfahren vorhergesagte Aktualisierungsbetrag $ \ Delta \ phi (x, y) $ (Gleichung (4)) vergrößert werden, um die Konvergenzgeschwindigkeit zu erhöhen. Korrekt. ** Diese Idee ist die Essenz der SOR-Methode.

Daher iterativer Prozess des Multiplizierens von $ \ Delta \ phi (x, y) $ von Gleichung (4) mit $ \ omega_ {SOR} $

$ \phi(x_i,y_j)^{(n+1)} = \phi(x_i,y_j)^{(n)}+\omega_{SOR}[\frac{\phi(x_{i+1},y_{j})^{(n)}+\phi(x_{i-1},y_{j})^{(n)}+\phi(x_{i},y_{j+1})^{(n)}+\phi(x_{i},y_{j-1})^{(n)}}{4} +\frac{\rho(x_{i},y_{j})}{4\epsilon_0}\Delta^2-\phi(x_i,y_j)^{(n)}]\tag{5} $

Denk an.

** Dies ist die SOR-Methode. $ \ Omega_ {SOR} $ wird als Überentspannungsparameter bezeichnet. Wenn $ \ omega_ {SOR} $ = 1 ist, wird dies zur Gauß-Seidel-Methode. ** ** **

Es gibt eine Option, wie $ \ omega_ {SOR} $ angegeben werden kann. Wenn Sie die optimale auswählen können (die mit der besten Konvergenzrate), ist die Konvergenz möglicherweise viel schneller als die Gauß-Seidel-Methode. Es wurden verschiedene Wege untersucht, um das beste $ \ omega_ {SOR} $ zu finden [2].

** Wir kennen das optimale $ \ omega_ {SOR} $ für die Laplace (Poisson) -Gleichung im rechteckigen Bereich, **

\omega_{SOR} = \frac{2}{1-\sqrt(\lambda^2)}\tag{5} \lambda=\frac{1}{2}[cos\frac{\pi}{N_x}+cos\frac{\pi}{N_y}] \tag{6}

Ist. Für ein ausreichend großes Gitter $ Nx \ mal Ny >> 1 $ wird es zu $ \ omega_ {SOR} \ ca. 2 $.

Sagen wir ** $ Nx = Ny = N $. Zu diesem Zeitpunkt ist die Anzahl der Iterationen, die für die Konvergenz der Berechnung unter Verwendung der SOR-Methode erforderlich sind, proportional zu $ N ^ 1 $. Die der Jacobi-Methode und der Gauß-Seidel-Methode ist proportional zu $ N ^ 2 $. Wenn N groß genug ist, ist die Konvergenzgeschwindigkeit der SOR-Methode erheblich schneller als die der Gauß-Seidel-Methode und der Jacobi-Methode [2] </ font> **. Die in diesem Artikel untersuchten Ergebnisse unterstützen dies nachdrücklich.

 phi[i,j] = phi[i,j]+omega_SOR*((phi[i+1,j] + phi[i-1,j] + phi[i,j+1] + phi[i,j-1])/4-phi[i,j])