[Calcul scientifique / technique par Python] Liste des utilisations des fonctions (spéciales) utilisées en physique en utilisant scipy

introduction

Vous pouvez utiliser des fonctions (spéciales) qui apparaissent dans le domaine de la physique dans le package scipy.special [1].

from scipy.special import *

** Les utilisations typiques (spéciales) des fonctions (noms de fonctions, arguments, etc.) sont résumées ci-dessous afin qu'elles puissent être désignées comme appropriées lors de l'exécution de calculs scientifiques / techniques à l'aide de Python. ** ** Veuillez vous référer à la page officielle [1] pour une explication détaillée des options. La définition des fonctions spéciales est décrite dans la référence [2] d'une manière facile à comprendre et est utile.

Ce document sera révisé et révisé si nécessaire.

● 7 août 2017: ajout des intégrales elliptiques parfaites de type 1 et de type 2.

Polypoly Hermite

H_n(x)=n!\sum_{m=0}^{\lfloor n / 2 \rfloor}\dfrac{(-1)^m(2x)^{n-2m}}{m!(n-2m)!} ($ \ Lfloor \ rfloor $ est le [symbole gaussien](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8A%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8% E5% A4% A9% E4% BA% 95% E9% 96% A2% E6% 95% B0))

** Application en physique **: Solution intrinsèque au potentiel de force de restauration linéaire pour l'équation de Schrödinger en régime permanent en mécanique quantique [3], etc.

#Usage
from scipy.special import *
eval_hermite(n, x)

Polypoly de Legendre

\begin{align} P_n(x) = 2^n\cdot \sum_{k=0}^n x^k {n \choose k}{\frac{n+k-1}2\choose n}\end{align}

Exemple d'application en physique: [équation de Laplace](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E6% 96% B9% E7% A8% 8B% E5% BC% 8F) [4], équation de Schrodinger pour champ de force central tridimensionnel [4], [Expansion multipolaire] en électromagnétique (https://en.wikipedia.org) / wiki / Multipole_expansion) Apparaît dans [4] etc.

#Usage
eval_legendre(n, x)

Polynômes de Legendre

P_n{}^m (t) = {1\over 2^n} (1-t^2)^{m \over 2} \sum_{j=1}^{\lfloor (n-m) / 2\rfloor} {(-1)^j (2n-2j)! \over j!(n-j)!(n-2j-m)!}t^{n-2j-m} (n\leq m, \ $|t|\leq 1$)

** Exemple d'application en physique **: Solution de l'équation de Laplace, représentation de la fonction harmonique sphérique

#Usage
lpmv(m, n, t)

Polypoly de Laguerre

$L_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} \frac{n!}{k!} x^k $

** Application en physique **: Solution de l'équation radiale de Schrödinger sous potentiel de Coulomb [4].

#Usage
eval_laguerre(n, x)

Harmoniques sphériques

{{Y_{l}^{m}(\theta, \phi) =(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{ \frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} \,} \,P_l^{|m|}(\cos\theta)\,e^{im\phi}}}

icil\geq |m|, P_l^{|m|}Est le polypole de Legendre.

** Application en physique **: Apparaît lorsque l'équation de Schrödinger à l'état d'équilibre à une particule pour le potentiel sphérique symétrique est à séparation variable [3]. De plus, comme il forme un système complet dans la direction angulaire, il est souvent utilisé comme base d'expansion pour des fonctions dépendant de l'angle.

#Usage
sph_harm(m, l, theta, phi)

Fonction gamma

\Gamma(z)=\int^{\infty}_{0}t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad (Re(z)>0)

** Application en physique **: apparaît souvent en mécanique statistique. Formule de chaleur spécifique au système électronique Fermi gratuit [3,5], [formule Sterling](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC% Dérivation de E3% 83% AA% E3% 83% B3% E3% 82% B0% E3% 81% AE% E8% BF% 91% E4% BC% BC) (expansion progressive de la fonction Γ) [5], etc. ..

#Usage
gamma(z)

Fonction Polygamma

Différenciation logimétrique de la fonction gamma, $\psi^{(n)}(z) = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}} \ln{\Gamma(z)} = \frac{d^n}{dz^n} \psi(z) $ Est appelée la fonction polygamma. Souvent utilisé.

#Usage
polygamma(n, x)

Fonction bêta

{\beta(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt} =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} (Où x et y sont des nombres complexes qui satisfont $ Re \ x> 0, Re \ y> 0 $)

#Usage
beta(x, y)

Fonction Bessel:

** Exemples d'application en physique **: équation de Laplace [5], qui apparaît lors de la résolution de l'équation de Helmholtz dans le système de coordonnées de colonne ou le système de coordonnées polaires [4]. Propagation des ondes électromagnétiques, conduction thermique d'objets cylindriques, solution vibratoire de couches minces [6], etc.

Fonction du navire de type 1

#Usage
jn(n, z) #Fonction de récipient d'ordre entier
jv(v, z) #Fonction du navire d'ordre général

Fonction du navire de type 2

#Usage
yn(n,x) #Ordre entier
yv(v,z) #Ordre général

Fonction Hankel:

Solution spéciale à l'équation différentielle de Vessel

#Usage
hankel1(v, z) #Fonction Hankel de première classe

Fonction de Bessel modifiée

[Équation différentielle du navire] pour des variables imaginaires pures (https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E9% 96% A2% E6% 95% B0) solution spéciale.

#Usage
kn(n,x) #Ordre entier
kv(v,z) #Ordre général

Fonction de Bessel sphérique

J_n(z)

** Application en physique **: Solution régulière de l'équation de Schrödinger des particules libres dans le système de coordonnées sphériques (la solution non régulière est la fonction de Neumann de la sphère) [3], etc.

#Usage
spherical_jn(n, z, derivative=False)

Fonction Airy

\begin{align} \operatorname{Ai}(x) & = \frac{1}{\pi}\int_0^\infty\cos(\tfrac{t^3}{3} + xt)\mathit{dt}\\ \equiv \frac{1}{\pi}\lim_{b\to\infty} \int_0^b \cos(\tfrac{t^3}{3} + xt)\mathit{dt}\end{align}

** Application en physique **: Classique par [méthode WKB] en mécanique quantique (https://ja.wikipedia.org/wiki/WKB%E8%BF%91%E4%BC%BC) [3] Une solution qui relie les points de régression, etc.

#Usage
airy(z)

Fonction Matieu (fonction de colonne elliptique)

** Exemples d'application en physique **: Vibration de membrane elliptique [6], excitation de paramètre en vibration forcée [6], solution de l'équation de Schrödinger en régime permanent pour le potentiel de type fonction triangulaire [3], en théorie de la relativité générale [Équation d'Einstein](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3% 82% BF% E3% 82% A4% E3% 83% B3% E6% 96% B9% E7% A8% 8B% E5% BC% 8F), etc.

#Usage
mathieu_a(m, q) #Fonction cosinus de Matthieu
mathieu_b(m, q) #Fonction sinus de Matthew

Intégrale elliptique complète

** Exemple d'application en physique **: Apparaît en mouvement pendulaire de grande amplitude [6], solution exacte d'un modèle ascendant 2D en mécanique statistique, etc.

Intégrale elliptique parfaite de première classe

{K(k)=\int_0^{\pi/2}{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}}d\theta} Comme $ m = k ^ 2 <1 $

#Usage: ellipk(m)

a=ellipk(0.45)
print(a)

Résultat: 1,81388393682

Intégrale elliptique parfaite de type 2

{E(k)=\int_0^{\pi/2}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta}

Comme $ m = k ^ 2 \ le 1 $

#Usage: ellipe(m)
a=ellipe(0.9)
print(a)

Résultat: 1.1047747327

Les références

[1] Scipy Official: Fonctions spéciales

[2] Yoshitaka Onodera, [Mathématiques appliquées pour la physique](https://www.amazon.co.jp/%E7%89%A9%E7%90%86%E3%81%AE%E3%81 % 9F% E3% 82% 81% E3% 81% AE% E5% BF% 9C% E7% 94% A8% E6% 95% B0% E5% AD% A6-% E5% B0% 8F% E9% 87% 8E% E5% AF% BA-% E5% 98% 89% E5% AD% 9D / dp / 4785320311 / ref = sr_1_2? S = books & ie = UTF8 & qid = 1501826776 & sr = 1-2 & keywords =% E5% B0% 8F% E9% 87% 8E% E5% AF% BA +% E5% 98% 89% E5% AD% 9D), Shokabo, (1988); par Hirokazu Terazawa, [Introduction to Mathematics for Natural Scientists](https: // www.amazon.co.jp/%E8%87%AA%E7%84%B6%E7%A7%91%E5%AD%A6%E8%80%85%E3%81%AE%E3%81%9F % E3% 82% 81% E3% 81% AE% E6% 95% B0% E5% AD% A6% E6% A6% 82% E8% AB% 96-% E5% A2% 97% E8% A8% 82% E7% 89% 88-% E5% AF% BA% E6% B2% A2-% E5% AF% 9B% E4% B8% 80 / dp / 4000054805 / ref = sr_1_1? S = books & ie = UTF8 & qid = 1501697831 & sr = 1- 1 & mots-clés =% E8% 87% AA% E7% 84% B6% E7% A7% 91% E5% AD% A6% E8% 80% 85% E3% 81% AE% E3% 81% 9F% E3% 82% 81 % E3% 81% AE% E6% 95% B0% E5% AD% A6% E6% A6% 82% E8% AB% 96), Iwanami Shoten, (1983); par Tetsuro Inui, [Special Function](https :: //www.amazon.co.jp/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E5%87%BD%E6%95%B0-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E5% 85% A8% E6% 9B% B8-252-% E7% 8A % AC% E4% BA% 95-% E9% 89% 84% E9% 83% 8E / dp / 4000214128), Iwanami Shoten, (1962).

[3] par Landau Rifsitz, [Quantum Mechanics](https://www.amazon.co.jp/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6% E2% 80% 95% E9% 9D% 9E% E7% 9B% B8% E5% AF% BE% E8% AB% 96% E7% 9A% 84% E7% 90% 86% E8% AB% 96-1- % E3% 83% A9% E3% 83% B3% E3% 83% 80% E3% 82% A6-% E3% 83% AA% E3% 83% 95% E3% 82% B7% E3% 83% 83% E3% 83% 84% E7% 90% 86% E8% AB% 96% E7% 89% A9% E7% 90% 86% E5% AD% A6% E6% 95% 99% E7% A8% 8B-% E3 % 83% AC% E3% 83% 95% E3% 83% BB% E3% 83% 80% E3% 83% 93% E3% 83% 89% E3% 83% B4% E3% 82% A3% E3% 83 % 81% E3% 83% BB% E3% 83% A9% E3% 83% B3% E3% 83% 80% E3% 82% A6 / dp / 4489000588), Tokyo Tosho, (1983); Kenichi Goto et al., [Exercice de mécanique quantique](https://www.amazon.co.jp/%E8%A9%B3%E8%A7%A3%E7%90%86%E8%AB%96%E5%BF%9C%E7 % 94% A8% E9% 87% 8F% E5% AD% 90% E5% 8A% 9B% E5% AD% A6% E6% BC% 94% E7% BF% 92-% E5% BE% 8C% E8% 97% A4-% E6% 86% B2% E4% B8% 80 / dp / 4320031717 / ref = sr_1_1? S = livres & ie = UTF8 & qid = 15018825682 & sr = 1-1 & mots-clés =% E9% 87% 8F% E5% AD% 90% E5% 8A% 9B% E5% AD% A6% E6% BC% 94% E7% BF% 92), Kyoritsu Publishing, (1982).

[4] par Shigenobu Sunagawa, [Theoretical Electromagnetism](https://www.amazon.co.jp/%E7%90%86%E8%AB%96%E9%9B%BB%E7%A3%81% E6% B0% 97% E5% AD% A6-% E7% A0% 82% E5% B7% 9D-% E9% 87% 8D% E4% BF% A1 / dp / 4314008547 / ref = sr_1_1? S = livres & ie = UTF8 & qid = 15018259222 & sr = 1-1 & keywords =% E7% 90% 86% E8% AB% 96% E9% 9B% BB% E7% A3% 81% E6% B0% 97% E5% AD% A6) Troisième édition, Kii Kuniya Librairie, (1999).

[5] Ryogo Kubo, [Thermologie de l'exercice universitaire / Dynamique statistique](https://www.amazon.co.jp/%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E6%BC%94%E7 % BF% 92-% E7% 86% B1% E5% AD% A6% E3% 83% BB% E7% B5% B1% E8% A8% 88% E5% 8A% 9B% E5% AD% A6-% E4 % B9% 85% E4% BF% 9D-% E4% BA% AE% E4% BA% 94 / dp / 4785380322 / ref = sr_1_1? S = livres & ie = UTF8 & qid = 1501826038 & sr = 1-1 & mots-clés =% E5% A4% A7 % E5% AD% A6% E6% BC% 94% E7% BF% 92% E3% 80% 80% E7% 86% B1% E5% AD% A6% E3% 83% BB% E7% B5% B1% E8 % A8% 88% E5% 8A% 9B% E5% AD% A6), édition révisée, Shokabo, (1998).

[6] Morikazu Toda, [Théorie des vibrations](https://www.amazon.co.jp/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E8%AB%96-%E6%96%B0 % E7% 89% A9% E7% 90% 86% E5% AD% A6% E3% 82% B7% E3% 83% AA% E3% 83% BC% E3% 82% BA-3-% E6% 88% B8% E7% 94% B0-% E7% 9B% 9B% E5% 92% 8C / dp / 4563024031 / ref = sr_1_2? S = books & ie = UTF8 & qid = 1501826199 & sr = 1-2 & mots-clés =% E6% 8C% AF% E5% 8B% 95% E8% AB% 96), Bakufukan, (1968).