Contenu

(1) Phénomène de gémissement lorsqu'il n'y a pas de dispersibilité. A ce moment, la vitesse de phase de l'onde et la vitesse de groupe correspondent.

(2) Phénomène de gémissement lorsqu'il y a dispersibilité. La vitesse du groupe ne correspond pas à la vitesse de phase.

(3) Combinez les animations créées en (1) et (2) ci-dessus.

Code (1): Lorsqu'il n'y a pas de décentralisation

"""
Phénomène de gémissement:Pas de dispersibilité

"""

%matplotlib nbagg 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation


fig = plt.figure(figsize = (8, 6))

L, t_max = 6,12
Nx= 240
Nt = 100

delta_x=L/Nx
delta_t=t_max/Nt
xx=list(range(Nx))

a=1
k1= 2*np.pi/(L/10)
omega1=10
phi1=0

k2= (1+0.15)*k1
omega2=(1+0.15)*omega1
phi2=0

u1=np.zeros([Nx,Nt])
u2=np.zeros([Nx,Nt])
utot=np.zeros([Nx,Nt])


xlis=np.zeros([Nx])

for i in range(Nx):
    x = i*delta_x
    xlis[i] = x
    for j in range(Nt):
        t = j*delta_t
        u1[i,j]=a*np.cos(k1*x-omega1*t-phi1)
        u2[i,j]=a*np.cos(k2*x-omega2*t-phi2)
        utot[i,j]= u1[i,j]+u2[i,j]


def update(j,utot,fig_title):
    if j != 0:
        plt.cla()
    plt.ylim(-3, 3)
    plt.xlim(0, L)
    plt.plot( xlis,u1[:,j],  '--', color='red', linewidth = 1)
    plt.plot( xlis,u2[:,j],  '--', color='blue',linewidth = 1)
    plt.plot( xlis,utot[:,j],  '-', color='purple', linewidth =4)

    plt.title(fig_title  + str("{0:.1f}".format(j*delta_t)))

    plt.xlabel('X')
    plt.ylabel('U')
    plt.legend(['u1','u2', 'u1+u2'], loc='upper right')


ani = animation.FuncAnimation(fig,update,fargs = (utot,'Beat: t ='), interval =1, frames = Nt,blit=False)
fig.show()

ani.save("output.gif", writer="imagemagick")

Résultat (1) Aucune dispersibilité

Un phénomène de rugissement (un phénomène dans lequel l'amplitude de l'onde composite fluctue périodiquement) est observé. A ce moment, la vitesse de phase et la vitesse de groupe correspondent.

Code (2): Distribué

Étudiez ce qui se passe lorsque des ondes hétérogènes, c'est-à-dire des ondes dispersives, se superposent.

"""
Relation distribuée ω=f(k)S'il y a
"""

%matplotlib nbagg 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

fig = plt.figure(figsize = (8, 6))


L, t_max = 6,12
Nx= 240
Nt = 100

delta_x=L/Nx
delta_t=t_max/Nt
xx=list(range(Nx))
#X,T = np.meshgrid(x,t)

omega=10
omega0=30

a=1
k1= 2*np.pi/(L/10)

V0= omega/k1

omega1=np.sqrt((V0*k1)**2+omega0**2)
phi1=0

k2= (1+0.15)*k1
omega2=np.sqrt((V0*k2)**2+omega0**2)
phi2=0

u1=np.zeros([Nx,Nt])
u2=np.zeros([Nx,Nt])
utot=np.zeros([Nx,Nt])


xlis=np.zeros([Nx])
for i in range(Nx):
    x = i*delta_x
    xlis[i] = x
    for j in range(Nt):
        t = j*delta_t
        u1[i,j]=a*np.cos(k1*x-omega1*t-phi1)
        u2[i,j]=a*np.cos(k2*x-omega2*t-phi2)
        utot[i,j]= u1[i,j]+u2[i,j]



def update(j,utot,fig_title):
    if j != 0:
        plt.cla()
    plt.ylim(-3, 3)
    plt.xlim(0, L)
    plt.plot( xlis,u1[:,j],  '--', color='red', linewidth = 1)
    plt.plot( xlis,u2[:,j],  '--', color='blue',linewidth = 1)
    plt.plot( xlis,utot[:,j],  '-', color='green', linewidth =4)

    plt.title(fig_title  + str("{0:.1f}".format(j*delta_t)))

    plt.xlabel('X')
    plt.ylabel('U')
    plt.legend(['u1','u2', 'u1+u2'], loc='upper right')


ani = animation.FuncAnimation(fig,update,fargs = (utot,'Beat: t ='), interval =1, frames = Nt,blit=False)
fig.show()

ani.save("output2.gif", writer="imagemagick")

Résultat (2) Dispersible

** Dans ce cas, il y a une différence entre la vitesse du groupe (la vitesse à laquelle l'enveloppe ("groan waveform") se déplace) et la vitesse de phase (la vitesse à laquelle l'onde elle-même se déplace). La "forme d'onde de gémissement" se déplace à la vitesse du groupe et l'onde elle-même se déplace à la vitesse de phase. ** **

Résultat (3): Animation distributive et non distribuée: Comparaison

La différence de mouvement entre dispersible (ligne verte) et non dispersive (ligne violette) est claire.

Addenda

(1) À propos de la relation de distribution utilisée dans cet article

Équation d'onde de corde unidimensionnelle, $\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \tag{1} $ Lorsque la force de restauration $ - \ omega_0 ^ 2 u (x, t) \ tag {2} $, qui contient les particules constitutives de la chaîne à chaque position, est ajoutée, l'équation d'onde devient

\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} -\omega_0^2 u(x,t) \tag{3} Sera. Certaines vibrations qui se produisent dans les matériaux réels suivent une équation similaire (comme les vibrations d'électrons intraatomiques).

La solution de cette équation d'onde est

Comme $ \ omega (k) = (v ^ 2k ^ 2 + \ omega_0 ^ 2) ^ \ frac {1} {2} \ tag {4} $

u(x,t) = a cos(k x-\omega(k)t-\phi \tag{5}

Il se trouve que Dans le contenu (2) de cet article, la relation de dispersion ci-dessus (équation .4) a été utilisée.

(2) Diverses relations de dispersion sont connues dans divers milieux. Laisse moi te donner un exemple.

• ** Formule de dispersion des ondes voyageant à la surface des eaux profondes **: $ \ omega (k) = \ sqrt (gk + T k ^ 3 / \ rho) \ tag {6} $ (g est l'accélération de gravité, T est La tension superficielle, $ \ rho $ est la densité.

• ** Système à deux atomes (chaque masse ionique est $ m_1 $ et $ m_2 $) ** ** vibration du réseau ** en considérant uniquement l'interaction la plus proche wiki /% E6% A0% BC% E5% AD% 90% E6% 8C% AF% E5% 8B% 95) distribution: \omega^2(k)= \frac{f}{m_\mu} \left ( 1 \pm \sqrt{1-\frac{4m_\mu^{\, 2}}{m_1m_2} \sin^2{ka} } \right ), \quad \frac{1}{m_\mu}=\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\tag{7}

Les références

[1] Pour la création d'animation, l'article Qiita d'AnchorBlues: Création d'animation flexible utilisant animation.FuncAnimation de matplotlib était utile et facile à comprendre. ..

[2] Pour la vitesse de groupe, par exemple, par Yosuke Nagaoka ["Vibration and Waves"](https://www.amazon.co.jp/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81% A8% E6% B3% A2-% E9% 95% B7% E5% B2% A1-% E6% B4% 8B% E4% BB% 8B / dp / 4785320451) a une explication élémentaire et facile à comprendre.