Was ist die algebraische Riccati-Gleichung (ARE)?

Die folgende Formel. $ A, Q, P \ in \ mathbb R ^ {n \ times n}, B \ in \ mathbb R ^ {n \ times m}, R \ in \ mathbb R ^ {m \ times m} $ , Q, R sind positive symmetrische Matrizen mit konstantem Wert, und $ A, B, Q, R $ werden angegeben, um $ P $ zu finden.

A P + P A^T + Q - P B R^{-1} B^T P = 0

Beispiel: Szenenfeld, in dem ARE angezeigt wird

Es erscheint, wenn der Gewinn mit LQR der modernen Steuerungstheorie gefunden wird. LQR ist die optimale Steuerungstheorie und das System $ \frac{dx}{dt} = Ax+Bu $ Wenn ausgedrückt werden kann, verwendet das Kontrollgesetz, das $ \ min J = \ int (x ^ TQx + u ^ TRu) dt $ erfüllt, $ P , das die obige Ricati-Algebra-Gleichung erfüllt. $ u=-R^{-1}B^TPx $$ Die Geschichte, die Sie schreiben können.

lösen

Politik

Die Methode von Arimoto-Potter (im nächsten Abschnitt erläutert) wird implementiert und gelöst. Zu diesem Zeitpunkt wird das Eigenwertproblem der Matrix gelöst, dies verwendet jedoch Numpy oder dergleichen.

Arimoto / Potter-Methode

Die Vorgehensweise wird erklärt. Siehe Bücher usw. als Beweis.

1. Stellen Sie eine Warteschlange auf

Matrix $ H \ in \ mathbb R ^ {2n \ times 2n} $ heißt Hamilton Matrix

H=\left[ \begin{array}{cc} A^T & -B R^{-1} B^T \newline -Q & -A \end{array} \right]

weit.

2. Zerlegung der Hamilton-Matrix nach Eigenwert

Es gibt n Eigenwerte von H, deren Realteil negativ ist. Platzieren Sie dies als $ \ lambda_1, \ lambda_2, ..., \ lambda_n $ und die entsprechenden Eigenvektoren als $ \ vec w_1, \ vec w_2, ..., \ vec w_n $.

3. Platzieren Sie eine Matrix, die durch Anordnen der Eigenvektoren geteilt wird

Verwenden Sie dies, um $ Y, Z \ in \ mathbb R ^ {n \ times n} $ zu erhalten $ \left[ \vec w_1 \vec w_2 ... \vec w_n \right] = \left[ \begin{array}{c} Y \newline Z \end{array} \right] $ weit.

4. P kann gefunden werden

P=ZY^{-1}

Implementierung

import numpy as np
import numpy.linalg as LA

def solve_are(A, B, Q, R):
    # 1.Setzen Sie die Hamilton-Matrix
    H = np.block([[A.T, -B @ LA.inv(R) @ B.T],
                  [-Q , -A]])
    # 2.Eigenwerte zerlegen
    eigenvalue, w = LA.eig(H)
    # 3.Setzen Sie eine Hilfsmatrix
    Y_, Z_ = [], []
    n = len(w[0])//2
    for i in range(2*n):
        if eigenvalue[i].real < 0.0:
            Y_.append(w.T[i][:n])
            Z_.append(w.T[i][n:])
    Y = np.array(Y_).T
    Z = np.array(Z_).T
    # 4.P wird gesucht
    return Z @ LA.inv(Y)

Prüfung

Testcode

A = np.array([[3., 1.],[0., 1.]])
B = np.array([[1.2], [1.]])
Q = np.array([[1., 0.2], [0.2, 1.0]])
R = np.array([[1.]])
P = solve_are(A, B, Q, R)
print("P")
print(P)
print("Linke Seite der algebraischen Riccati-Gleichung")
print(A@P + [email protected] + Q - P@[email protected](R)@B.T@P)

Ergebnis

P
[[ 69.20010326 -66.19334596]
 [-66.19334596  67.7487967 ]]
Linke Seite der algebraischen Riccati-Gleichung
[[-1.13686838e-13  5.11590770e-13]
 [ 2.55795385e-13 -5.68434189e-13]]

Ich habe es gelöst.

Implementieren Sie die Lösung der Riccati-Algebra in Python