Zusammenfassung

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\piσ^2}}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}

Die Normalverteilung ist eine der typischen Verteilungen und eine Verteilung, die im Bereich der Statistik häufig vorkommt. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung ist jedoch wie die ↑ Formel sehr kompliziert und hat viele Anfänger begraben. Ich erinnere mich auch an Kopfschmerzen und Schwindel, als ich diese Formel zum ersten Mal sah, als ich anfing, Statistik zu studieren.

In diesem Artikel werden der Koeffiziententeil ($ \ frac {1} {\ sqrt {2 \ piσ ^ 2}} ) und der Exponententeil ( - \ frac {(x-μ) ^ 2} {2σ ^ 2) der Formel ↑ } $) und beschreiben Sie, warum es so geformt wurde.

Indexteil

Viele Ereignisse auf der Welt haben die höchste Wahrscheinlichkeit, einen Durchschnittswert anzunehmen, und die Wahrscheinlichkeit, diesen Wert anzunehmen, nimmt mit zunehmender Entfernung vom Durchschnittswert ab.

Ein Ausdruck, der dies einfach ausdrückt, ist

f(x)=e^{-x^2}

ist. In einem Diagramm ausgedrückt

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def normal_dist(x, ave = 0, disp=1):
    return np.exp((-(x-ave)**2)/(2*disp**2))

x = np.linspace(-3, 3)
y = normal_dist(x)

plt.plot(x,y)
plt.grid(axis="both")
plt.show()

Es sieht aus wie ein Berg.

Diese Formel ist in ihrer Vielseitigkeit minderwertig, da nur ein Diagramm gezeichnet werden kann. Deshalb, ① Bewegen Sie sich links und rechts vom Diagramm ② Ändern Sie die Diagrammbreite Fügen Sie die Funktion von hinzu.

Bewegen Sie sich links und rechts vom Diagramm

Durch Ändern des $ x $ -Teils in $ x-μ $ können Sie die Position von $ x $ verschieben, die den Maximalwert annimmt.

f(x)=e^{-(x-μ)^2}

Es wird eine solche Formel. Lassen Sie uns den Wert von $ μ $ ändern und die Änderung im Diagramm sehen.

color = ["b", "g", "r", "c", "m"]
for i, col in enumerate(color):
    y = normal_dist(x, i)
    plt.plot(x, y, color=col)
    
plt.show()

Der Graph verschob sich nach rechts, als $ μ $ zunahm.

Ändern Sie die Diagrammbreite

Sie können die Breite ändern, indem Sie den Exponententeil mit $ \ frac {1} {2σ ^ 2} $ multiplizieren.

f(x)=e^{-\frac{x^2}{2σ^2}}

x = np.linspace(-10, 10)
color = ["b", "g", "r", "c", "m"]
for i, col in enumerate(color):
    y = normal_dist(x, 0, i+1)
    plt.plot(x, y, color=col)
    
plt.show()

Es ist mir gelungen, die Breite zu ändern. Das Quadrat von σ soll sowohl positiv als auch negativ sein, und die Multiplikation von $ 2 $ soll die Berechnung erleichtern.

Faktor Teil

Da es sich um eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion handelt, muss die Gesamtfläche $ 1 $ betragen. Multiplizieren Sie daher die Funktion mit einem geeigneten Wert. Geben Sie einen geeigneten Koeffizienten als $ c $ und ein

\int_{-\infty}^{\infty}ce^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx=1

Um $ c $ zu finden.

Auf den ersten Blick mag es wie eine komplizierte Berechnung erscheinen,

\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}

Verwenden Sie diese Gaußsche Integralformel, wenn $ a = \ frac {1} {2σ ^ 2} $

c=\frac{1}{\sqrt{2\piσ^2}}

Es wird leicht zu berechnen. Die Lösung ist jetzt der Koeffizient der Formel oben.

Immerhin war diese Formel eine Formel, die die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion definiert, indem $ f (x) = e ^ {-x ^ 2} $ vielseitig gemacht und die Koeffizienten angepasst werden. Ich bin glücklich.

Referenzierte Site

https://to-kei.net/distribution/normal-distribution/density-function-derivation/ Semantisches Verständnis der Dichtefunktion der Normalverteilung

https://mathtrain.jp/gauss Zwei Beweise der Gaußschen Integralformel

https://bellcurve.jp/statistics/course/7797.html 14-1. Normalverteilung