[PYTHON]

\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)

\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\frac{x^2}{2} \right)

Die Normalverteilung spielt in der Statistik eine sehr wichtige Rolle. Die Formel (Dichtefunktion), die die Normalverteilung ausdrückt, lautet, aber dies ist eine sehr komplizierte Formel ... Wenn Sie eine Standardnormalverteilung mit der Varianz $ \ sigma ^ 2 = 1 $ erstellen, bedeutet dies $ \ mu = 0 $ Es sieht etwas einfacher aus. In einem Diagramm sieht es so aus. Es ist ein sogenannter Glockentyp. (Im Folgenden werde ich ein Diagramm entsprechend mit Python zeichnen.)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-4,4, 100)
y = (1/np.sqrt(2*np.pi))*np.exp(-x**2/2)

plt.ylim(0,0.45)
plt.plot(x,y)
plt.show()

Erstens ist die Normalverteilung glatt und symmetrisch, und ich denke, der Ausgangspunkt ist, dass wir die Wahrscheinlichkeit mit einer Funktion ausdrücken wollen, die an einem Punkt gesammelt wird. Tauchen Sie ein und verwenden Sie eine quadratische Funktion

f(x) = x^2

Wenn Sie es in einem Diagramm als zeichnen

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10,10, 100)
y = x**2

plt.plot(x,y)
plt.show()

Hmmm, ich bin krank. Wenn dies der Fall ist, wird es nicht verteilt. Multiplizieren Sie es also mit Minus und drehen Sie es nach oben.

f(x) = -x^2

x = np.linspace(-1,1, 100)
y = -x**2

plt.xlim(-1.2,1.2)
plt.ylim(-1,0.2)
plt.plot(x,y)
plt.show()

Es wird ein bisschen so. Um den Saum zu verlängern und glockenförmig zu machen, können Sie ihn auf $ e $ fahren.

f(x) = e^{-x^2}

x = np.linspace(-1,1, 100)
y = np.exp(-x**2)

plt.xlim(-1.5,1.5)
plt.ylim(0,1.2)
plt.plot(x,y)
plt.show()

Die Form ist jetzt völlig normal. Der Ursprung der Form dieser Normalverteilung war $ e ^ {-x ^ 2} $.

Danach ist $ x $ $ 1 / \ sqrt {2} $, so dass es bei Differenzierung leicht berechnet werden kann. Konvertieren Sie die Variable in $ y = \ sqrt {2} x $.

g(y) = \exp \left(-\frac{y^2}{2} \right)

x = np.linspace(-3,3, 500)
y1 = np.exp(-(x**2))
y2 = np.exp(-(x**2)/2)

plt.xlim(-3,3)
plt.ylim(0,1.1)
plt.plot(x,y1,"b", label="exp(-x^2)")
plt.plot(x,y2,"g", label="exp(-(x^2)/2")
plt.legend()
plt.show()

Es breitete sich ein wenig seitwärts aus.

Es ist notwendig zu integrieren, damit die Fläche dieses f (x) 1 wird (weil es eine Wahrscheinlichkeit ist, so dass die Summe aller möglichen Ereignisse 100% beträgt).

Aus [Gauss Integral (siehe Wikipedia)](http://ja.m.wikipedia.org/wiki/Gauss Integral) ergibt sich der integrierte Wert für den gesamten Bereich von $ x $

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}

Wenn Sie also die Variablentransformation $ y = \ sqrt {2} x $ anwenden

\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( {-\frac{y^2}{2}}\right)dy = \sqrt{2\pi}

ist. Teilen Sie beide Seiten durch $ \ sqrt {2 \ pi} $

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( {-\frac{y^2}{2}}\right)dy = １

Ich habe die Formel für die Standardnormalverteilung erhalten: erröten:

x = np.linspace(-1,1, 100)
y = np.exp(-(x**2)/2)

plt.xlim(-1.5,1.5)
plt.ylim(0,1.2)
plt.plot(x,y)
plt.show()

Diese Formel wurde basierend auf $ e ^ {-x ^ 2} $ so angepasst, dass sie bei Integration 1 ist, um die Fläche zu erhalten.