Diese Reihe ist eine kurze Erklärung von "The Basics of Modern Mathematical Statistics" von Tatsuya Kubogawa und lässt uns den Inhalt in Python implementieren. Ich habe Google Colaboratory (im Folgenden als Colab bezeichnet) für die Implementierung verwendet. Wenn Sie Vorschläge haben, würde ich mich freuen, wenn Sie diese in den Kommentarbereich schreiben könnten. Es ist möglicherweise nicht für diejenigen geeignet, die den gesamten Inhalt des Buches richtig verstehen möchten, da es mit der Haltung geschrieben ist, dass es schön wäre, wenn es ausgegeben werden könnte, indem nur der Teil berührt wird, von dem ich dachte, dass er einer Erklärung bedarf. Bitte beachten Sie, dass die Zahlen in diesem Artikel möglicherweise übersprungen werden, wenn die Formelnummern und Satz- / Definitionsindizes gemäß dem Buch geschrieben wurden.
Es beginnt mit der Definition der Wahrscheinlichkeit in der Mengenlehre. Sogar diejenigen, die sich nicht für eine solche Definition interessieren, können dieses Buch lesen. Der Autor selbst konzentriert sich auf die mathematische Statistik und geht nur kurz auf das theoretische System der Wahrscheinlichkeitstheorie ein. Der Inhalt von Kapitel 1 ist hauptsächlich ・ Definition der Wahrscheinlichkeit ・ Erläuterung der Begriffe ・ Bayes-Theorem ist. In 1.3 Evolutionary Matters verwenden wir das, was auf der vorherigen Seite geschrieben steht, um den Satz zu beweisen (leicht zu befolgen).
$$ Die Wahrscheinlichkeit besteht darin, ein zufälliges Phänomen in der Welt mathematisch zu beschreiben. Nehmen wir als Beispiel einen kubischen Würfel. Versuch: Ich habe einmal gewürfelt. Alle Ereignisse / Beispielbereich $ \ Omega $: $ \ Omega $ = \ {1,2,3,4,5,6 } Ereignis: Eine Teilmenge von $ \ Omega $, z. B. \ {1 }, \ {3,6 }. In diesem Buch wird es durch $ A $ oder $ B $ dargestellt. Produktmenge: $ A \ cap B = $ \ {$ x | x \ in A und x \ in B $ } $$ Summensatz: $ A \ cup B = $ \ {$ x | x \ in A oder x \ in B $ } $$ ・ ・ ・ Der Komplementsatz, der Differenzsatz, der symmetrische Unterschied usw. sind durch Zeichnen eines Ben-Diagramms leicht zu verstehen.
Die $$ Wahrscheinlichkeit wird durch die folgenden drei definiert.
$$ (P1) $ P (A) \ geq 0 $. Für alle $ A \ in \ mathcal {B}
. (P2) P(\Omega)=1$. (P3) Wenn $ A_k \ in \ mathcal {B}, k = 1,2, ..., $ widersprüchlich sind, dh $ A_i \ cap A_j = \ Emptyset, i \ neq j $, $ P (\ bigcup_ {k = 1} ^ {\ infty} {A_k}) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty P (A_k) $ gilt.
$ \ mathcal B $ ist eine messbare Mengenfamilie und erfüllt die folgenden Eigenschaften: (M1)
\emptyset\in\mathcal{B} , \Omega\in\mathcal{B} . (M2) Wenn $ A \ in \ mathcal {B} $, dann $ A ^ c \ in \ mathcal {B} $ ($ A ^ c $ ist eine Ergänzung von $ A $). (M3) $ A_k \ in \ mathcal {B}, k = 1,2,3 ..., $ dann $ \ bigcup_ {k = 1} ^ {\ infty} {A_k} \ in \ mathcal B $.
Es scheint schwierig zu sein, aber wenn Sie hier tiefer graben, kennen Sie den Landepunkt nicht. Ich denke, dass $ \ mathcal B $ eine Menge ist, die aus einer Teilmenge des Probenraums $ \ Omega $ besteht, und $ A $ ist eine Teilmenge von $ \ Omega $. Bitte. Wie bei (P3) wird es in Zukunft oft ausreichen, es im Ben-Diagramm darzustellen. $ \ Bigcup $ ist ein Symbol, das die Summe einer Mengenfamilie verwendet.
Es gibt etwas, das ich erklären muss, um den $$ Bayes'schen Satz zu verstehen.
Definition:
Wenn es zwei Ereignisse gibt $ A $ und $ B $ und $ P (B)> 0
, $ P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \tag{1.1a} $$ Wird die bedingte Wahrscheinlichkeit von $ A $ genannt, wenn $ B $ gegeben ist.
$ P (A | B) $ bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $ A $ unter der Bedingung auftritt, dass das Ereignis $ B $ eintritt. Dies gilt auch, wenn Sie $ A $ und $ B $ tauschen. Gleichung (1.1a) transponiert
$ B_1, B_2 ... $ sind widersprüchliche Ereignisse, und wenn $ P (B_k)> 0 ist, ist \ bigcup_ {k = 1} ^ {\ infty} {B_k} = \ Omega $ erfüllt, Ereignis $ A. Die Wahrscheinlichkeit von $ kann wie folgt ausgedrückt werden.
$P(A)=\sum_{k=1}^\infty P(A|B_k)P(B_k) \tag{1.2} $
Es heißt, aber ich denke, es ist leicht zu verstehen, wenn Sie sich die Abbildung unten ansehen. Versuchen Sie es mit Gleichung (1.1b) gut zu beweisen.
(Es ist $ k \ to \ infty $) (Das Bild stammt von https://bellcurve.jp/statistics/course/6444.html. Besonderer Dank!)
Der Bayes'sche Satz kann durch Kombinieren der bedingten Wahrscheinlichkeitsformel mit der vollständigen Wahrscheinlichkeitsformel bewiesen werden. Der genaue Ausdruck des Bayes'schen Theorems lautet wie folgt.
$ B_1, B_2 ... $ ist eine Folge widersprüchlicher Ereignisse, und $ P (B_k)> 0, \ bigcup_ {k = 1} ^ {\ infty} {B_k} = \ Omega $ ist erfüllt. Zu diesem Zeitpunkt wird für jedes Ereignis $ A $ die bedingte Wahrscheinlichkeit $ P (B_j | A) $ von $ B_j $, wenn $ A $ gegeben ist, wie folgt ausgedrückt.
$P(B_j|A)= \frac{P(A|B_j)P(B_j)}{\sum_{k=1}^\infty P(A|B_k)P(B_k)} $
Ich denke, es ist einfacher zu verstehen, wenn Sie ein Diagramm zeichnen. Sie kann abgeleitet werden, indem mit der rechten Seite der bedingten Wahrscheinlichkeitsformel gespielt wird. Der Satz von Bayes schätzt die Ursache aus dem Ergebnis (wenn das Ereignis (Ergebnis) von $ A $ eintritt, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es auf $ B_j (j = 1,2, ...) $ zurückzuführen ist). Eine wichtige Idee ist.
Das ist alles für die Erklärung von Kapitel 1. Ich denke, dass Sie das Beispiel des Buches verstehen können, indem Sie Ihre Hand bewegen. Wenn Sie also ein Buch haben, versuchen Sie es bitte.
Ich habe ein passendes Beispiel gemacht, also werde ich es mit Python lösen.
Beispiel: Im Aquarium befinden sich 20 Corridras, 7 Guppys und 9 Neontetras. Normalerweise hat Corridras eine Chance von 0,1, Insekten zu essen, Guppy hat eine Chance von 0,8, Insekten zu essen, und Neon Tetra hat eine Chance von 0,3, Insekten zu essen. Eines Tages, als ich meine Augen schloss und zum Zeitpunkt der Fütterung ein Insekt warf, wurde das Insekt von einem Biss gefressen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Guppy zu diesem Zeitpunkt ein Insekt gefressen hat?
Lassen Sie uns das lösen
Corydoras = 0
Guppy = 1
Neontetora = 2
#Wahrscheinlichkeit, dass jeder Fisch normalerweise Insekten frisst
_p_eat = []
_p_eat.insert(Corydoras,0.1)
_p_eat.insert(Guppy,0.8)
_p_eat.insert(Neontetora,0.3)
#Fischverhältnis
_p_fish = []
_p_fish.insert(Corydoras,20/36)
_p_fish.insert(Guppy,7/36)
_p_fish.insert(Neontetora,9/36)
#Post-hoc-Wahrscheinlichkeit
def prob_eat(fish):
if int(fish) == 0 :
return _p_eat[fish]*_p_fish[fish]
elif int(fish) == 1 :
return _p_eat[fish]*_p_fish[fish]
else:
return _p_eat[fish]*_p_fish[fish]
#Wahrscheinlichkeit, dass Insekten gefressen haben
def probability(fish):
return prob_eat(fish) / (prob_eat(Corydoras) + prob_eat(Guppy) + prob_eat(Neontetora))#Einfallsreichtum ist erforderlich, wenn die Gesamtzahl groß ist
print(round(probability(Guppy),2))
Wenn Sie dies tun,
0.54
Dann kam die Wahrscheinlichkeit heraus, dass Guppy es aß.
Kapitel 1 sieht so aus. Wenn Sie Lust dazu haben, werde ich es im nächsten Kapitel und darüber hinaus tun. Vielen Dank.
"Grundlagen der modernen mathematischen Statistik" von Tatsuya Kubogawa
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