[PYTHON] So ermitteln Sie den Skalierungskoeffizienten eines bipolaren Wavelets

Es gibt verschiedene Arten von bi-orthogonalen Wavelets, aber dieses Mal finden wir den Skalierungskoeffizienten von ** Cohen-Daubechies-Feauveau-Wavelet **.

• http://reference.wolfram.com/language/ref/CDFWavelet.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/Cohen-Daubechies-Feauveau_wavelet
• http://wavelets.pybytes.com/wavelet/bior4.4/

Bibliothek zu verwenden

Wir werden Sympy verwenden, um den Skalierungsfaktor im interaktiven Modus von Python zu berechnen.

Präzisionseinstellung

sympy verwendet mpmath für Gleitkomma-Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit. Die Standardgenauigkeit (die Anzahl der Bits im formalen Teil) beträgt 53, was der Gleitkommazahl mit doppelter Genauigkeit entspricht. Stellen Sie sie daher entsprechend auf etwa 256 ein.

Terminal

>>> import sympy
>>> sympy.mpmath.mp.prec
53
>>> sympy.mpmath.mp.prec = 256

Faktorisierung nach DKA-Methode

Setzen Sie $ N = 4 $, um die Lösung der folgenden Gleichung zu finden.

q(y) =
\sum_{k=0}^{N-1}
\begin{pmatrix}
N-1+k \\
k
\end{pmatrix}
y^k = 0

Die spezifische Beschreibung lautet wie folgt.

q(y) = 20y^3 + 10y^2 + 4y + 1 = 0

Terminal

>>> qy = [sympy.mpmath.binomial(4-1+k,k) for k in [3,2,1,0]]
>>> qy
[mpf('20.0'), mpf('10.0'), mpf('4.0'), mpf('1.0')]

Da es sich um eine kubische Gleichung handelt, ist es möglich, mit der Cardano-Formel eine genaue Lösung zu finden. Da es jedoch ausreicht, den Skalierungskoeffizienten mit einer Gleitkommazahl zu erhalten, DKA-Methode E2% 80% 93Kerner_method) wird verwendet.

Terminal

>>> y = sympy.mpmath.polyroots(qy)
>>> y
[mpf('-0.3423840948583691316993036540027816871936619136844427977504078911201017562570965'), mpc(real='-0.07880795257081543415034817299860915640316904315777860112479605443994912187145069', imag='0.3739306454336101226089715992265723406258901629829692932753904369966748441011043'), mpc(real='-0.07880795257081543415034817299860915640316904315777860112479605443994912187145069', imag='-0.3739306454336101226089715992265723406258901629829692932753904369966748441011043')]

Da eine reale Lösung und zwei konjugierte Komplexlösungen erhalten werden, kann $ q (y) $ in das Produkt der aus der realen Lösung erhaltenen linearen Gleichung und der aus der konjugierten komplexen Lösung erhaltenen quadratischen Gleichung zerlegt werden.

Skalierungskoeffizient

Erstellen Sie $ h_0 (z) $ mit einer realen Lösung. Setzen Sie $ y = - (1/4) z + (1/2) - (1/4) z ^ {-1} $ und passen Sie es so an, dass $ h_0 (1) = \ sqrt {2} $ Ich werde es verlassen.

Terminal

>>> h0z = sympy.sympify('-sqrt(2.0)*(y-y0)/y0') \
...            .subs({'y':'-1/4*z+1/2-1/4/z', 'y0':y[0]})
>>> h0z
-1.032622122063015088779015687939062566223023943573534440451244148644675318677*z + 3.479457806499125323032653234616953582887408360779881380902488297289350637353 - 1.032622122063015088779015687939062566223023943573534440451244148644675318677/z

Wenden Sie verschwindende Momente an, um $ h (z) $ zu erstellen.

h(z) = z^{-2} \left( \frac{1+z}{2} \right)^4 h_0(z)

Terminal

>>> hz = (sympy.sympify('z**(-2)*((z+1)/2)**4')*h0z).expand()
>>> hz
-0.06453888262893844304868848049619141038893899647334590252820275929029220741729*z**3 - 0.04068941760955843950521309482120604262529296334464102380640551858058441483457*z**2 + 0.4180922732222122294173439451808985229992791148815490275282027592902922074173*z + 0.7884856164056644517477371190118263104712661635056882976128110371611688296691 + 0.4180922732222122294173439451808985229992791148815490275282027592902922074173/z - 0.04068941760955843950521309482120604262529296334464102380640551858058441483457/z**2 - 0.06453888262893844304868848049619141038893899647334590252820275929029220741729/z**3

Nehmen Sie den Koeffizienten heraus.

Terminal

>>> scaling_coeff = [hz.coeff('z',k) for k in [-3,-2,-1,0,1,2,3]]
>>> scaling_coeff
[-0.06453888262893844304868848049619141038893899647334590252820275929029220741729, -0.04068941760955843950521309482120604262529296334464102380640551858058441483457, 0.4180922732222122294173439451808985229992791148815490275282027592902922074173, 0.7884856164056644517477371190118263104712661635056882976128110371611688296691, 0.4180922732222122294173439451808985229992791148815490275282027592902922074173, -0.04068941760955843950521309482120604262529296334464102380640551858058441483457, -0.06453888262893844304868848049619141038893899647334590252820275929029220741729]

Dualer Skalierungskoeffizient

Erstellen Sie $ \ tilde {h_0} (z) $ mit einem Paar konjugierter komplexer Lösungen. Setzen Sie $ y = - (1/4) z + (1/2) - (1/4) z ^ {-1} $ und dann $ \ tilde {h_0} (1) = \ sqrt {2} $ Ich werde es so einstellen.

Terminal

>>> d_h0z = sympy.sympify('sqrt(2.0)*(y-y1)/y1*(y-y2)/y2') \
...              .subs({'y':'-1/4*z+1/2-1/4/z', 'y1':y[1], 'y2':y[2]})
>>> d_h0z
(-0.353553390593274*z + 0.818558056535050389640616746751093460160688904372839526463833807943026504668 - 0.5288177901591365145695624730424192033800671915517564410974157359390278433361*I - 0.353553390593274/z)*(-z/4 + 0.5788079525708154341503481729986091564031690431577786011247960544399491218714 + 0.3739306454336101226089715992265723406258901629829692932753904369966748441011*I - 1/(4*z))/((-0.07880795257081543415034817299860915640316904315777860112479605443994912187145 - 0.3739306454336101226089715992265723406258901629829692932753904369966748441011*I)*(-0.07880795257081543415034817299860915640316904315777860112479605443994912187145 + 0.3739306454336101226089715992265723406258901629829692932753904369966748441011*I))

Wenden Sie den Fluchtmoment an, um $ \ tilde {h} (z) $ zu erstellen.

\tilde{h}(z) = z^{-2} \left( \frac{1+z}{2} \right)^4 \tilde{h_0}(z)

Terminal

>>> d_hz = (sympy.sympify('z**(-2)*((z+1)/2)**4')*d_h0z).expand()
>>> d_hz
0.03782845550699546397896088239109810588598928919558903883377596750890210864563*z**4 - 0.02384946501938000354347538567498536776364603312870487872179724070970779258271*z**3 - 0.1106244044184234045317958917055274640064847218822291494893245217456879810963*z**2 + 1.848054221112700632088327353557561911770062193154051589356698864673908481848e-78*I*z**2 + 0.3774028556126537624098752472272712265473030007883118118671540106333915390923*z - 0.00000000000000001776744107070853984299687632133069137868739252186023273178181181386681671503*I*z + 0.852698679009403501358319120148908609110388988411630399468592427310915899508 + 7.392216884450802528353309414230247647080248772616206357426795458695633927391e-78*I + 0.3774028556126537624098752472272712265473030007883118118671540106333915390923/z - 0.00000000000000001776744107070853984299687632133069137868739252186023273178180811775837448963*I/z - 0.1106244044184234045317958917055274640064847218822291494893245217456879810963/z**2 + 1.848054221112700632088327353557561911770062193154051589356698864673908481848e-78*I/z**2 - 0.02384946501938000354347538567498536776364603312870487872179724070970779258271/z**3 + 0.03782845550699546397896088239109810588598928919558903883377596750890210864563/z**4

Nehmen Sie den Koeffizienten heraus. Da der Imaginärteil praktisch 0 ist, wird nur der Realteil verwendet.

Terminal

>>> d_scaling_coeff = [sympy.re(d_hz.coeff('z',k)) for k in [-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4]]
>>> d_scaling_coeff
[0.03782845550699546397896088239109810588598928919558903883377596750890210864563, -0.02384946501938000354347538567498536776364603312870487872179724070970779258271, -0.1106244044184234045317958917055274640064847218822291494893245217456879810963, 0.3774028556126537624098752472272712265473030007883118118671540106333915390923, 0.8526986790094035013583191201489086091103889884116303994685924273109158995080, 0.3774028556126537624098752472272712265473030007883118118671540106333915390923, -0.1106244044184234045317958917055274640064847218822291494893245217456879810963, -0.02384946501938000354347538567498536776364603312870487872179724070970779258271, 0.03782845550699546397896088239109810588598928919558903883377596750890210864563]

Wavelet-Koeffizient

Der Wavelet-Koeffizient $ g_n $ ist das invertierte Vorzeichen jedes anderen dualen Skalierungskoeffizienten $ \ tilde {h} _n $.

Terminal

>>> wavelet_coeff = [s*(-1)**k for k,s in zip([-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4], d_scaling_coeff)]
>>> wavelet_coeff
[0.03782845550699546397896088239109810588598928919558903883377596750890210864563, 0.02384946501938000354347538567498536776364603312870487872179724070970779258271, -0.1106244044184234045317958917055274640064847218822291494893245217456879810963, -0.3774028556126537624098752472272712265473030007883118118671540106333915390923, 0.8526986790094035013583191201489086091103889884116303994685924273109158995080, -0.3774028556126537624098752472272712265473030007883118118671540106333915390923, -0.1106244044184234045317958917055274640064847218822291494893245217456879810963, 0.02384946501938000354347538567498536776364603312870487872179724070970779258271, 0.03782845550699546397896088239109810588598928919558903883377596750890210864563]

Dualer Wavelet-Koeffizient

Der duale Wavelet-Koeffizient $ \ tilde {g} _n $ ist die Inversion jedes anderen Skalierungskoeffizienten $ h_n $.

Terminal

>>> d_wavelet_coeff = [s*(-1)**k for k,s in zip([-3,-2,-1,0,1,2,3], scaling_coeff)]
>>> d_wavelet_coeff
[0.06453888262893844304868848049619141038893899647334590252820275929029220741729, -0.04068941760955843950521309482120604262529296334464102380640551858058441483457, -0.4180922732222122294173439451808985229992791148815490275282027592902922074173, 0.7884856164056644517477371190118263104712661635056882976128110371611688296691, -0.4180922732222122294173439451808985229992791148815490275282027592902922074173, -0.04068941760955843950521309482120604262529296334464102380640551858058441483457, 0.06453888262893844304868848049619141038893899647334590252820275929029220741729]

Zeichnen Sie mit dem Kaskadenalgorithmus

Den ungefähren Wert der Skalierungsfunktion können Sie mit dem Kaskadenalgorithmus ermitteln.

• Quellcode

Verweise

• I. Dobsey, Wavelet 10 Vorträge (Springer Fairlark Tokyo)