[PYTHON] Implémentation informatique quantique de Quantum Walk 1

Implémentation informatique quantique de la marche quantique 1 ~ Cycle 4 sur la marche d'Adamar ~

Je suis un étudiant diplômé en mathématiques appartenant au Konno Lab de l'Université Yokokuni qui étudie les marches quantiques. A commencé à étudier l'information quantique en 2017 avec les membres du laboratoire. Depuis 2018, nous l'avons également implémenté à l'aide d'IBM Q. Depuis que j'ai accumulé jusqu'à présent des notes sur la mise en œuvre des algorithmes quantiques et des marches quantiques, je vais les résumer un par un.

Cette fois, nous mettrons en œuvre la Marche Adamal sur *** Cycle 4 ***. La méthode présentée ici est presque la même que Implémentation efficace du circuit quantique des marches quantiques.

À propos de Hadamard Walk sur le cycle 4

Marche quantique

Quantum Walk est la [version quantique de Random Walk](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E3%82%A6%E3%82%A9%E3 Il a été introduit comme% 83% BC% E3% 82% AF). La différence par rapport à la marche aléatoire est que la probabilité est obtenue en considérant l'évolution temporelle de l'amplitude de probabilité, et non l'évolution temporelle de la probabilité, et en prenant le carré normal de l'amplitude de probabilité. En tant que livre d'explication des mathématiques "Quantum Walk", et également résumé des mathématiques à la physique, l'ingénierie et les sciences de l'information ["New Quantum Walk" Développement ~ Approfondissement et application de la structure mathématique ~ "](https://www.amazon.co.jp/%E9%87%8F%E5%AD%90%E3%82%A6%E3%82%A9%E3 % 83% BC% E3% 82% AF% E3% 81% AE% E6% 96% B0% E5% B1% 95% E9% 96% 8B% E2% 80% 95% E6% 95% B0% E7% 90 % 86% E6% A7% 8B% E9% 80% A0% E3% 81% AE% E6% B7% B1% E5% 8C% 96% E3% 81% A8% E5% BF% 9C% E7% 94% A8 -% E4% BB% 8A% E9% 87% 8E-% E7% B4% 80% E9% 9B% 84 / dp / 4563011622).

Nous définirons le modèle avec une brève explication. Le cycle auquel penser cette fois est Est. La marche quantique sur ce cycle (00,01,10,11 $ (0 à 3 en décimal)) est définie ci-dessous.

• Pièce quantique (matrice adamar)

U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1  
\end{bmatrix}

ici,

P=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1&1 \\
0&0  
\end{bmatrix}\\
Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
0&0 \\
1&-1  
\end{bmatrix}

Laisser.

• Etat initial

\Psi(0)=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix},　\Psi(1)=\Psi(2)=\Psi(3)=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}

Cependant, $ \ Psi (x) $ est l'amplitude de probabilité de l'emplacement $ x $.

• Développement du temps *** L'évolution temporelle de la marche quantique est l'évolution temporelle de l'amplitude stochastique. *** ***

\begin{align}
\Psi(x)=&P\Psi(x+1)+Q\Psi(x-1)\\
=&\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1&1\\0&0
\end{bmatrix} \Psi(x+1)+\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
0&0\\1&-1
\end{bmatrix}\Psi(x-1)
\end{align}

Cependant, puisque $ x + 1 et x-1 $ sont sur le cycle, considérez $ mod4 $.

• Observation La probabilité est obtenue en prenant le carré de la norme de l'amplitude de probabilité.

\mu(x)=\|\Psi(x)\|^2

Agents de pièces et de quart

L'expression ci-dessus est facile à comprendre la dynamique, mais comme la dynamique de l'ensemble du système à mettre en œuvre $ W=\hat{S}\hat{C}\\ $ Il est représenté par. Chaque agoniste est illustré ci-dessous.

• Agoniste de pièces $ \ hat {C} $

\hat{C}=(I\otimes H)\\
\mbox{cependant,}I=\sum_{x}|x\rangle\langle x|,\quad H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1&1\\1&-1
\end{bmatrix}

• Agoniste de décalage $ \ hat {S} $

\hat{S}=\sum_{x}|x-1\rangle\langle x|\otimes|0\rangle\langle 0|+|x+1\rangle\langle x|\otimes|1\rangle\langle 1|

Laisser. Aussi,

• Etat initial $\Psi=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle\otimes|0\rangle+\frac{i}{\sqrt{2}}|0\rangle\otimes|1\rangle$ Peut être exprimé par.

Compte tenu des portes de *** élément d'action de pièce *** et de *** élément d'action de décalage ***, l'évolution temporelle de la marche quantique peut être exprimée comme une marche quantique.

En particulier, *** Coin agoniste *** $ \ hat {C} = I \ otimes H $ peut être exprimé en ne passant $ H $ que par les bits quantiques de l'état. *** Agoniste de décalage *** $ \ hat {S} $ est -Si l'état est 0 '', l'emplacement $ x $ est soustrait. ・ Si l'état est 1 '', l'emplacement $ x $ sera ajouté. Pensez à une porte à faire.

Implémentation dans IBM Q

3qubits ($ q [0] q [1] q [2] $) est utilisé pour cette implémentation. Considérons $ q [0] q [1] $ comme le qbit correspondant à l'emplacement (00,01,10,11) et $ q [2] $ comme le qubit correspondant à l'état.

Construction d'agonistes de décalage (vers le cycle 4)

Bien qu'il s'agisse d'une chute, le calcul suivant est effectué pour le nombre binaire à 2 chiffres $ q [0] q [1] $ et l'état $ q [2] $.

Comme indiqué dans le tableau, Entrée: $ q [0] q [1] q [2] \ Rightarrow $ Sortie: $ (q [0] \ oplus \ override {q [1]} \ oplus q [2]) (\ Lorsqu'il est combiné avec overline {q [1]}) (q [2]) $, il est soustrait si l'état est 0``` et ajouté si l'état est 1```. Cela correspond. Cette entrée / sortie doit être implémentée dans un circuit quantique.

Création d'une partie circuit

Registre quantique, registre classique et configuration du circuit quantique qwqc à partir d'eux

from qiskit import QuantumCircuit, ClassicalRegister, QuantumRegister
from qiskit import execute
from qiskit.tools.visualization import plot_histogram

q = QuantumRegister(3, 'q')
c = ClassicalRegister(2, 'c')
qwqc = QuantumCircuit(q,c)

Partie développement du temps

#Nombre de développements temporels
t=1

#Définir l'état initial
qwqc.h(q[2])
qwqc.s(q[2])

#Développement du temps
for i in range(t):
    #Élément d'action de pièce
    qwqc.h(q[2])
    #Agoniste de décalage
    qwqc.x(q[1])
    qwqc.cx(q[2],q[0])
    qwqc.cx(q[1],q[0])
#endroit(q[0]q[1])État observé (q[2]) N'est pas observé
qwqc.measure(q[0],c[0])
qwqc.measure(q[1],c[1])

#Dessin de circuit
qwqc.draw()

Résultat du simulateur avec t = 1

from qiskit import BasicAer

backend = BasicAer.get_backend('qasm_simulator')
job = execute(qwqc, backend,shots=1024)
result = job.result()
counts = result.get_counts(qwqc)
plot_histogram(counts)

Théoriquement

\begin{align}
W\Psi&=\hat{S}\times\left(|0\rangle\otimes\frac{1+i}{2}|0\rangle+|0\rangle\otimes\frac{1-i}{2}|1\rangle\right)\\
&=\frac{1+i}{2}|3\rangle\otimes|0\rangle+\frac{1-i}{2}|1\rangle\otimes|1\rangle
\end{align}

Que

\mu(1)=\mu(3)=\frac{1}{2}

Il devient. Puisqu'il s'agit d'un simulateur, le résultat était raisonnable.

Résultats de la machine réelle à t = 1

from qiskit import IBMQ
from qiskit.tools.monitor import job_monitor

provider = IBMQ.get_provider(hub='ibm-q')
provider.backends()

backend_r=provider.get_backend('ibmqx2')
job_r = execute(qwqc, backend=backend_r,shots=1024)
job_monitor(job_r)

Job Status: job has successfully run

result_r= job_r.result()
counts_r = result_r.get_counts(qwqc)
plot_histogram(counts_r)

Résumé

On peut dire que la marche d'Adamal au cycle 4 résulte du fait que les erreurs ne s'accumulent pas tellement parce que le circuit est relativement simple et que l'évolution temporelle est t = 1.

De plus, si la matrice Adamar $ H $ de l'agoniste des pièces est remplacée par une autre matrice unitaire $ U $, elle devient une marche quantique d'une autre pièce quantique spatialement uniforme. Avec IBM Q, vous pouvez créer votre pièce quantique préférée avec $ U_3 (\ theta, \ phi, \ lambda) $.

À l'avenir, je voudrais résumer d'autres cycles, d'autres graphiques, des modèles numériques multi-états et des modèles spatio-temporels non uniformes en séquence. Je voudrais également résumer l'algorithme utilisant la marche quantique.