introduction

** L'équation de Schrödinger en régime permanent peut être réduite au problème (général) des valeurs propres de la matrice par la méthode des différences. Le but de cet article est de déterminer l'énergie propre et la fonction propre des électrons dans le potentiel d'oscillateur isotrope tridimensionnel en utilisant cette méthode. ** **

À propos des grandes lignes de la méthode matricielle

[Calcul scientifique / technique par Python] Résolution du problème de la valeur aux limites des équations différentielles ordinaires au format matriciel, calcul numérique [1]

Je vous serais reconnaissant si vous pouviez vous y référer.

Contenu

Potentiel d'oscillateur harmonique isotrope 3D V(r) = \frac{m_e \omega^2r^2}{2} {\tag {1}} L'équation de Schrödinger en régime permanent pour la fonction d'onde radiale $ R (r) $ par rapport à

u(r) = r R(r) {\tag{2}}

Comme

-u''(r)+\frac{2 m_e}{\hbar^2}(V(r)+\frac{L(L+1)\hbar^2}{2m_e r^2}) = E \ u(r) {\tag {3}} Peut être donné.

** Cette équation peut être convertie en une équation différentielle supergéométrique confluente, et la solution exacte de la valeur propre d'énergie $ E $ d'une solution régulière à l'origine est **

E_n = \frac{\hbar \omega}{2} (n+\frac{3}{2}),\ ( \ n = 4N+2L+3 {\tag{4}})

Il est connu pour être ** [2]. ** Où L est le nombre quantique orbital et N est le nombre naturel $ N = 0,1,2, ... $.

Par conséquent, le spectre d'énergie E = \hbar \omega [1.5, 2.5, 3.5, ...] {\tag{5}})

Sera. La plupart diminuent.

Dans cet article, l'équation (3) est résolue comme le problème des valeurs propres de la matrice, et la valeur propre d'énergie $ E_n $ et la fonction propre $ u_n (r) $ sont calculées.

code

Tout le code est [unité atomique de Rydberg](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%AD%90%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3% BB) est utilisé. c'est,

Masse électronique $ m = 1/2 $ Constante de Dirac $ \ hbar = 1 $ Longueur en Bohr $ a_ {B} = (0,529177 Å) $ unité, Énergie $ 1Ry = 13,6058 eV

Est d'être.


"""
Problème de valeur limite par méthode matricielle
Potentiel d'oscillateur harmonique isotrope 3D
"""
import numpy as np
import scipy.linalg
import matplotlib.pyplot as plt

delta_x = 0.05
x0, x1 = 0.001, 10
N=int((x1-x0)/delta_x)
print("N=",N)

L=0 #Nombre quantique orbital. Modifiez le cas échéant.

hbar=1
m_elec=1/2
omega=1


y = np.zeros([N-1,N+1])

y[:,0] = 0
y[:,-1] = 0

A=np.zeros([N-1,N-1])
B=np.identity(N-1)

v = np.zeros([N-1])
vcent = np.zeros([N-1])
veff = np.zeros([N-1])





for i in range(N-1): #Oscillateur harmonique Ponshall
    x = x0 + i*delta_x
    vcent[i] = L*(L+1)/x**2 #Potentiel centrifuge
    v[i] = m_elec*omega**2*(x**2)/2 
    
    veff[i] = v[i] +vcent[i]

for i in range(N-1):  #Faites attention à la position de l'index car il s'agit d'une matrice triple diagonale.

    if i == 0:
        A[i,i] = 2/(delta_x**2) + veff[i]
        A[i,i+1] = -1/(delta_x**2)
    elif i == N-2:
        A[i,i-1] = -1/(delta_x**2)
        A[i,i] = 2/(delta_x**2) + veff[i]
    else:
        A[i,i-1] = -1/(delta_x**2)
        A[i,i] = 2/(delta_x**2) + veff[i]
        A[i,i+1] = -1/(delta_x**2)
        
eigen, vec=  scipy.linalg.eigh(A,B)



print("eigen values_3points=",eigen[0:4])

for j in range(N-1):
    for i in range(1,N):
        y[j, i] = vec[i-1,j]

#
# for plot
X= np.linspace(x0,x1, N+1)
plt.plot(X, y[0,:],'-',markersize=5,label='y1')
plt.plot(X, y[1,:],'-',markersize=5,label='y2')
plt.plot(X, y[2,:],'-',markersize=5,label='y3')
plt.legend(loc='upper right')
plt.xlabel('X') #étiquette de l'axe des x
plt.ylabel('Y') #étiquette de l'axe y

plt.show()

résultat

L=0 eigen values_3points= [ 1.46118173 3.44087896 5.42483146]

** Les valeurs exactes de 1,5, 3,5 et 5,5 sont en accord avec quelques pour cent. ** **

La forme fonctionnelle de $ u_n (r) $ n = 0, 2, 4 est illustrée dans la figure ci-dessous.

L=1 eigen values_3points= [ 2.4997526 4.49899205 6.49760609]

** Les valeurs exactes de 2,5, 4,5 et 6,5 sont en accord avec quelques pour cent. ** **

La forme fonctionnelle de $ u_n (r) $ n = 1, 3, 5 est illustrée dans la figure ci-dessous.

Addenda

** Si la forme fonctionnelle des changements potentiels, changez simplement la formule pour v [i]. ** **

Les références

[1] [Calcul scientifique / technique par Python] Résolution du problème des valeurs aux limites des équations différentielles ordinaires au format matriciel, calcul numérique

[2] Kenichi Goto et al. ["Exercice détaillé de la théorie de la mécanique quantique appliquée"](https://www.amazon.co.jp/%E8%A9%B3%E8%A7%A3%E7%90%86%E8 % AB% 96% E5% BF% 9C% E7% 94% A8% E9% 87% 8F% E5% AD% 90% E5% 8A% 9B% E5% AD% A6% E6% BC% 94% E7% BF % 92-% E5% BE% 8C% E8% 97% A4-% E6% 86% B2% E4% B8% 80 / dp / 4320031717), Kyoritsu Publishing, 1982.