[PYTHON] Mathematische Statistik aus den Grundlagen Probabilistische Variablen

Probabilistische Variablen und Würfel

Betrachten wir zunächst das Beispiel von 1 bis 6 Würfeln ohne Verzerrung: game_die :.

Da die Würfelwürfe 1 bis 6 gleich wahrscheinlich sind (es gibt keine Verzerrung in ihrem Aussehen), kann jeder Wurf mit der folgenden Wahrscheinlichkeit gegeben werden.

$ P (Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu erhalten) = \ frac {1} {6} \ qquad P (Wahrscheinlichkeit, eine 2 zu bekommen) = \ frac {1} {6} \ qquad P (Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu bekommen) = \ frac {1} {6} \
P (Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu bekommen) = \ frac {1} {6} \ qquad P (Wahrscheinlichkeit, eine 5 zu bekommen) = \ frac {1} {6} \ qquad P (Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu bekommen) = \ frac {1} {6} $

Wenn Sie hier die Wahrscheinlichkeitsvariable $ X $ wie folgt definieren

$ X = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & (wenn 1 ausrollt) \
2 & (wenn ein 2er Wurf erscheint) \
3 & (wenn 3 Rollen) \
4 & (wenn eine 4 gewürfelt wird) \
5 & (wenn eine 5 gewürfelt wird) \
6 & (wenn eine 6 gewürfelt wird) \
\end{array}\right. $

Es wird sein. Eine Variable, die probabilistisch schwankt, wie hier $ X $, wird als ** probabilistische Variable ** bezeichnet. Der Wert, den die Wahrscheinlichkeitsvariable hier tatsächlich annimmt, wird als ** realisierter Wert ** bezeichnet.

$ P(X = x) = \frac{1}{6}, \qquad x = 1,2,3,4,5,6 $

Lassen Sie uns tatsächlich mit Python würfeln.

import numpy as np
import matplotlib as mpl

np.random.seed()

prob_dice = np.array([])
dice = np.array([1,2,3,4,5,6])
dice_data = np.random.choice(dice, dice_times)
dice_times = 10000

for i in range(1,7):
    p = len(dice_data[dice_data == i]) / dice_times
    print(i, "Wahrscheinlichkeit von", p)
    prob_dice = np.append(prob_dice, len(dice_data[dice_data == i]) / dice_times)
    
plt.bar(dice, prob_dice)
plt.grid(True)

Das Folgende ist das Ergebnis. Dieses Mal haben wir 10.000 Mal gewürfelt und die Wahrscheinlichkeit berechnet. Wie die Ergebnisse zeigen, liegt jedes Auge in der Nähe von $ \ frac {1} {6} = 0,1666 ... $.

Wahrscheinlichkeitsfunktion und kumulative Verteilungsfunktion

Es gibt verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeitsvariablen, und $ X $ ist eine ** diskrete Wahrscheinlichkeitsvariable **, wenn die möglichen Werte von $ X $ endlich oder unendlich sind (1, 2, 3, 4, Es bedeutet einen Wert, der wie 5 ...) gestreut ist, und $ X $ ist eine ** kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsvariable **, wenn es eine Dichtefunktion hat. Im Fall einer diskreten Wahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit für jedes $ x $ wie in den vorherigen Würfeln berücksichtigt, und die Funktion von $ x $ heißt ** Wahrscheinlichkeitsfunktion ** und kann wie folgt ausgedrückt werden.

$ p(x) = P(X = x)\
$

Zusätzlich hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion die folgenden Eigenschaften. Beachten Sie, dass $ \ sum $ hier die Summe der Wahrscheinlichkeiten darstellt.

$ p(x) \ge 0, \qquad \forall x \
\sum_{x}^{} p(x) = 1 $

Die Summe der kumulativen Summen der Wahrscheinlichkeitsfunktionen wird als ** kumulative Verteilungsfunktion oder Verteilungsfunktion ** bezeichnet. Die Verteilungsfunktion hat die folgenden Eigenschaften, wie Monotonie und Rechtskontinuität.

$ F(x) = P(X \le x) = \sum_{y \le x} p(y)\
(1) \quad \lim_{n \to -\infty}F(x) = 0\
(2) \ quad \ forall x, y \ in \ mathbb {R} (reelle Zahl) \
\qquad F(x) \ge F(y), \quad F(x) = \lim_{\varepsilon \to 0}F(x + \varepsilon)\
(3) \quad \lim_{n \to +\infty}F(x) = 1 $

Hier ist in $ \ forall x $ $ F (X) $ rechts stetig (ausgedrückt als $ F (X +) = F (X) $), und $ x_n $ ist eine Zahlenfolge, die monoton abnimmt und konvergiert. $ \ lim_ {x_n \ bis + \ infty} F (x_n) = F (x) $. Hier zeigt $ x + $ an, dass es aus der positiven Richtung monoton abnimmt und gegen $ x $ konvergiert. Dann kann die stochastische Funktion erhalten werden, indem die Differenz zwischen den kumulativen Verteilungsfunktionen von $ X $ wie unten gezeigt genommen wird.

$ p(x) = F(x) - \lim_{x_n \to x-} F(x_n) = F(x) - F(x-) $

Wenn Sie die kumulative Verteilung in Python implementieren, ist dies wie folgt.

import numpy as np
import matplotlib as mpl
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(0,3000)
y = norm.cdf(x, loc=1500, scale=500)

plt.plot(x,y)
plt.grid(True)
plt.xlabel("value")
plt.ylabel("possibility")