[PYTHON] [Statistikübersicht] Vier Regeln für stochastische Variablen

Einführung

Nachdem ich begonnen habe, ** Statistiken ** zu überprüfen, möchte ich meine eigene Interpretation als Memorandum zusammenfassen. Dieses Mal werde ich die grundlegendsten ** vier Regeln stochastischer Variablen ** in der Statistik zusammenfassen und in Zukunft ** Schätzung, Test, multivariate Analyse und Bayes'sche Statistik ** zusammenfassen. Ich werde versuchen, für diejenigen hilfreich zu sein, die die Statistiken überprüfen möchten, und für diejenigen, die ihr Verständnis der Statistiken überprüfen möchten.

Was ist eine geschätzte Statistik?

Was ist eine geschätzte Statistik überhaupt? Eine berühmte Anekdote über geschätzte Statistiken ist die Geschichte von ** Poancare und Baker **.

Die Anekdote ist wie folgt. Poancare ist eine bekannte Bäckerei und kaufte oft 1000 g schweres Brot. Poancare, der das Gefühl hatte, dass das Gewicht betrogen wurde, beschloss jedoch, das Brot, das er jedes Mal kaufte, zu wiegen. Ein Jahr später bestätigte Poancare, dass das Brot, das er bisher gekauft hatte, eine durchschnittliche Verteilung von durchschnittlich 950 g hatte, und fand den Betrug heraus.

Wie viel Brot musste Poancare tatsächlich kaufen, um den Betrug in der Bäckerei aufzudecken? Anhand der statistischen Segmentschätzung können wir sehen, dass ** der Kauf von etwa 70 Stück Brot zu 99,98% sicher ist, dass die Bäckerei betrügt ** (ziemlich vorsichtig). * Genau genommen ist es notwendig, die Anzahl der Proben im Voraus zu bestimmen, um eine künstliche Probenahme zu vermeiden.

Vier Regeln in der Statistik

Bevor wir plötzlich zur Intervallschätzung der Statistik übergehen, müssen wir die Formel der vier Betriebsregeln in der Statistik verstehen. Wir leiten die Formel ab, aber wenn sie problematisch ist, können Sie sie bis zu einem gewissen Grad verstehen, indem Sie nur die Ergebnisse und Kommentare überprüfen.

Definieren Sie der Einfachheit halber die folgenden Symbole und Formeln. Der Einfachheit halber nehmen wir auch an, dass das Gewicht des Brotes ein diskreter Wert ist, der nur ganzzahlige Werte annimmt. Bei stetigen Werten (reellen Zahlen) setzen Sie einfach $ \ sum_ {} $ auf $ \ int $.

** Definition von Symbolen und Formeln ** </ font> ・ $ X = (x_1, x_2, x_3 ・ ・ x_n): $ ** Wahrscheinlichkeitsvariable ** (Werte, die das Gewicht von Brot annehmen können, z. B. 900 g, 901 g, 902 g, 1000 g, 1001 g, 1002 g usw.)

\begin{align}
E(X+Y)&=\sum_{j,k}(x_j+y_k)f(x_j,y_k)\\
&=\sum_{j,k}x_jf(x_j,y_k)+\sum_{j,k}y_kf(x_j,y_k)\\
&=\sum_{j}x_jf(x_j)\sum_{k}f(y_k)+\sum_{k}y_kf(y_k)\sum_{j}f(x_j)\\
&=\sum_{j}x_jf(x_j)+\sum_{k}y_kf(y_k)\\
&=E(X)+E(Y)
\end{align}

\begin{align}
E(X×Y)=&\sum_{j,k}\bigl(x_jy_kf(x_j,y_k)\bigr)\\

=&\sum_{j}x_jf(x_j)\sum_{k}y_kf(y_k)\\
=&E(X)E(Y)
\end{align}

\begin{align}
E(a×X)&=\sum_{j}\bigl(a(x_j)f(x_j)\bigr)\\
&=ax_1f(x_1)+ax_2f(x_2)・ ・ ・\\
&=aE(X)
\end{align}

\begin{align}
V(X+Y)=&\sum_{j,k}\bigl(x_j+y_k-(μ_X+μ_Y)\bigr)^2f(x_j,y_k)\\
=&\sum_{j,k}\bigl(x_j^2+y_k^2+μ_X^2+μ_Y^2+2x_jy_k-2x_jμ_X-2x_jμ_Y-2y_kμ_X-2y_kμ_Y+2μ_Xμ_Y\bigr)f(x_j,y_k)\\
=&\sum_{j,k}\bigl(x_j-μ_X\bigr)^2f(x_j,y_k)+\sum_{j,k}\bigl(y_k-μ_Y\bigr)^2f(x_j,y_k)+2\sum_{j,k}\bigl(x_j-μ_X\bigr)\bigl(y_k-μ_Y\bigr)f(x_j,y_k)\\
=&\sum_{j}\bigl(x_j-μ_X\bigr)^2f(x_j)+\sum_{k}\bigl(y_k-μ_Y\bigr)^2f(y_k)+2\sum_{j}\bigl(x_j-μ_X\bigr)f(x_j)\sum_{k}\bigl(y_k-μ_Y\bigr)f(y_k)\\
=&V(X)+V(Y)
\end{align}

\begin{align}
V(X×Y)=&\sum_{j,k}\bigl(x_jy_k-μ_Xμ_Y\bigr)^2f(x_j,y_k)\\
=&\sum_{j,k}\bigl((x_jy_k)^2-2x_jy_kμ_Xμ_Y+(μ_Xμ_Y)^2\bigr)f(x_j,y_k)\\
=&\sum_{j,k}(x_jy_k)^2f(x_j,y_k)-μ_Xμ_Y\sum_{j,k}2x_jy_kf(x_j,y_k)+(μ_Xμ_Y)^2\\
=&\sum_{j,k}(x_jy_k)^2f(x_j,y_k)-2(μ_Xμ_Y)^2+(μ_Xμ_Y)^2\\
=&\sum_{j}x_j^2f(x_j)\sum_{k}y_k^2f(y_k)-(μ_Xμ_Y)^2 \\
=&E(X^2)E(Y^2)-(μ_Xμ_Y)^2\\
=&\bigl(V(X)+μ_X^2\bigr)\bigl(V(Y)+μ_Y^2\bigr)-(μ_Xμ_Y)^2　※V(X)=\sum_{k}(x_k-μ_X)^2f(x_k)=E(X^2)-μ_X^2\\
=&V(X)V(Y)+μ_Y^2V(X)+μ_X^2V(Y)
\end{align}

\begin{align}
V(a×X)=&\sum_{j}(ax_j-μ_{ax})^2f(x_j)\\
=&(ax_1-aμ_x)^2+(ax_2-aμ_x)^2+(ax_3-aμ_x)^2+・ ・ ・\\
=&a^2\sum_{j}(x_j-μ_{x})^2f(x_j)\\
=&a^2V(X)
\end{align}