Die Länge mit Richtung kann durch einen Vektor ausgedrückt werden. Die Clifford-Algebra ermöglicht es, Bereiche und Volumina durch Kombinieren von Vektoren zu behandeln. Führen Sie die Pauli-Matrix als Repräsentationsmatrix für die dreidimensionale Clifford-Algebra ein und stellen Sie sicher, dass sie isomorph zum binären Quartär ist. Eine Berechnung von SymPy ist beigefügt.
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Dies ist eine Berechnungsmethode, mit der Sie geometrische Objekte (Länge, Fläche, Volumen usw.) algebraisch behandeln können.
Ich werde diesmal kurz erklären, soweit dies erforderlich ist.
Der Vektor, der die Koordinatenachsen darstellt, wird als Basisvektor bezeichnet. In 3D $ xyz $ -Koordinaten ist $ x $ axialer Basisvektor $ \ mathbf {e_1} $, $ y $ axialer Basisvektor ist $ \ mathbf {e_2} $, $ z $ axialer Basisvektor Sei $ \ mathbf {e_3} $.
\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\mathbf{e_3}=
\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right)
Mit Basisvektoren können Sie Vektoren im algebraischen Stil schreiben.
\begin{align}
\left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right)
&= \left(\begin{matrix} x \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)
+ \left(\begin{matrix} 0 \\ y \\ 0 \end{matrix}\right)
+ \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ z \end{matrix}\right) \\
&=x\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)
+y\left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right)
+z\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \\
&=x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2}+z\mathbf{e_3}
\end{align}
Hier ist ein konkretes Beispiel.
\left(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\right)
=2\mathbf{e_1}+3\mathbf{e_2}+4\mathbf{e_3}
Ein Vektor, der auf diese Weise durch eine lineare Verbindung (konstantes Vielfaches und Summe) von Basisvektoren dargestellt wird, wird in algebraischen Begriffen von Clifford als ** 1-Vektor ** bezeichnet.
Im Alltag denken wir an Einheiten wie folgt.
Wenn wir dies auf die Basis anwenden, können wir uns das wie folgt vorstellen.
$ \ mathbf {e_1e_2} $ ist die Basis für die Fläche und der Koeffizient ist für den Flächenwert.
Hier ist ein einfaches Beispiel.
(2\mathbf{e_1})(3\mathbf{e_2})=6\mathbf{e_1e_2}
Die linke Seite repräsentiert ein Rechteck mit den Seiten 2 und 3, und die $ 6 $ auf der rechten Seite repräsentieren den Bereich.
Die Fläche, die auf diese Weise durch die Kombination zweier Basen dargestellt wird, wird in algebraischen Begriffen von Clifford als ** 2-Vektor ** bezeichnet. So wie ein 1-Vektor die Größe (Länge) eines Liniensegments darstellt, repräsentiert ein 2-Vektor die Größe (Fläche) einer Oberfläche.
Das äußere Produkt zweier sich diagonal schneidender 1-Vektoren repräsentiert die Fläche des parallelen Vierecks, das sie strecken.
So wie ein 1-Vektor eine Richtungslänge ist, ist ein 2-Vektor eine Richtungsfläche. Die Breite des Ausdrucks ändert sich je nach Dimension.
Die Ausrichtung wird durch ein Vorzeichen dargestellt, da sich parallele Vierecke immer in der $ xy $ -Ebene befinden. Das Zeichen wird davon beeinflusst, wie die Basis genommen wird. Es ist positiv, wenn die beiden 1-Vektoren, die die Oberfläche dehnen, dieselbe Positionsbeziehung wie die Basis haben (im rechtshändigen System gegen den Uhrzeigersinn).
Die Fläche, auf der das parallele Viereck angeordnet ist, zeigt in verschiedene Richtungen. Die Orientierung wird als Verhältnis der Komponenten zur Koordinatenebene ausgedrückt.
Auf die gleiche Weise können Sie einen ** 3-Vektor ** definieren, der das Volumen darstellt. Dieses Mal sind 4 Dimensionen und mehr außerhalb des Geltungsbereichs, sodass 3 Dimensionen angenommen werden.
Hier ist ein einfaches Beispiel.
(2\mathbf{e_1})(3\mathbf{e_2})(4\mathbf{e_3})=24\mathbf{e_1e_2e_3}
Die linke Seite repräsentiert ein Quadrat mit den Seiten 2, 3 und 4, und die rechte Seite $ 24 $ repräsentiert das Volumen.
Das äußere Produkt der drei sich diagonal schneidenden 1-Vektoren repräsentiert das Volumen der parallelen Hexaeder, die sie strecken.
In einem 3-Vektor wird die Orientierung durch ein Vorzeichen dargestellt. Das Zeichen wird davon beeinflusst, wie die Basis genommen wird. Es ist positiv, wenn die drei 1-Vektoren, die die Oberfläche dehnen, dieselbe Positionsbeziehung wie die Basis haben. Es ist etwas schwer vorstellbar, aber Sie sollten sich des Verhaltens bewusst sein, dass das Vorzeichen durch Spiegelbildinversion invertiert wird.
Im Algebra-Stil geschrieben, können Sie die Vektormultiplikation wie eine normale Algebra behandeln.
Betrachten Sie zum Vergleich die Erweiterung eines normalen Ausdrucks, der keinen Vektor verwendet.
>>> from sympy import *
>>> x,y=symbols("x y")
>>> a,b,c,d=symbols("a b c d")
>>> (a*x+b*y)*(c*x+d*y)
(a*x + b*y)*(c*x + d*y)
>>> expand((a*x+b*y)*(c*x+d*y))
a*c*x**2 + a*d*x*y + b*c*x*y + b*d*y**2
>>> expand((a*x+b*y)*(c*x+d*y)).collect(x*y)
a*c*x**2 + b*d*y**2 + x*y*(a*d + b*c)
\begin{align}
&(ax+by)(cx+dy) \\
&=ax(cx+dy) \\
&\quad +by(cx+dy) \\
&=acx^2+adxy \\
&\quad +bc\underbrace{yx}_{xy}+bdy^2 \\
&=acx^2+bdy^2+\underbrace{(ad+bc)xy}_{Cross term}
\end{align}
Beachten Sie, dass wir das konvertierbare $ xy = yx $ verwenden, um ähnliche Begriffe zu gruppieren.
>>> x,y,z=symbols("x y z")
>>> a1,a2,a3,b1,b2,b3=symbols("a1:4 b1:4")
>>> (a1*x+a2*y+a3*z)*(b1*x+b2*y+b3*z)
(a1*x + a2*y + a3*z)*(b1*x + b2*y + b3*z)
>>> expand((a1*x+a2*y+a3*z)*(b1*x+b2*y+b3*z))
a1*b1*x**2 + a1*b2*x*y + a1*b3*x*z + a2*b1*x*y + a2*b2*y**2 + a2*b3*y*z + a3*b1*x*z + a3*b2*y*z + a3*b3*z**2
>>> expand((a1*x+a2*y+a3*z)*(b1*x+b2*y+b3*z)).collect([x*y,y*z,z*x])
a1*b1*x**2 + a2*b2*y**2 + a3*b3*z**2 + x*y*(a1*b2 + a2*b1) + x*z*(a1*b3 + a3*b1) + y*z*(a2*b3 + a3*b2)
\begin{align}
&(a_1+a_2y+a_3z)(b_1x+b_2y+b_3z) \\
&=a_1x(b_1x+b_2y+b_3z) \\
&\quad +a_2y(b_1x+b_2y+b_3z) \\
&\quad +a_3z(b_1x+b_2y+b_3z) \\
&=a_1b_1x^2+a_1b_2xy+a_1b_3\underbrace{xz}_{zx} \\
&\quad +a_2b_1\underbrace{yx}_{xy}+a_2b_2y^2+a_3b_3yz \\
&\quad +a_3b_1zx+a_3b_2\underbrace{zy}_{yz}+a_3b_3z^2 \\
&=a_1b_1x^2+a_2b_2y^2+a_3b_3z^2 \\
&\quad +\underbrace{(a_1b_2+a_2b_1)xy+(a_2b_3+a_3b_2)yz+(a_3b_1+a_1b_3)zx}_{Cross term} \\
\end{align}
Termvariablen sind zyklisch angeordnet ($ x → y → z → x → \ cdots $).
Die Clifford-Algebra liefert ein ** geometrisches Produkt ** als Vektormultiplikation. Auf diese Weise können Sie das innere und das äußere Produkt aus zwei Vektoren gleichzeitig berechnen.
Die Produkte verschiedener Basen verbinden sich.
[Beispiel]\ \mathbf{e_1e_2}
Das Produkt derselben Basis ist $ 1 $. Dies ist die Regel zur Berechnung des inneren Produkts.
[Beispiel]\ \mathbf{e_1e_1}=1
Wenn Sie die Reihenfolge der kombinierten Basen ändern, wird das Vorzeichen umgekehrt. Dies wird als ** Austauschbarkeit ** bezeichnet. Dies ist die Regel für die Berechnung des Außenprodukts.
[Beispiel]\ \mathbf{e_1e_2}=-\mathbf{e_2e_1}
Ein zweidimensionaler 1-Vektor wird durch zwei Komponenten dargestellt. Berechnen Sie ihr geometrisches Produkt. Vergleichen Sie es mit der Erweiterung des obigen Ausdrucks mit zwei Variablen.
\begin{align}
&(a\mathbf{e_1}+b\mathbf{e_2})(c\mathbf{e_1}+d\mathbf{e_2}) \\
&=a\mathbf{e_1}(c\mathbf{e_1}+d\mathbf{e_2}) \\
&\quad +b\mathbf{e_2}(c\mathbf{e_1}+d\mathbf{e_2}) \\
&=ac\underbrace{\mathbf{e_1e_1}}_{1}+ad\mathbf{e_1e_2} \\
&\quad +bc\underbrace{\mathbf{e_2e_1}}_{-\mathbf{e_1e_2}}+bd\underbrace{\mathbf{e_2e_2}}_{1} \\
&=\underbrace{(ac+bd)}_{Innenprodukt}+\underbrace{(ad-bc)\mathbf{e_1e_2}}_{Äußeres Produkt} \\
\end{align}
Sie können sehen, dass das innere Produkt aus der Regel erhalten werden kann, dass dieselbe Basis $ 1 $ beträgt, und das äußere Produkt aus der Anti-Austauschbarkeit erhalten werden kann. Das äußere Produkt ist Teil des Kreuzbegriffs.
Der äußere Produktkoeffizient $ ad-bc $ ist die Fläche eines parallelen Vierecks, das von zwei 1-Vektoren überspannt wird. Dies entspricht dem Matrixausdruck für eine nebeneinander liegende Matrix aus zwei 1-Vektoren.
\det\left(\begin{array}{c|c}a&c\\b&d\end{array}\right)=ad-bc
Ein dreidimensionaler 1-Vektor wird durch drei Komponenten dargestellt. Berechnen Sie ihr geometrisches Produkt. Vergleichen Sie es mit der Erweiterung des obigen Ausdrucks mit drei Variablen.
\begin{align}
&(a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_3})(b_1\mathbf{e_1}+b_2\mathbf{e_2}+b_3\mathbf{e_3}) \\
&=a_1\mathbf{e_1}(b_1\mathbf{e_1}+b_2\mathbf{e_2}+b_3\mathbf{e_3}) \\
&\quad +a_2\mathbf{e_2}(b_1\mathbf{e_1}+b_2\mathbf{e_2}+b_3\mathbf{e_3}) \\
&\quad +a_3\mathbf{e_3}(b_1\mathbf{e_1}+b_2\mathbf{e_2}+b_3\mathbf{e_3}) \\
&=a_1b_1\underbrace{\mathbf{e_1e_1}}_{1}+a_1b_2\mathbf{e_1e_2}+a_1b_3\underbrace{\mathbf{e_1e_3}}_{-\mathbf{e_3e_1}} \\
&\quad +a_2b_1\underbrace{\mathbf{e_2e_1}}_{-\mathbf{e_1e_2}}+a_2b_2\underbrace{\mathbf{e_2e_2}}_{1}+a_2b_3\mathbf{e_2e_3} \\
&\quad +a_3b_1\mathbf{e_3e_1}+a_3b_2\underbrace{\mathbf{e_3e_2}}_{-\mathbf{e_2e_3}}+a_3b_3\underbrace{\mathbf{e_3e_3}}_{1} \\
&=\underbrace{(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)}_{Innenprodukt} \\
&\quad +\underbrace{(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{e_1e_2}+(a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{e_2e_3}+(a_3b_1-a_1b_3)\mathbf{e_3e_1}}_{Äußeres Produkt} \\
\end{align}
Das äußere Produkt hat drei Komponenten, weil das parallele Viereck, das von zwei Vektoren überspannt wird, auf die Ebene auf den Achsen von $ xy, yz, zx $ projiziert wird, die durch die Basis des 2-Vektors dargestellt werden. Die Ausrichtung der Oberfläche wird durch die drei Komponenten ausgedrückt.
Die Fläche eines parallelen Vierecks ergibt sich als Quadratwurzel der Summe der Quadrate der drei Komponenten.
\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2+(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2}
Es gibt acht Arten aller Basen in drei Dimensionen, einschließlich nicht markierter Skalare. Ordnen Sie alles formal in Form eines Polypolys an. (Ein solches Polypoly heißt ** formale Summe **)
\underbrace{a_0}_{Skalar}+\underbrace{a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_3}}_{1-Vektor}+\underbrace{a_4\mathbf{e_1e_2}+a_5\mathbf{e_2e_3}+a_6\mathbf{e_3e_1}}_{2-Vektor}+\underbrace{a_7\mathbf{e_1e_2e_3}}_{3-Vektor}
Wenn man sich auf die Anzahl der Terme konzentriert, sind der Skalar und der 3-Vektor jeweils ein Term, und der 1-Vektor und der 2-Vektor sind jeweils drei Terme.
Da die Anzahl der Terme gleich ist, kann der 2-Vektor als Pseudo-1-Vektor behandelt werden. Ein von einem solchen 2-Vektor abgeleiteter 1-Vektor wird als ** Pseudovektor ** bezeichnet. Ein typischer Pseudovektor erscheint als eine Art äußeres Produkt, das als Vektorprodukt bezeichnet wird.
In ähnlicher Weise können 3-Vektoren als Pseudoskalare behandelt werden. Von solchen 3-Vektoren abgeleitete Skalare werden als ** Pseudoskalare ** bezeichnet.
\underbrace{a_0}_{Skalar}+\underbrace{a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_3}}_{Vektor}+\underbrace{a_4\mathbf{e_1e_2}+a_5\mathbf{e_2e_3}+a_6\mathbf{e_3e_1}}_{擬Vektor}+\underbrace{a_7\mathbf{e_1e_2e_3}}_{擬Skalar}
Ein dreidimensionaler Pseudovektor entspricht der Normalen zur Oberfläche, die durch den 2-Vektor dargestellt wird.
In der bisherigen Erklärung wird der 1-Vektor durch einen Vektor dargestellt, aber der 2-Vektor und der 3-Vektor sind als Algebren dargestellt. Ist es nicht möglich, diese zusammen in einer Matrix gleicher Größe auszudrücken und das geometrische Produkt so zu berechnen, wie es durch das Produkt der Matrizen ist? Mit anderen Worten, kann die Clifford-Algebra durch eine Matrix dargestellt werden?
Da die formale Summe 8 Terme beträgt, ist die Informationsmenge von $ ℝ ^ 8 $ erforderlich, um alle Koeffizienten zu speichern. Eine quadratische Matrix ist bei der Berechnung des Matrizenprodukts einfach zu handhaben, sodass eine quadratische komplexe quadratische Matrix passt.
Finde eine solche Matrix. Und wir sehen, dass es die ** Pauli Matrix ** heißt.
Die Basis des Skalars ist $ 1 $. Weisen Sie eine Einheitsmatrix zu, da dies das Einheitselement der Multiplikation ist.
1↦I=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)
Komplexisieren Sie jede Basis, erhöhen Sie die Spalten und füllen Sie sie mit Unbekannten.
\begin{align}
\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right)
&\xrightarrow{Komplexisierung}
\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} i \\ 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \\
&\xrightarrow{Spalten erhöhen}
\left(\begin{matrix} 1 & x_1 \\ 0 & y_1 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} i & x_2 \\ 0 & y_2 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 & x_3 \\ 1 & y_3 \end{matrix}\right)
\end{align}
Finden Sie die Lösung, weil das Quadrat der Basis $ 1 $ ist. Da "lösen" eine Gleichung so spezifiziert, dass $ = 0 $ ist, wird die Einheitsmatrix "_1" auf der rechten Seite auf die linke Seite transponiert, um "-_1" zu bilden.
>>> x1,x2,x3,y1,y2,y3=symbols("x1:4 y1:4")
>>> _1=eye(2)
>>> solve(Matrix([[1,x1],[0,y1]])**2-_1,[x1,y1])
[(0, -1), (0, 1)]
>>> solve(Matrix([[I,x2],[0,y2]])**2-_1,[x2,y2])
[]
>>> solve(Matrix([[0,x3],[1,y3]])**2-_1,[x3,y3])
[(1, 0)]
\begin{align}
\left(\begin{matrix} 1 & x_1 \\ 0 & y_1 \end{matrix}\right)^2&=I&
∴(x_1,y_1)&=(0,-1),(0,1) \\
\left(\begin{matrix} i & x_2 \\ 0 & y_2 \end{matrix}\right)^2&=I&
∴(x_2,y_2)&=Keine Lösung\\
\left(\begin{matrix} 0 & x_3 \\ 1 & y_3 \end{matrix}\right)^2&=I&
∴(x_3,y_3)&=(1,0)
\end{align}
$ (x_1, y_1) $ hat zwei Lösungen, aber $ (0,1) $ ist eine Einheitsmatrix und wurde bereits dem Skalar zugewiesen, sodass $ (0, -1) $ übernommen wird.
$ (x_2, y_2) $ hat keine Lösung. Wenn Sie die Komponenten der Matrix überprüfen, können Sie feststellen, dass sie nicht hergestellt wurde, bevor Sie das Unbekannte gefunden haben, da die konstanten Komponenten unterschiedlich sind.
>>> Matrix([[I,x2],[0,y2]])**2
Matrix([
[-1, x2*y2 + I*x2],
[ 0, y2**2]])
\left(\begin{matrix} i & x_2 \\ 0 & y_2 \end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix} -1 & x_2y_2+x_2i \\ 0 & y_2^2 \end{matrix}\right)
≠\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)
Dadurch werden die Basen nicht ausgerichtet. Verschieben wir stattdessen $ i $ in die zweite Zeile.
>>> x4,y4=symbols("x4 y4")
>>> solve(Matrix([[0,x4],[I,y4]])**2-_1,[x4,y4])
[(-I, 0)]
\begin{align}
\left(\begin{matrix} 0 & x_4 \\ i & y_4 \end{matrix}\right)^2&=I&
∴(x_4,y_4)&=(-i,0)
\end{align}
Jetzt haben Sie drei Basen. Sagen wir $ E $.
>>> E=[Matrix([[1,0],[0,-1]]),Matrix([[0,1],[1,0]]),Matrix([[0,-I],[I,0]])]
E_0,E_1,E_2:=
\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
Da es von der ursprünglichen Annahme abweicht, muss überlegt werden, welche $ \ mathbf {e_1}, \ mathbf {e_2}, \ mathbf {e_3} $ zugewiesen werden soll.
Betrachten Sie die 3-Vektor-Basis, um die Darstellungsmatrix der 1-Vektor-Basis zu bestimmen.
In der Clifford-Algebra ergibt das Quadrat der 3-Vektor-Basis $ \ mathbf {e_1e_2e_3} $ $ -1 $. Sie können dies überprüfen, indem Sie den Austausch wie beim Sortieren von Blasen wiederholen.
\begin{align}
(\mathbf{e_1e_2e_3})^2
&=\mathbf{e_1e_2}\underbrace{\mathbf{e_3e_1}}_{Austausch}\mathbf{e_2e_3} \\
&=-\mathbf{e_1}\underbrace{\mathbf{e_2e_1}}_{Austausch}\mathbf{e_3e_2e_3} \\
&=\mathbf{e_1e_1e_2}\underbrace{\mathbf{e_3e_2}}_{Austausch}\mathbf{e_3} \\
&=-\underbrace{\mathbf{e_1e_1}}_{1}\underbrace{\mathbf{e_2e_2}}_{1}\underbrace{\mathbf{e_3e_3}}_{1} \\
&=-1
\end{align}
$ \ mathbf {e_1e_2e_3} $ wird mit der imaginären Zahl $ i $ gleichgesetzt, da sie im Quadrat zu $ -1 $ wird ($ \ mathbf {e_1e_2e_3} = i $).
Überprüfen Sie das Produkt, indem Sie die zuvor erhaltene Bestellung von $ E $ neu ordnen.
>>> import itertools
>>> r=list(range(3))
>>> r
[0, 1, 2]
>>> p=list(itertools.permutations(r))
>>> p
[(0, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1), (2, 1, 0)]
>>> for i,j,k in p: print(i,j,k,E[i]*E[j]*E[k])
...
0 1 2 Matrix([[I, 0], [0, I]])
0 2 1 Matrix([[-I, 0], [0, -I]])
1 0 2 Matrix([[-I, 0], [0, -I]])
1 2 0 Matrix([[I, 0], [0, I]])
2 0 1 Matrix([[I, 0], [0, I]])
2 1 0 Matrix([[-I, 0], [0, -I]])
\begin{align}
E_0E_1E_2
&=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right)=iI \\
E_0E_2E_1
&=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}-i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right)=-iI \\
E_1E_0E_2
&=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}-i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right)=-iI \\
E_1E_2E_0
&=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right)=iI \\
E_2E_0E_1
&=\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right)=iI \\
E_2E_1E_0
&=\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}-i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right)=-iI
\end{align}
Es wurde gefunden, dass die drei Kombinationen von $ E_0E_1E_2, E_1E_2E_0 und E_2E_0E_1 $ $ i $ mal die Einheitsmatrix sind.
Der Rest ist eine Frage der Entscheidung. Wir wählen dies als Repräsentationsmatrix für $ \ mathbf {e_1} $, da $ E_1 $ eine einfache Form hat (vorzeichenlose, spiegelinvertierte Einheitsmatrix). Sobald $ \ mathbf {e_1} $ bestimmt ist, wird die spätere Kombination automatisch bestimmt. Diese Kombination heißt ** Pauli Matrix ** und wird als $ σ_1, σ_2, σ_3 $ geschrieben.
>>> s1,s2,s3=Matrix([[0,1],[1,0]]),Matrix([[0,-I],[I,0]]),Matrix([[1,0],[0,-1]])
\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\mathbf{e_3} \mapsto σ_1,σ_2,σ_3 :=
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
3-Überprüfen Sie die Darstellung der Basis des Vektors erneut.
\mathbf{e_1e_2e_3}=i \quad\cong\quad σ_1σ_2σ_3=iI
In diesem Artikel werden $ \ mathbf {e_n} $ und $ σ_n $ wie folgt ordnungsgemäß verwendet.
Da die Ausdrucksmatrix festgelegt wurde, handelt es sich um eine mechanische Berechnung.
Überprüfen Sie die Darstellungsmatrix für alle Kombinationen.
>>> s1*s2
Matrix([
[I, 0],
[0, -I]])
>>> s2*s1
Matrix([
[-I, 0],
[ 0, I]])
>>> s2*s3
Matrix([
[0, I],
[I, 0]])
>>> s3*s2
Matrix([
[ 0, -I],
[-I, 0]])
>>> s3*s1
Matrix([
[ 0, 1],
[-1, 0]])
>>> s1*s3
Matrix([
[0, -1],
[1, 0]])
\begin{align}
\mathbf{e_1e_2}&\mapsto σ_1σ_2=\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_2e_1}&\mapsto σ_2σ_1=\left(\begin{matrix}-i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_2e_3}&\mapsto σ_2σ_3=\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_3e_2}&\mapsto σ_3σ_2=\left(\begin{matrix} 0 &-i \\-i & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_3e_1}&\mapsto σ_3σ_1=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_1e_3}&\mapsto σ_1σ_3=\left(\begin{matrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
\end{align}
Überprüfen Sie die Austauschbarkeit.
>>> s1*s2==-s2*s1
True
>>> s2*s3==-s3*s2
True
>>> s3*s1==-s1*s3
True
Mit der Eigenschaft, dass das geometrische Produkt derselben Basis $ 1 $ ist, können wir die 3-Vektor-Basis $ i = \ mathbf {e_1e_2e_3} $ in eine 2-Vektor-Basis aufteilen.
\begin{align}
i\mathbf{e_1}&=\mathbf{e_1e_2e_3e_1}=\mathbf{e_1e_1e_2e_3}=\mathbf{e_2e_3} \\
i\mathbf{e_2}&=\mathbf{e_1e_2e_3e_2}=-\mathbf{e_1e_2e_2e_3}=-\mathbf{e_1e_3}=\mathbf{e_3e_1} \\
i\mathbf{e_3}&=\mathbf{e_1e_2e_3e_3}=\mathbf{e_1e_2}
\end{align}
Die mit $ i $ multiplizierten Basen heben sich gegenseitig auf und lassen den Rest der Basen zurück. Eine solche komplementäre Beziehung heißt ** Hodge Dual **.
\mathbf{e_1} \overset{Hodge Dual}{\longleftrightarrow} \mathbf{e_2e_3} \\
\mathbf{e_2} \overset{Hodge Dual}{\longleftrightarrow} \mathbf{e_3e_1} \\
\mathbf{e_3} \overset{Hodge Dual}{\longleftrightarrow} \mathbf{e_1e_2}
Versuchen Sie die gleiche Berechnung mit der Pauli-Matrix.
>>> I*s1
Matrix([
[0, I],
[I, 0]])
>>> I*s2
Matrix([
[ 0, 1],
[-1, 0]])
>>> I*s3
Matrix([
[I, 0],
[0, -I]])
>>> I*s1==s2*s3
True
>>> I*s2==s3*s1
True
>>> I*s3==s1*s2
True
iσ_1,iσ_2,iσ_3=
\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right) \\
iσ_1=σ_2σ_3,\ iσ_2=σ_3σ_1,\ iσ_3=σ_1σ_2
Die Clifford-Algebra tauscht Basen aus und löscht sie, aber die Pauli-Matrix multipliziert nur Komponenten mit imaginären Zahlen. Es ist interessant, dass das gleiche Ergebnis erzielt wird, obwohl die Berechnungsmethode völlig unterschiedlich ist. Wenn Sie sich nur die Berechnung der Pauli-Matrix ansehen, können Sie nicht erkennen, dass die Basis des 3-Vektors gebrochen ist, sodass sie interpretiert werden kann, indem Sie sie mit dem Standpunkt der Clifford-Algebra kombinieren.
Die Standardnotation für die Clifford-Algebra besteht darin, die Basen auszurichten (z. B. $ \ mathbf {e_1e_2} $). Andererseits ist es bei der Berechnung der Pauli-Matrix Standard, die Komponenten zu berechnen und $ i $ als gemeinsamen Faktor einzuschließen.
Zeigt die Entsprechung der Basen an.
\begin{align}
1 &\mapsto I =\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_1} &\mapsto σ_1=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_2} &\mapsto σ_2=\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_3} &\mapsto σ_3=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_1e_2} &\mapsto iσ_3=\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_2e_3} &\mapsto iσ_1=\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_3e_1} &\mapsto iσ_2=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_1e_2e_3} &\mapsto iI =\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right)
\end{align}
Vergleichen Sie formale Summenausdrücke.
\begin{align}
&\underbrace{a_0}_{Skalar}+\underbrace{a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_3}}_{1-Vektor}+\underbrace{a_4\mathbf{e_1e_2}+a_5\mathbf{e_2e_3}+a_6\mathbf{e_3e_1}}_{2-Vektor}+\underbrace{a_7\mathbf{e_1e_2e_3}}_{3-Vektor} \\
&\mapsto \underbrace{a_0I}_{Skalar}+\underbrace{a_1σ_1+a_2σ_2+a_3σ_3}_{1-Vektor}+\underbrace{a_4iσ_3+a_5iσ_1+a_6iσ_2}_{2-Vektor}+\underbrace{a_7iI}_{3-Vektor} \\
&=a_0\underbrace{\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)}_{I}
+a_1\underbrace{\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)}_{σ_1}
+a_2\underbrace{\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)}_{σ_2}
+a_3\underbrace{\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)}_{σ_3} \\
&\quad
+a_4\underbrace{\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right)}_{iσ_3}
+a_5\underbrace{\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right)}_{iσ_1}
+a_6\underbrace{\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix}\right)}_{iσ_2}
+a_7\underbrace{\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right)}_{iI} \\
&=\left(\begin{matrix} a_0+a_3+a_4i+a_7i & a_1-a_2i+a_5i+a_6 \\ a_1+a_2i+a_5i-a_6 & a_0-a_3-a_4i+a_7i \end{matrix}\right)
\end{align}
In der Pauli-Matrixdarstellung werden Pseudoskalar und Pseudovektor dargestellt, indem die Basis des Skalars und der 1-Vektor mit $ i $ multipliziert werden, was die Hodge-Dualität darstellt. Die Begriffe werden neu angeordnet, damit die Korrespondenz leicht verständlich ist.
\begin{align}
&\underbrace{a_0I}_{Skalar}+\underbrace{a_1σ_1+a_2σ_2+a_3σ_3}_{Vektor} \\
&+\underbrace{i}_{Hodge Dual}
(\underbrace{a_7I}_{Pseudoskalar}+\underbrace{a_5σ_1+a_6σ_2+a_4σ_3}_{Pseudovektor})
\end{align}
2-Die Basis des Vektors ist auf $ -1 $ quadriert. Die Verwendung der Pauli-Matrix ist möglicherweise einfacher zu verstehen.
(\mathbf{e_1e_2})^2=\mathbf{e_1e_2e_1e_2}=-\mathbf{\underbrace{e_1e_1}_{1}\underbrace{e_2e_2}_{1}}=-1 \\
(iσ_3)^2=\underbrace{i^2}_{-1}\underbrace{σ_3^2}_{1}=-1
2-Da es drei Arten von Vektorbasen gibt, entspricht sie wahrscheinlich dem Vierfachen von $ i, j, k $.
Versuchen Sie, $ ij = k $ zu reproduzieren. Wenn Sie es jedoch einfach multiplizieren, hat es ein Minus.
(\mathbf{e_2e_3})(\mathbf{e_3e_1})=\mathbf{e_2e_3e_3e_1}=-\mathbf{e_1e_2} \\
(iσ_1)(iσ_2)=i^2σ_1σ_2=-iσ_3
In diesem Fall besteht die Idee der Umkehrung darin, der Basis von Anfang an ein Minus zu addieren, das $ i, j, k $ entspricht.
\begin{align}
i,j,k
&\mapsto -\mathbf{e_2e_3},-\mathbf{e_3e_1},-\mathbf{e_1e_2} \\
&\mapsto -iσ_1,-iσ_2,-iσ_3
\end{align}
Auf diese Weise kann $ ij = k $ gut reproduziert werden.
\underbrace{(-\mathbf{e_2e_3})}_{i}\underbrace{(-\mathbf{e_3e_1})}_{j}=\underbrace{-\mathbf{e_1e_2}}_{k} \\
\underbrace{(-iσ_1)}_{i}\underbrace{(-iσ_2)}_{j}=\underbrace{-iσ_3}_{k} \\
Quadranten entsprechen Skalaren (wie sie sind) und 2-Vektoren (invertiert).
\begin{align}
&\underbrace{a}_{Skalar}+\underbrace{bi+cj+dk}_{2-Vektor} \\
&\mapsto a-b\mathbf{e_2e_3}-c\mathbf{e_3e_1}-d\mathbf{e_1e_2} \\
&\mapsto aI-biσ_1-ciσ_2-diσ_3 \\
&=a\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)
-b\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
-c\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix}\right)
-d\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right) \\
&=a \underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
+b \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)}_{i}
+c \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
+d \underbrace{\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{k} \\
&=\left(\begin{matrix}a-di & -bi-c \\ -bi+c & a+di\end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix}(a+di)^* & -(c+bi) \\ (c+bi)^* & a+di\end{matrix}\right)
\end{align}
Verwenden wir die Clifford-Algebra als Referenz.
\begin{align}
&a+b\mathbf{e_1e_2}+c\mathbf{e_2e_3}+d\mathbf{e_3e_1} \\
&\mapsto aI+biσ_3+ciσ_1+diσ_2 \\
&\mapsto a-bk-ci-dj
\end{align}
Bei der Interpretation der quaternären Zahl in der Clifford-Algebra wurde festgestellt, dass sie Skalaren und 2-Vektoren entspricht. Dies ist jedoch als Cliffords Algebra unvollständig, daher werden wir eine Methode zur Erweiterung der Quartärzahl auf 1-Vektoren in Betracht ziehen.
Sie können in 1-Vektor konvertieren, indem Sie 2-Vektor mit einer imaginären Zahl (3-Vektor-Basis) multiplizieren.
i(\mathbf{e_2e_3})=\mathbf{e_1e_2e_3e_2e_3}=-\mathbf{e_1e_2e_2e_3e_3}=-\mathbf{e_1} \\
i(iσ_1)=-σ_1
Wenn Sie der quaternären Zahl ein neues imaginäres $ h $ hinzufügen, das die Basis des 3-Vektors bildet, entspricht es dem Typ der Clifford-Algebra, indem Sie es mit dem vorhandenen Element $ i, j, k $ kombinieren. Eine solche erweiterte quaternäre Nummer wird als ** doppelte quaternäre Nummer ** bezeichnet.
\begin{align}
&(a_0+a_1i+a_2j+a_3k)+\underbrace{(a_4+a_5i+a_6j+a_7k)}_{zusammengesetzt}\underbrace{h}_{hinzufügen} \\
&=\underbrace{a_0}_{Skalar}+\underbrace{a_1i+a_2j+a_3k}_{2-Vektor}+\underbrace{a_4h}_{3-Vektor}+\underbrace{a_5hi+a_6hj+a_7hk}_{1-Vektor}
\end{align}
Überprüfen Sie die Entsprechung zwischen $ hi, hj, hk $ und der Pauli-Matrix.
\begin{align}
hi &\mapsto \underbrace{i}_{h}\underbrace{(-iσ_1)}_{i}=σ_1 \\
hj &\mapsto \underbrace{i}_{h}\underbrace{(-iσ_2)}_{j}=σ_2 \\
hk &\mapsto \underbrace{i}_{h}\underbrace{(-iσ_3)}_{k}=σ_3 \\
∴hi,hj,hk &\mapsto σ_1,σ_2,σ_3
\end{align}
Die Entsprechung mit der Clifford-Algebra und der Pauli-Matrix basierend auf dem quaternären Quadranten ist wie folgt.
\begin{align}
&\underbrace{a_0}_{Skalar}+\underbrace{a_1i+a_2j+a_3k}_{2-Vektor}+\underbrace{a_4h}_{3-Vektor}+\underbrace{a_5hi+a_6hj+a_7hk}_{1-Vektor} \\
&\mapsto a_0-a_1\mathbf{e_2e_3}-a_2\mathbf{e_3e_1}-a_3\mathbf{e_1e_2}+a_4\mathbf{e_1e_2e_3}+a_5\mathbf{e_1}+a_6\mathbf{e_2}+a_7\mathbf{e_3} \\
&\mapsto a_0I-a_1iσ_1-a_2iσ_2-a_3iσ_3+a_4iI+a_5σ_1+a_6σ_2+a_7σ_3 \\
&=a_0\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)
-a_1\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
-a_2\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix}\right)
-a_3\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right) \\
&\quad
+a_4\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right)
+a_5\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
+a_6\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
+a_7\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right) \\
&=a_0\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
+a_1\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)}_{i}
+a_2\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
+a_3\underbrace{\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{k} \\
&\quad
+a_4\underbrace{\left(\begin{matrix} i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{h}
+a_5\underbrace{\left(\begin{matrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{hi}
+a_6\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\ i& 0 \end{matrix}\right)}_{hj}
+a_7\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)}_{hk} \\
&=\left(\begin{matrix} a_0-a_3i+a_4i+a_7 & -a_1i-a_2+a_5-a_6i \\ -a_1i+a_2+a_5+a_6i & a_0+a_3i+a_4i-a_7 \end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix} (a_0+a_7)-(a_3-a_4)i & -\{(a_2-a_5)+(a_1+a_6)i\} \\ (a_2+a_5)-(a_1-a_6)i & (a_0-a_7)+(a_3+a_4)i \end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix} \{(a_0+a_7)+(a_3-a_4)i\}^* & -\{(a_2-a_5)+(a_1+a_6)i\} \\ \{(a_2+a_5)+(a_1-a_6)i\}^* & (a_0-a_7)+(a_3+a_4)i \end{matrix}\right)
\end{align}
Verwenden wir die Clifford-Algebra als Referenz.
\begin{align}
&a_0+a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_3}+a_4\mathbf{e_1e_2}+a_5\mathbf{e_2e_3}+a_6\mathbf{e_3e_1}+a_7\mathbf{e_1e_2e_3} \\
&\mapsto a_0I+a_1σ_1+a_2σ_2+a_3σ_3+a_4iσ_3+a_5iσ_1+a_6iσ_2+a_7iI \\
&\mapsto a_0+a_1hi+a_2hj+a_3hk-a_4k-a_5i-a_6j+a_7h
\end{align}
Somit sind das duale Quartär, die dreidimensionale Clifford-Algebra und die Pauli-Matrix isomorph. Unter diesem Gesichtspunkt kann gesagt werden, dass das von der quaternären Zahl behandelte Objekt der dreidimensionale euklidische Raum ist und die quaternäre Zahl in Form einer diquatischen Zahl vervollständigt wird.
In der Clifford-Algebra liegt die quadratische Form $ hi, hj, hk $ in der quadratischen Form $ \ mathbf {e_1}, \ mathbf {e_2}, \ mathbf {e_3} $ und umgekehrt vor. Es ist interessant festzustellen, dass $ i, j, k $ in linearer Form für Zahlen $ \ mathbf {e_3e_2}, \ mathbf {e_1e_3}, \ mathbf {e_2e_1} $ in quadratischer Form für Clifford-Algebra (quaternäre Zahlen und Clifford) ist. Das Vorzeichen ist im Algebra-2-Vektor unterschiedlich, wird jedoch durch Ändern der Reihenfolge aufgrund der Austauschbarkeit ausgedrückt. Es mag verwirrend erscheinen, was atomar und was als Konzept komplex ist, aber ich halte es für sicherer, Cliffords algebraischer Interpretation zu folgen, wenn sie eine geometrische Bedeutung hat.
Im vorherigen Artikel (Bi-Komplex-Zahlen, die von der Expressionsmatrix berücksichtigt werden) habe ich gesehen, dass Bi-Komplex-Zahlen und zweidimensionale Clifford-Algebra nahezu kompatibel sind. Bei einigen Berechnungsergebnissen gab es einen Unterschied. Wenn Sie andererseits die doppelte quaternäre Zahl auf zwei Dimensionen beschränken, erhalten Sie eine perfekte isomorphe Entsprechung.
Ein Vektor in zwei Dimensionen kann nur von $ hj, hk $ behandelt werden. Der einzige 2-Vektor, der durch die Verbindung erhalten wird, ist $ i $. Es gibt keinen 3-Vektor, da der 2-Vektor ein Pseudoskalar in 2 Dimensionen ist.
\underbrace{a}_{Skalar}+\underbrace{bi}_{2-Vektor}+\underbrace{chj+dhk}_{1-Vektor}
Ersetzen Sie der Einfachheit halber die Zeichen. Auf diese Weise wird die Anzahl der binären Quadranten, die auf zwei Dimensionen begrenzt sind und deren Zeichen ersetzt werden, als ** zerlegte quaternäre Zahl ** bezeichnet.
a+bi+chj+dhk\ \mapsto\ a+bi+cj+dk
Die Entsprechung mit der Clifford-Algebra und der Pauli-Matrix basierend auf der zerlegten quaternären Zahl ist wie folgt. Im Gegensatz zu bikomplexen Zahlen ist es vollständig isomorph.
\begin{align}
&\underbrace{a}_{Skalar}+\underbrace{bi}_{2-Vektor}+\underbrace{cj+dk}_{1-Vektor} \\
&\mapsto a-b\mathbf{e_2e_3}+c\mathbf{e_2}+d\mathbf{e_3} \\
&\mapsto aI-biσ_1+cσ_2+dσ_3 \\
&=a\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)
-b\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
+c\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
+d\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right) \\
&=a\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
+b\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)}_{i}
+c\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\ i& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
+d\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)}_{k} \\
&=\left(\begin{matrix} a+d & -bi-ci \\ -bi+ci & a-d \end{matrix}\right)
\end{align}
Verwenden wir die Clifford-Algebra als Referenz.
\begin{align}
&a+b\mathbf{e_2}+c\mathbf{e_3}+d\mathbf{e_2e_3} \\
&\mapsto aI+bσ_2+cσ_3+diσ_1 \\
&\mapsto a+bi+cj-dk
\end{align}
Die Beschreibung der Clifford-Algebra in diesem Artikel wurde basierend auf dem folgenden Artikel neu organisiert.
Weitere Informationen zu Hodge Dual und Bubble Sort finden Sie in den folgenden Artikeln.
In den folgenden Artikeln finden Sie Informationen zu Vierfachen und zerlegten Quatern.
Ich bezog mich auf die Beziehung zwischen dem Doppelquadranten und der Clifford-Algebra. Dank dieses Artikels konnte ich das letzte Stück ausfüllen.
Es wird ausführlich erklärt, wie ein 8-dimensionaler Raum (der gleiche Raum, der durch eine doppelte quaternäre Zahl dargestellt wird) aus einer quaternären Zahl und einer Pauli-Matrix aufgebaut ist und wie eine Ausdrucksmatrix erhalten wird.
Ich bezog mich auf das Lösen von Gleichungen mit SymPy und das Ausgabeformat von Gleichungen.
Ich habe mich auf die Bestellung in Python bezogen.
Wir haben die Variationen von [Multiple] zusammengefasst (https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0).
| Basic | Damit | Demontierter Typ | Demontierter TypDamit | Damit曲 | 二重（Damit対） | Mehrere |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Reelle Zahl | DoppelteNummer | |||||
| Komplexe Zahl | 双KomplexeZahl | 分解型KomplexeZahl | 二重KomplexeZahl | 多重KomplexeZahl | ||
| Vervierfachen | 双Vervierfachen | 分解型Vervierfachen | 分解型双Vervierfachen | 双曲Vervierfachen | 二重Vervierfachen | |
| Acht Yuan | 双AchtYuan | 分解型AchtYuan | ||||
| 16 Yuan |
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