Echte Werte und Eigenvektoren: Lineare Algebra in Python <7>

Lineare Algebra

Die lineare Algebra, die Sie auf jeden Fall an einer naturwissenschaftlichen Universität lernen werden, ist leicht verständlich und logisch zusammengefasst. Ich habe es übrigens in Python implementiert. Gelegentlich kann es in Julia implementiert werden. .. .. ・ Lerne mit Python! Neues Mathematiklehrbuch - Grundkenntnisse für maschinelles Lernen und tiefes Lernen erforderlich - ・ Weltstandard MIT Lehrbuch Strang lineare Algebra Einführung Verstehen Sie die lineare Algebra basierend auf und implementieren Sie sie in Python.

Umgebung

・ Jupyter-Notizbuch ・ Sprache: Python3, Julia 1.4.0

Eindeutige Werte und eindeutige Vektoren

Die Eigenwerte und Eigenvektoren werden in einer Hauptkomponentenanalyse verwendet, die Daten mit künstlicher Intelligenz zusammenfasst.

Eindeutiger Wert, eindeutiger Vektor

Betrachten Sie eine quadratische Matrix A. Für diese Matrix A.

A\vec{x}=λ\vec{x}

Beim Treffen

λ ist der Eigenwert der Matrix A.\\
\vec{x}Der Eigenvektor der Matrix A.\\

Das ist.

Intrinsische Gleichung

Multiplizieren Sie die obige Gleichung mit der Einheitsmatrix E, die den Vektor nicht beeinflusst.

A\vec{x}=λE\vec{x}

Übertragen und organisieren Sie die rechte Seite

(A-λE)\vec{x} = \vec{0}

Dies stellt einen Vektor mit allen 0 *** Elementen dar. Andererseits ist die inverse Matrix, selbst wenn sie berücksichtigt wird, Null. Es ist ein Vektor. Diese Gleichung heißt *** Eigengleichung ***.

Eigenwerte und Eigenvektoren durch Eigengleichungen lösen

(A-λE)\vec{x} = \vec{0}

entlang,

A=\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 4\end{pmatrix}

Als konkretes Beispiel. Dann

det(A-λE)\vec{x} = 0\\
⇔
det(\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 4\end{pmatrix}-λ\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix})\vec{x} = 0\\
⇔
det\begin{pmatrix}3-λ & 1\\2 & 4-λ\end{pmatrix} = 0\\
⇔(λ-2)(λ-5)= 0\\

Dies macht den *** eindeutigen Wert 2 oder 5 ***. Denn der Eigenvektor ändert sich auch abhängig vom Eigenwert. Denken Sie an jeden der Fälle 2 und 5.

\vec{x} = \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}

Wenn Sie mit λ = 2 rechnen,

det(A-λE)\vec{x} = 0\\
\begin{align}
det(A-λE)\vec{x}&=
det(A-2E)\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}p+q\\2p+2q\end{pmatrix} \\
&= \vec{0} 
\end{align}

Daraus kann gesagt werden, dass p + q = 0 ist. Wenn Sie also eine beliebige reelle Zahl t setzen, ist der x-Vektor

\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\-t\end{pmatrix}

Und der Eigenvektor wird erhalten.

Wenn λ = 5,

\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\2t\end{pmatrix}

Wird sein.

Programm

Programm zum Finden von Eigenwerten und Eigenvektoren

python

7pythoneigenvaluevector

import numpy as np

A = np.array([[3, 1],[2, 4]])

ev = np.linalg.eig(A)
print(ev[0])
print(ev[1])

[2. 5.]
[[-0.70710678 -0.4472136 ]
 [ 0.70710678 -0.89442719]]

Hier verwenden wir die Funktion linag.eig. Dies liegt daran, dass der eindeutige Wert in Englisch ist und *** Eigenwert *** ist.

Lassen Sie uns ein Prinzipprogramm machen. Diesmal wird der Eigenwert berechnet.

Python (Prinzip)

7pythoneigenvaluevector2

import numpy as np
import sympy

#A = [[a, b],
#     [c, d]]
a = int(input())
b = int(input())
c = int(input())
d = int(input())
#=>3
#=>1
#=>2
#=>4

x = sympy.Symbol('x')
eigenequa = x**2 - (a + d)*x + (a * d) - (b * c)```
print(eigenequa)
 factorization = sympy.factor(eigenequa)
 print(factorization)
solve = sympy.solve(eigenequa)
print(solve)
=>x**2 - 7*x + 10
=>[2, 5]

Julia ist so einfach, dass ich es anziehen werde.

julia

7juliaigenvaluevector

using LinearAlgebra
F = eigen([3 1; 2 4;])

=>Eigen{Float64,Float64,Array{Float64,2},Array{Float64,1}}
=>values:
=>2-element Array{Float64,1}:
=> 2.0
=> 5.0
=>vectors:
=>2×2 Array{Float64,2}:
=> -0.707107  -0.447214
=>  0.707107  -0.894427

Nur 2 Zeilen! Beeindruckend...

Das ist alles für heute