Kleiner Beamter

[Kleiner Beamter](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%88%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%B3%95%E5 % 89% 87) bedeutet, dass die langfristig gemittelte Anzahl von Kunden $ L $ in einem stabilen System das Produkt der langfristig gemittelten Ankunftsrate $ λ $ und der langfristig gemittelten systeminternen Zeit $ W $ ist. Das Gesetz der Gleichheit. (Auch wenn das System in der Warteschlange steht)

L = \lambda W

L_q = \lambda W_q

Diese Formel gilt für jede Ankunft oder Serviceverteilung. Diese Formel ist auch intuitiv leicht zu verstehen. Das ist,

Empirisch kommen jede Stunde drei Personen ins Allgemeinkrankenhaus. Es ist auch bekannt, dass durchschnittlich 6 Personen im Wartezimmer warten. Die durchschnittliche Wartezeit beträgt 2 Stunden.

Dies bedeutet, dass wir $ W_q = L_q / \ lambda = 6/3 = 2 $ berechnet haben. Diese Berechnung gilt für Durchschnittswerte. Die erwartete Wartezeit für "6 Personen standen an, als ich ankam" beträgt 6 x durchschnittliche Servicezeit (wenn der Service M ist).

Theoretischer Wert des statistischen Wertes

Mit M / M / 1 kann der theoretische Wert des statistischen Wertes relativ leicht erhalten werden. Auch wenn Sie sich den theoretischen Wert nicht merken, können Sie ihn berechnen, indem Sie sich an die folgenden zwei Punkte erinnern.

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Anzahl der Personen im System erhöht, erhöht sich um das ρ-fache, wenn sich eine Person erhöht (abgeleitet aus dem Markov-Prozess).

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Erstens ist die Wahrscheinlichkeit $ P_i $, dass sich $ i $ Personen im System befinden, von (1) bis $ \ alpha \ rho ^ i $. Wenn Sie alle Wahrscheinlichkeiten addieren, ist es 1, sodass Sie wie folgt berechnen können.

\ alpha (1 + \ rho + \ rho ^ 2 + \ rho ^ 3 + \ cdots) = \ frac {\ alpha} {1- \ rho} = 1 bis \ alpha = 1- \ rho

i Wahrscheinlichkeit, im System zu sein P_i = (1- \ rho) \ rho ^ i

Sie können dies auch verwenden, um zu sehen, dass die durchschnittliche Serverauslastung = $ \ sum_ {i = 1} {P_i} = 1 --P_0 = 1- (1- \ rho) = \ rho $ ist.

Sie können auch die Formel von Little verwenden, um Folgendes zu berechnen:

Durchschnittliche Anzahl von Personen im System ($ L $) = $ \ sum_ {i = 0} {i P_i} = (1- \ rho) (\ rho + 2 \ rho ^ 2 + 3 \ rho ^ 3 + \ cdots) = \ frac {\ rho} {1- \ rho} $ Durchschnittliche Warteschlangenlänge ($ L_q $) = $ Durchschnittliche Anzahl der Personen im System - Durchschnittliche Serverauslastung = L- \ rho = \ frac {\ rho ^ 2} {1- \ rho} $ Durchschnittliche Systemzeit ($ W $) = $ L / \ lambda = \ frac {1} {\ mu- \ lambda} $ Durchschnittliche Wartezeit ($ W_q $) = $ L_q / \ lambda = \ frac {\ rho} {\ mu- \ lambda} $

Mit Python bestätigt

import simpy, random, numpy as np
random.seed(1)
env = simpy.Environment() #Simulationsumgebung
queue, intime = [], [] #Warteschlange(Liste der Ankunftszeiten)Und eine Liste der systeminternen Zeiten

#Ankunftsveranstaltung
def arrive():
    while True:
        yield env.timeout(random.expovariate(1.0 / 5)) #Durchschnittliche Ankunftsrate 1/5
        env.process(into_queue())

#Warteschlange
def into_queue():
    global queue
    queue.append(env.now)
    if len(queue) > 1:
        return
    while len(queue) > 0:
        yield env.timeout(random.expovariate(1.0 / 3)) #Durchschnittliche Servicerate 1/3
        tm, queue = queue[0], queue[1:]
        intime.append(env.now - tm)

#Lauf
env.process(arrive())
env.run(1000000)
print('total = %d clients, W = %.2f' % (len(intime), np.average(intime)))
>>>
total = 199962 clients, W = 7.53