[PYTHON] Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation
Inhaltsverzeichnis
- Zuallererst --Derivierung der diskreten Fourier-Transformation
- Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation --Verweise
- Anhang: Programm der diskreten Fourier-Transformation von Python
1. Zuallererst
Der Zweck dieses Artikels ist es, die Eigenschaften diskreter Fourier-Transformationen wie spektrale Symmetrie und Periodizität zu verstehen.
2. Ableitung der diskreten Fourier-Transformation
Das diskrete Signal $ x_ {Abtastung} (t) $, das durch Abtasten des kontinuierlichen Zeitsignals $ x (t) $ im Intervall $ T $ erhalten wird, wird wie folgt ausgedrückt.
\begin{eqnarray}
\mathcal{F}[x_{sampling}(t)] &=& \int_{-\infty}^{\infty}x_{sampling}(t)e^{-j\omega t}dt \\
&=& \int_{-\infty}^{\infty} \, \sum_{n=0}^{\infty}x(n)\delta(t-nT) \, e^{-j\omega t}dt \\
&=& \sum_{n=0}^{\infty}x(n)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) \, e^{-j\omega t}dt \\
&=& \sum_{n=0}^{\infty}x(n) e^{-j\omega nT} \tag{2}
\end{eqnarray}
Es wird sein.
Angenommen, der Beispielwert $ x (n) $ besteht aus $ N $ Punkten. Wie in der folgenden Abbildung gezeigt, wird der aus $ N $ Punkten bestehende Abtastwert $ x (n) $ als ein Zyklus des Signals angesehen. Die Winkelfrequenz zu diesem Zeitpunkt wird als $ 2 \ pi / NT $ ausgedrückt und als Grundwinkelfrequenz bezeichnet.
Die Winkelfrequenz, die ein ganzzahliges Vielfaches der Grundwinkelfrequenz ist, wird durch $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {NT} k ; ; (k = 0,1,2, ..., N-1) $ dargestellt. Repräsentiert Komponenten mit höherer Frequenz. Einsetzen dieses $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {NT} k $ in den $ (2) $ -Ausdruck
Die diskrete Fourier-Transformation der $ (4) $ -Gleichung bedeutet, dass sie die Ähnlichkeit zwischen dem Abtastwert $ x (n) $ und der komplexen Variablen $ W ^ {kn} $ berechnet. Wie in der folgenden Abbildung gezeigt, wird die Frequenzkomponente des Abtastwerts $ x (n) $ erhalten, indem das innere Produkt aus dem Abtastwert $ x (n) $ und der komplexen Variablen $ W ^ {kn} $ mit unterschiedlichen Frequenzen genommen wird. Ich kann. Aufgrund der Art der diskreten Fourier-Transformation können Frequenzkomponenten jedoch an anderen Stellen als den ursprünglichen Frequenzkomponenten des Abtastwerts $ x (n) $ auftreten. (Beschrieben in 3. Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation)
3. Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation
- ** Spektrumperiodizität **
Sei m eine beliebige ganze Zahl
\begin{eqnarray}
X(k+mN) &=&\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W^{(k+mN)n} \\
&=&\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W^{kn}W^{mNn} \\
&=&\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W^{kn}
= X(k)
\end{eqnarray}
Nächster,
- ** Spektrumsymmetrie **
\begin{eqnarray}
X(N-k) &=& \sum_{n=0}^{N-1}x(n)W^{(N-k)n} \\
&=& \sum_{n=0}^{N-1}x(n)W^{Nn}W^{-kn} \\
&=& \sum_{n=0}^{N-1}x(n)W^{-kn} \\
&=& [\,\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W^{kn}\,]^{*} = X(k)^{*}
\end{eqnarray}
Nächster,
- ** Frequenzspektrum erhalten durch diskrete Fourier-Transformation **
Um unser Verständnis der Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation zu vertiefen, betrachten wir nun das Spektrum, das durch die tatsächliche diskrete Fourier-Transformation erhalten wird. Führen Sie eine diskrete Fourier-Transformation mit dem im Anhang gezeigten Programm durch. Das in der folgenden Abbildung gezeigte kontinuierliche Zeitsignal $ x (t) = cos (2 \ pi ft) $ wird abgetastet. Die Frequenz $ f $ des kontinuierlichen Zeitsignals $ x (t) $ beträgt $ 1000 [Hz] $.
Zunächst ist das Signal $ x (n) $, das unter dem kontinuierlichen Zeitsignal $ x (t) $ mit der Abtastfrequenz $ f_ {Abtastung} = 4000 [Hz] $ abgetastet wurde, und der Anzahl der Abtastungen $ N = 32 $ in der folgenden Abbildung dargestellt. Es wird in gezeigt.
Als nächstes ist das Frequenzspektrum, das durch die diskrete Fourier-Transformation des Abtastwerts $ x (n) $ erhalten wird, in der folgenden Abbildung gezeigt. Aus der Figur ist ersichtlich, dass die Komponente von $ 1000 [Hz] $, die die Frequenz des kontinuierlichen Zeitsignals $ x (t) $ ist, erscheint. Aufgrund der Symmetrie des in der $ (6) $ -Gleichung gezeigten Spektrums wird jedoch ein liniensymmetrisches Spektrum um $ 2000 [Hz] $ erzeugt, was der Hälfte der Abtastfrequenz entspricht. Dies bedeutet, dass weniger als die Hälfte der Abtastfrequenz korrekt dargestellt werden kann. Gemäß dem Abtasttheorem kann das ursprüngliche Signal herabgestuft werden, indem mindestens die doppelte maximale Frequenz des kontinuierlichen Zeitsignals $ x (t) $ abgetastet wird. Die "mehr als doppelte Frequenz" des Abtasttheorems ist auf die Symmetrie der diskreten Fourier-Transformation zurückzuführen.
4. Referenzen
- Morikita Publishing "Digitale Signalverarbeitung": Masafumi Hagiwara
- Kodansha "Einführung in Shannons Informationstheorie" Autor: Eiko Takaoka
- [NumPy] Berechnen Sie das Amplitudenspektrum mit der schnellen Fourier-Transformation (FFT)
Anhang: Diskretes Fourier-Transformationsprogramm in Python
DFT.py
import numpy as np
import cmath
import matplotlib.pyplot as plt
f_xn = 1000 #Eingangssignal x(n)Frequenz von
f_sampling = 4000 #Abtastfrequenz
T = 1.0 / f_sampling #Abtastintervall
N = 32 #Anzahl von Beispielen
t = np.arange(0, N*T, T) #Zeitachse
width = 3 #Anzeigebreite der Frequenzachse(Wie oft wird die Abtastfrequenz angezeigt?)
freq = np.linspace(0,f_sampling*width, N*width, endpoint=False).reshape([-1,1]) #Frequenzachse
n = np.arange(N) #Gesamtindex
k = np.arange(N*width).reshape([-1,1]) #Index von k
x_n = np.cos(2*np.pi*f_xn*t) #Abtastwert x(n)
W_kn = np.exp(-1j*2*np.pi*n/N *k) #Komplexe Variable W._kn
X_k = np.sum(x_n*W_kn, axis=1) #Summe
amp = np.abs(X_k) #Schwingungskomponente
#Grafikanzeige
plt.figure()
plt.rcParams['font.family'] = 'Arial'
plt.rcParams['font.size'] = 17
plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(t, x_n, marker='o', color='r')
plt.xlabel("time[s]", fontsize=20)
plt.ylabel("x(n)", fontsize=20)
plt.grid()
plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(freq, amp, marker='o',color='b')
plt.xlabel('frequency[Hz]', fontsize=20)
plt.ylabel('amplitude', fontsize=20)
plt.grid()
plt.subplots_adjust(wspace=0.4, hspace=0.4)
plt.show()
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