La longueur avec direction peut être exprimée par un vecteur. L'algèbre de Clifford permet de manipuler des surfaces et des volumes en combinant des vecteurs. Introduisez la matrice de Pauli comme matrice de représentation pour l'algèbre de Clifford tridimensionnelle et assurez-vous qu'elle est isomorphe au quaternaire binaire. Un calcul par SymPy est joint.
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Si vous avez lu cet article et êtes intéressé par l'algèbre de Clifford, l'article suivant est recommandé.
Il s'agit d'une méthode de calcul qui vous permet de gérer des objets géométriques (longueur, surface, volume, etc.) de manière algébrique.
Je vais expliquer brièvement dans la mesure nécessaire cette fois.
Le vecteur qui représente les axes de coordonnées est appelé le vecteur de base. Dans les coordonnées 3D $ xyz $, $ x $ vecteur de base axiale est $ \ mathbf {e_1} $, $ y $ vecteur de base axiale est $ \ mathbf {e_2} $, $ z $ vecteur de base axial Soit $ \ mathbf {e_3} $.
\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\mathbf{e_3}=
\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right)
Les vecteurs de base vous permettent d'écrire des vecteurs dans un style algébrique.
\begin{align}
\left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right)
&= \left(\begin{matrix} x \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)
+ \left(\begin{matrix} 0 \\ y \\ 0 \end{matrix}\right)
+ \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ z \end{matrix}\right) \\
&=x\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)
+y\left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right)
+z\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \\
&=x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2}+z\mathbf{e_3}
\end{align}
Voici un exemple concret.
\left(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\right)
=2\mathbf{e_1}+3\mathbf{e_2}+4\mathbf{e_3}
Un vecteur représenté par une connexion linéaire (multiple constant et somme) de vecteurs de base de cette manière est appelé ** 1-vecteur ** en termes algébriques de Clifford.
Dans la vie de tous les jours, nous pensons aux unités comme suit.
En appliquant cela à la base, nous pouvons y penser comme suit.
$ \ mathbf {e_1e_2} $ est la base qui signifie aire, et le coefficient est la valeur de aire.
Voici un exemple simple.
(2\mathbf{e_1})(3\mathbf{e_2})=6\mathbf{e_1e_2}
Le côté gauche représente un rectangle avec les côtés 2 et 3, et le $ 6 $ sur le côté droit représente la zone.
L'aire représentée par la combinaison de deux bases de cette manière est appelée ** 2-vecteur ** en termes algébriques de Clifford. Tout comme un vecteur 1 représente la taille (longueur) d'un segment de ligne, un vecteur 2 représente la taille (aire) d'une surface.
Le produit extérieur de deux vecteurs 1 se coupant en diagonale représente l'aire du quadrilatère parallèle qu'ils étirent.
Tout comme un vecteur 1 est une longueur directionnelle, un vecteur 2 est une zone directionnelle. La largeur de l'expression change en fonction de la dimension.
L'orientation est représentée par un signe car les quadrilatères parallèles sont toujours sur le plan $ xy $. Le signe est influencé par la façon dont la base est prise. Il est positif si les deux vecteurs 1 qui étirent la surface ont la même relation de position que la base (sens antihoraire dans le système droitier).
La surface sur laquelle le quadrilatère parallèle est placé fait face dans diverses directions. L'orientation est exprimée comme le rapport des composants au plan de coordonnées.
De la même manière, vous pouvez définir un ** 3-vecteur ** qui représente le volume. Cette fois, 4 dimensions et plus sont hors de portée, donc 3 dimensions sont prises en compte.
Voici un exemple simple.
(2\mathbf{e_1})(3\mathbf{e_2})(4\mathbf{e_3})=24\mathbf{e_1e_2e_3}
Le côté gauche représente un carré avec les côtés 2, 3 et 4, et le côté droit 24 $ représente le volume.
Le produit extérieur des trois vecteurs 1 qui se coupent en diagonale représente le volume des hexaèdres parallèles qu'ils étirent.
Dans un 3 vecteurs, l'orientation est représentée par un signe. Le signe est influencé par la façon dont la base est prise. Il est positif si les trois vecteurs 1 qui étirent la surface ont la même relation de position que la base. C'est un peu difficile à imaginer, mais vous devez être conscient du comportement que le signe est inversé par l'inversion de l'image miroir.
Écrit dans le style de l'algèbre, vous pouvez traiter la multiplication vectorielle comme s'il s'agissait d'une algèbre normale.
À titre de comparaison, considérons le développement d'une expression normale qui n'utilise pas de vecteur.
>>> from sympy import *
>>> x,y=symbols("x y")
>>> a,b,c,d=symbols("a b c d")
>>> (a*x+b*y)*(c*x+d*y)
(a*x + b*y)*(c*x + d*y)
>>> expand((a*x+b*y)*(c*x+d*y))
a*c*x**2 + a*d*x*y + b*c*x*y + b*d*y**2
>>> expand((a*x+b*y)*(c*x+d*y)).collect(x*y)
a*c*x**2 + b*d*y**2 + x*y*(a*d + b*c)
\begin{align}
&(ax+by)(cx+dy) \\
&=ax(cx+dy) \\
&\quad +by(cx+dy) \\
&=acx^2+adxy \\
&\quad +bc\underbrace{yx}_{xy}+bdy^2 \\
&=acx^2+bdy^2+\underbrace{(ad+bc)xy}_{Terme croisé}
\end{align}
Notez que nous utilisons convertible $ xy = yx $ pour regrouper des termes similaires.
>>> x,y,z=symbols("x y z")
>>> a1,a2,a3,b1,b2,b3=symbols("a1:4 b1:4")
>>> (a1*x+a2*y+a3*z)*(b1*x+b2*y+b3*z)
(a1*x + a2*y + a3*z)*(b1*x + b2*y + b3*z)
>>> expand((a1*x+a2*y+a3*z)*(b1*x+b2*y+b3*z))
a1*b1*x**2 + a1*b2*x*y + a1*b3*x*z + a2*b1*x*y + a2*b2*y**2 + a2*b3*y*z + a3*b1*x*z + a3*b2*y*z + a3*b3*z**2
>>> expand((a1*x+a2*y+a3*z)*(b1*x+b2*y+b3*z)).collect([x*y,y*z,z*x])
a1*b1*x**2 + a2*b2*y**2 + a3*b3*z**2 + x*y*(a1*b2 + a2*b1) + x*z*(a1*b3 + a3*b1) + y*z*(a2*b3 + a3*b2)
\begin{align}
&(a_1+a_2y+a_3z)(b_1x+b_2y+b_3z) \\
&=a_1x(b_1x+b_2y+b_3z) \\
&\quad +a_2y(b_1x+b_2y+b_3z) \\
&\quad +a_3z(b_1x+b_2y+b_3z) \\
&=a_1b_1x^2+a_1b_2xy+a_1b_3\underbrace{xz}_{zx} \\
&\quad +a_2b_1\underbrace{yx}_{xy}+a_2b_2y^2+a_3b_3yz \\
&\quad +a_3b_1zx+a_3b_2\underbrace{zy}_{yz}+a_3b_3z^2 \\
&=a_1b_1x^2+a_2b_2y^2+a_3b_3z^2 \\
&\quad +\underbrace{(a_1b_2+a_2b_1)xy+(a_2b_3+a_3b_2)yz+(a_3b_1+a_1b_3)zx}_{Terme croisé} \\
\end{align}
Les variables inter-termes sont disposées cycliquement ($ x → y → z → x → \ cdots $).
L'algèbre de Clifford fournit le ** produit géométrique ** sous forme de multiplication vectorielle. Cela vous permet de calculer les produits intérieurs et extérieurs à partir de deux vecteurs en même temps.
Les produits de différentes bases se combinent.
[Exemple]\ \mathbf{e_1e_2}
Le produit de la même base est de 1 $. C'est la règle pour calculer le produit intérieur.
[Exemple]\ \mathbf{e_1e_1}=1
Si vous modifiez l'ordre des bases combinées, le signe sera inversé. C'est ce qu'on appelle ** anti-échangeabilité **. C'est la règle de calcul du produit extérieur.
[Exemple]\ \mathbf{e_1e_2}=-\mathbf{e_2e_1}
Un vecteur 1 bidimensionnel est représenté par deux composantes. Calculez leur produit géométrique. Comparez-le avec le développement de l'expression à deux variables ci-dessus.
\begin{align}
&(a\mathbf{e_1}+b\mathbf{e_2})(c\mathbf{e_1}+d\mathbf{e_2}) \\
&=a\mathbf{e_1}(c\mathbf{e_1}+d\mathbf{e_2}) \\
&\quad +b\mathbf{e_2}(c\mathbf{e_1}+d\mathbf{e_2}) \\
&=ac\underbrace{\mathbf{e_1e_1}}_{1}+ad\mathbf{e_1e_2} \\
&\quad +bc\underbrace{\mathbf{e_2e_1}}_{-\mathbf{e_1e_2}}+bd\underbrace{\mathbf{e_2e_2}}_{1} \\
&=\underbrace{(ac+bd)}_{produit intérieur}+\underbrace{(ad-bc)\mathbf{e_1e_2}}_{Produit extérieur} \\
\end{align}
Vous pouvez voir que le produit intérieur peut être obtenu à partir de la règle selon laquelle la même base est de 1 $, et le produit extérieur peut être obtenu à partir de l'anti-échangeabilité. Le produit extérieur fait partie du terme croisé.
Le coefficient de produit extérieur $ ad-bc $ est l'aire d'un quadrilatère parallèle couvert par deux vecteurs 1. Cela correspond à l'expression de matrice pour une matrice côte à côte de deux vecteurs 1.
\det\left(\begin{array}{c|c}a&c\\b&d\end{array}\right)=ad-bc
Un vecteur 1 tridimensionnel est représenté par trois composantes. Calculez leur produit géométrique. Comparez-le avec le développement de l'expression à trois variables ci-dessus.
\begin{align}
&(a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_3})(b_1\mathbf{e_1}+b_2\mathbf{e_2}+b_3\mathbf{e_3}) \\
&=a_1\mathbf{e_1}(b_1\mathbf{e_1}+b_2\mathbf{e_2}+b_3\mathbf{e_3}) \\
&\quad +a_2\mathbf{e_2}(b_1\mathbf{e_1}+b_2\mathbf{e_2}+b_3\mathbf{e_3}) \\
&\quad +a_3\mathbf{e_3}(b_1\mathbf{e_1}+b_2\mathbf{e_2}+b_3\mathbf{e_3}) \\
&=a_1b_1\underbrace{\mathbf{e_1e_1}}_{1}+a_1b_2\mathbf{e_1e_2}+a_1b_3\underbrace{\mathbf{e_1e_3}}_{-\mathbf{e_3e_1}} \\
&\quad +a_2b_1\underbrace{\mathbf{e_2e_1}}_{-\mathbf{e_1e_2}}+a_2b_2\underbrace{\mathbf{e_2e_2}}_{1}+a_2b_3\mathbf{e_2e_3} \\
&\quad +a_3b_1\mathbf{e_3e_1}+a_3b_2\underbrace{\mathbf{e_3e_2}}_{-\mathbf{e_2e_3}}+a_3b_3\underbrace{\mathbf{e_3e_3}}_{1} \\
&=\underbrace{(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)}_{produit intérieur} \\
&\quad +\underbrace{(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{e_1e_2}+(a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{e_2e_3}+(a_3b_1-a_1b_3)\mathbf{e_3e_1}}_{Produit extérieur} \\
\end{align}
Le produit extérieur a trois composantes car le quadrilatère parallèle couvert par deux vecteurs est projeté sur le plan sur les axes de $ xy, yz, zx $ représentés par la base du vecteur 2. L'orientation de la surface est exprimée par les trois composants.
L'aire d'un quadrilatère parallèle est obtenue comme la racine carrée de la somme des carrés des trois composantes.
\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2+(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2}
Il existe huit types de toutes les bases en trois dimensions, y compris les scalaires non marqués. Organisez formellement tout sous la forme d'un polypole. (Un tel polypole est appelé ** somme formelle **)
\underbrace{a_0}_{scalaire}+\underbrace{a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_3}}_{1-vecteur}+\underbrace{a_4\mathbf{e_1e_2}+a_5\mathbf{e_2e_3}+a_6\mathbf{e_3e_1}}_{2-vecteur}+\underbrace{a_7\mathbf{e_1e_2e_3}}_{3-vecteur}
En se concentrant sur le nombre de termes, le scalaire et le 3-vecteur sont un terme chacun, et le 1-vecteur et le 2-vecteur sont trois termes chacun.
Puisque le nombre de termes est le même, le vecteur 2 peut être traité comme un pseudo vecteur 1. Un vecteur 1 dérivé d'un tel vecteur 2 est appelé un ** pseudo-vecteur **. Un pseudo-vecteur typique apparaît comme un type de produit externe appelé produit vectoriel.
De même, les 3-vecteurs peuvent être traités comme des pseudo-scalaires. Les scalaires dérivés de ces 3 vecteurs sont appelés ** pseudo-scalaires **.
\underbrace{a_0}_{scalaire}+\underbrace{a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_3}}_{vecteur}+\underbrace{a_4\mathbf{e_1e_2}+a_5\mathbf{e_2e_3}+a_6\mathbf{e_3e_1}}_{擬vecteur}+\underbrace{a_7\mathbf{e_1e_2e_3}}_{擬scalaire}
Un pseudo-vecteur tridimensionnel correspond à la normale à la surface représentée par le vecteur 2.
Dans l'explication jusqu'à présent, le vecteur 1 est représenté par un vecteur, mais le vecteur 2 et le vecteur 3 sont représentés comme des algèbres. N'est-il pas possible de les exprimer ensemble dans une matrice de même taille et de calculer le produit géométrique tel qu'il est par le produit des matrices? En d'autres termes, l'algèbre de Clifford peut-elle être représentée par une matrice?
Puisque la somme formelle est de 8 termes, la quantité d'information de $ ℝ ^ 8 $ est nécessaire pour stocker tous les coefficients. Une matrice carrée est facile à manipuler lors du calcul du produit des matrices, donc une matrice carrée complexe quadratique s'adaptera.
Trouvez une telle matrice. Et nous voyons qu'elle s'appelle la ** Pauli Matrix **.
La base du scalaire est de 1 $. Attribuez une matrice unitaire car c'est l'élément unitaire de la multiplication.
1↦I=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)
Complexisez chaque base, augmentez les colonnes et remplissez d'inconnues.
\begin{align}
\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right)
&\xrightarrow{Complexisation}
\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} i \\ 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \\
&\xrightarrow{Augmenter les colonnes}
\left(\begin{matrix} 1 & x_1 \\ 0 & y_1 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} i & x_2 \\ 0 & y_2 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 & x_3 \\ 1 & y_3 \end{matrix}\right)
\end{align}
Trouvez la solution car le carré de la base est de 1 $. Puisque «résoudre» spécifie une équation telle que $ = 0 $, la matrice unitaire «_1» sur le côté droit est transposée sur le côté gauche pour former «-_1».
>>> x1,x2,x3,y1,y2,y3=symbols("x1:4 y1:4")
>>> _1=eye(2)
>>> solve(Matrix([[1,x1],[0,y1]])**2-_1,[x1,y1])
[(0, -1), (0, 1)]
>>> solve(Matrix([[I,x2],[0,y2]])**2-_1,[x2,y2])
[]
>>> solve(Matrix([[0,x3],[1,y3]])**2-_1,[x3,y3])
[(1, 0)]
\begin{align}
\left(\begin{matrix} 1 & x_1 \\ 0 & y_1 \end{matrix}\right)^2&=I&
∴(x_1,y_1)&=(0,-1),(0,1) \\
\left(\begin{matrix} i & x_2 \\ 0 & y_2 \end{matrix}\right)^2&=I&
∴(x_2,y_2)&=Pas de solution\\
\left(\begin{matrix} 0 & x_3 \\ 1 & y_3 \end{matrix}\right)^2&=I&
∴(x_3,y_3)&=(1,0)
\end{align}
$ (x_1, y_1) $ a deux solutions, mais $ (0,1) $ est une matrice unitaire et a déjà été assignée au scalaire, donc $ (0, -1) $ est adopté.
$ (x_2, y_2) $ n'a pas de solution. Si vous vérifiez les composants de la matrice, vous pouvez voir qu'elle n'est pas établie avant de trouver l'inconnu car les composants constants sont différents.
>>> Matrix([[I,x2],[0,y2]])**2
Matrix([
[-1, x2*y2 + I*x2],
[ 0, y2**2]])
\left(\begin{matrix} i & x_2 \\ 0 & y_2 \end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix} -1 & x_2y_2+x_2i \\ 0 & y_2^2 \end{matrix}\right)
≠\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)
Cela n'aligne pas les bases, alors déplaçons $ i $ sur la deuxième ligne à la place.
>>> x4,y4=symbols("x4 y4")
>>> solve(Matrix([[0,x4],[I,y4]])**2-_1,[x4,y4])
[(-I, 0)]
\begin{align}
\left(\begin{matrix} 0 & x_4 \\ i & y_4 \end{matrix}\right)^2&=I&
∴(x_4,y_4)&=(-i,0)
\end{align}
Maintenant, vous avez trois bases. Disons $ E $.
>>> E=[Matrix([[1,0],[0,-1]]),Matrix([[0,1],[1,0]]),Matrix([[0,-I],[I,0]])]
E_0,E_1,E_2:=
\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
Puisqu'il a dévié de l'hypothèse originale, il est nécessaire de considérer lequel doit être assigné à $ \ mathbf {e_1}, \ mathbf {e_2}, \ mathbf {e_3} $.
Pour déterminer la matrice de représentation de la base à 1 vecteur, considérons la base à 3 vecteurs.
Dans l'algèbre de Clifford, le carré de la base à 3 vecteurs $ \ mathbf {e_1e_2e_3} $ donne $ -1 $. Vous pouvez vérifier en répétant l'échange de la même manière que le tri à bulles.
\begin{align}
(\mathbf{e_1e_2e_3})^2
&=\mathbf{e_1e_2}\underbrace{\mathbf{e_3e_1}}_{Échange}\mathbf{e_2e_3} \\
&=-\mathbf{e_1}\underbrace{\mathbf{e_2e_1}}_{Échange}\mathbf{e_3e_2e_3} \\
&=\mathbf{e_1e_1e_2}\underbrace{\mathbf{e_3e_2}}_{Échange}\mathbf{e_3} \\
&=-\underbrace{\mathbf{e_1e_1}}_{1}\underbrace{\mathbf{e_2e_2}}_{1}\underbrace{\mathbf{e_3e_3}}_{1} \\
&=-1
\end{align}
$ \ mathbf {e_1e_2e_3} $ est égal au nombre imaginaire $ i $ car il devient $ -1 $ au carré ($ \ mathbf {e_1e_2e_3} = i $).
Vérifiez le produit en réorganisant la commande de $ E $ obtenue précédemment.
>>> import itertools
>>> r=list(range(3))
>>> r
[0, 1, 2]
>>> p=list(itertools.permutations(r))
>>> p
[(0, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1), (2, 1, 0)]
>>> for i,j,k in p: print(i,j,k,E[i]*E[j]*E[k])
...
0 1 2 Matrix([[I, 0], [0, I]])
0 2 1 Matrix([[-I, 0], [0, -I]])
1 0 2 Matrix([[-I, 0], [0, -I]])
1 2 0 Matrix([[I, 0], [0, I]])
2 0 1 Matrix([[I, 0], [0, I]])
2 1 0 Matrix([[-I, 0], [0, -I]])
\begin{align}
E_0E_1E_2
&=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right)=iI \\
E_0E_2E_1
&=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}-i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right)=-iI \\
E_1E_0E_2
&=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}-i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right)=-iI \\
E_1E_2E_0
&=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right)=iI \\
E_2E_0E_1
&=\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right)=iI \\
E_2E_1E_0
&=\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}-i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right)=-iI
\end{align}
On a constaté que les trois combinaisons de $ E_0E_1E_2, E_1E_2E_0 et E_2E_0E_1 $ sont $ i $ fois la matrice unitaire.
Le reste est une question de décision. Nous choisissons ceci comme matrice de représentation pour $ \ mathbf {e_1} $ parce que $ E_1 $ a une forme simple (matrice unitaire non signée, inversée en miroir). Une fois que $ \ mathbf {e_1} $ est déterminé, la dernière combinaison sera déterminée automatiquement. Cette combinaison s'appelle ** Pauli Matrix ** et s'écrit $ σ_1, σ_2, σ_3 $.
>>> s1,s2,s3=Matrix([[0,1],[1,0]]),Matrix([[0,-I],[I,0]]),Matrix([[1,0],[0,-1]])
\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\mathbf{e_3} \mapsto σ_1,σ_2,σ_3 :=
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)
3-Vérifiez à nouveau la représentation de la base du vecteur.
\mathbf{e_1e_2e_3}=i \quad\cong\quad σ_1σ_2σ_3=iI
Dans cet article, $ \ mathbf {e_n} $ et $ σ_n $ sont utilisés correctement comme suit.
Puisque la matrice d'expression a été décidée, ce sera un calcul mécanique.
Vérifiez la matrice de représentation pour toutes les combinaisons.
>>> s1*s2
Matrix([
[I, 0],
[0, -I]])
>>> s2*s1
Matrix([
[-I, 0],
[ 0, I]])
>>> s2*s3
Matrix([
[0, I],
[I, 0]])
>>> s3*s2
Matrix([
[ 0, -I],
[-I, 0]])
>>> s3*s1
Matrix([
[ 0, 1],
[-1, 0]])
>>> s1*s3
Matrix([
[0, -1],
[1, 0]])
\begin{align}
\mathbf{e_1e_2}&\mapsto σ_1σ_2=\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_2e_1}&\mapsto σ_2σ_1=\left(\begin{matrix}-i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_2e_3}&\mapsto σ_2σ_3=\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_3e_2}&\mapsto σ_3σ_2=\left(\begin{matrix} 0 &-i \\-i & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_3e_1}&\mapsto σ_3σ_1=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_1e_3}&\mapsto σ_1σ_3=\left(\begin{matrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
\end{align}
Vérifiez l'anti-échangeabilité.
>>> s1*s2==-s2*s1
True
>>> s2*s3==-s3*s2
True
>>> s3*s1==-s1*s3
True
En utilisant la propriété que le produit géométrique de la même base est $ 1 $, nous pouvons casser la base à 3 vecteurs $ i = \ mathbf {e_1e_2e_3} $ en une base à 2 vecteurs.
\begin{align}
i\mathbf{e_1}&=\mathbf{e_1e_2e_3e_1}=\mathbf{e_1e_1e_2e_3}=\mathbf{e_2e_3} \\
i\mathbf{e_2}&=\mathbf{e_1e_2e_3e_2}=-\mathbf{e_1e_2e_2e_3}=-\mathbf{e_1e_3}=\mathbf{e_3e_1} \\
i\mathbf{e_3}&=\mathbf{e_1e_2e_3e_3}=\mathbf{e_1e_2}
\end{align}
Les bases multipliées par $ i $ s'annulent, laissant le reste des bases derrière. Une telle relation complémentaire est appelée ** Hodge Dual **.
\mathbf{e_1} \overset{Hodge double}{\longleftrightarrow} \mathbf{e_2e_3} \\
\mathbf{e_2} \overset{Hodge double}{\longleftrightarrow} \mathbf{e_3e_1} \\
\mathbf{e_3} \overset{Hodge double}{\longleftrightarrow} \mathbf{e_1e_2}
Essayez le même calcul avec la matrice de Pauli.
>>> I*s1
Matrix([
[0, I],
[I, 0]])
>>> I*s2
Matrix([
[ 0, 1],
[-1, 0]])
>>> I*s3
Matrix([
[I, 0],
[0, -I]])
>>> I*s1==s2*s3
True
>>> I*s2==s3*s1
True
>>> I*s3==s1*s2
True
iσ_1,iσ_2,iσ_3=
\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right) \\
iσ_1=σ_2σ_3,\ iσ_2=σ_3σ_1,\ iσ_3=σ_1σ_2
L'algèbre de Clifford permute les bases et les efface, mais la matrice de Pauli ne multiplie les composants que par des nombres imaginaires. Il est intéressant que le même résultat soit obtenu même si la méthode de calcul est complètement différente. Si vous regardez uniquement le calcul de la matrice de Pauli, vous ne pouvez pas voir que la base du vecteur 3 est cassée, donc elle peut être interprétée en la combinant avec le point de vue de l'algèbre de Clifford.
La notation standard de l'algèbre de Clifford est d'aligner les bases (par exemple $ \ mathbf {e_1e_2} $). D'autre part, dans le calcul de la matrice de Pauli, il est standard de calculer les composantes et d'enfermer $ i $ comme facteur commun.
Affiche la correspondance des bases.
\begin{align}
1 &\mapsto I =\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_1} &\mapsto σ_1=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_2} &\mapsto σ_2=\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_3} &\mapsto σ_3=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_1e_2} &\mapsto iσ_3=\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_2e_3} &\mapsto iσ_1=\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_3e_1} &\mapsto iσ_2=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix}\right) \\
\mathbf{e_1e_2e_3} &\mapsto iI =\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right)
\end{align}
Comparez les expressions de somme formelles.
\begin{align}
&\underbrace{a_0}_{scalaire}+\underbrace{a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_3}}_{1-vecteur}+\underbrace{a_4\mathbf{e_1e_2}+a_5\mathbf{e_2e_3}+a_6\mathbf{e_3e_1}}_{2-vecteur}+\underbrace{a_7\mathbf{e_1e_2e_3}}_{3-vecteur} \\
&\mapsto \underbrace{a_0I}_{scalaire}+\underbrace{a_1σ_1+a_2σ_2+a_3σ_3}_{1-vecteur}+\underbrace{a_4iσ_3+a_5iσ_1+a_6iσ_2}_{2-vecteur}+\underbrace{a_7iI}_{3-vecteur} \\
&=a_0\underbrace{\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)}_{I}
+a_1\underbrace{\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)}_{σ_1}
+a_2\underbrace{\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)}_{σ_2}
+a_3\underbrace{\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right)}_{σ_3} \\
&\quad
+a_4\underbrace{\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right)}_{iσ_3}
+a_5\underbrace{\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right)}_{iσ_1}
+a_6\underbrace{\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix}\right)}_{iσ_2}
+a_7\underbrace{\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right)}_{iI} \\
&=\left(\begin{matrix} a_0+a_3+a_4i+a_7i & a_1-a_2i+a_5i+a_6 \\ a_1+a_2i+a_5i-a_6 & a_0-a_3-a_4i+a_7i \end{matrix}\right)
\end{align}
Dans la représentation matricielle de Pauli, le pseudo-scalaire et le pseudo-vecteur sont représentés en multipliant la base du scalaire et du vecteur 1 par $ i $, ce qui représente la dualité de Hodge. Les termes sont réorganisés pour que la correspondance soit facile à comprendre.
\begin{align}
&\underbrace{a_0I}_{scalaire}+\underbrace{a_1σ_1+a_2σ_2+a_3σ_3}_{vecteur} \\
&+\underbrace{i}_{Hodge double}
(\underbrace{a_7I}_{Pseudo scalaire}+\underbrace{a_5σ_1+a_6σ_2+a_4σ_3}_{Pseudo vecteur})
\end{align}
2-La base du vecteur est au carré à $ -1 $. Il peut être plus facile à comprendre en utilisant la matrice de Pauli.
(\mathbf{e_1e_2})^2=\mathbf{e_1e_2e_1e_2}=-\mathbf{\underbrace{e_1e_1}_{1}\underbrace{e_2e_2}_{1}}=-1 \\
(iσ_3)^2=\underbrace{i^2}_{-1}\underbrace{σ_3^2}_{1}=-1
2-Puisqu'il existe trois types de bases vectorielles, il semble qu'elles puissent être associées aux nombres quaternaires $ i, j, k $.
Essayez de reproduire $ ij = k $. Cependant, si vous le multipliez simplement, il aura un moins.
(\mathbf{e_2e_3})(\mathbf{e_3e_1})=\mathbf{e_2e_3e_3e_1}=-\mathbf{e_1e_2} \\
(iσ_1)(iσ_2)=i^2σ_1σ_2=-iσ_3
Dans ce cas, l'idée de renversement est d'ajouter un moins à la base correspondant à $ i, j, k $ depuis le début.
\begin{align}
i,j,k
&\mapsto -\mathbf{e_2e_3},-\mathbf{e_3e_1},-\mathbf{e_1e_2} \\
&\mapsto -iσ_1,-iσ_2,-iσ_3
\end{align}
De cette façon, $ ij = k $ peut être bien reproduit.
\underbrace{(-\mathbf{e_2e_3})}_{i}\underbrace{(-\mathbf{e_3e_1})}_{j}=\underbrace{-\mathbf{e_1e_2}}_{k} \\
\underbrace{(-iσ_1)}_{i}\underbrace{(-iσ_2)}_{j}=\underbrace{-iσ_3}_{k} \\
Les quadrants correspondent à des scalaires (en l'état) et à 2 vecteurs (inversés).
\begin{align}
&\underbrace{a}_{scalaire}+\underbrace{bi+cj+dk}_{2-vecteur} \\
&\mapsto a-b\mathbf{e_2e_3}-c\mathbf{e_3e_1}-d\mathbf{e_1e_2} \\
&\mapsto aI-biσ_1-ciσ_2-diσ_3 \\
&=a\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)
-b\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
-c\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix}\right)
-d\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right) \\
&=a \underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
+b \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)}_{i}
+c \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
+d \underbrace{\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{k} \\
&=\left(\begin{matrix}a-di & -bi-c \\ -bi+c & a+di\end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix}(a+di)^* & -(c+bi) \\ (c+bi)^* & a+di\end{matrix}\right)
\end{align}
Utilisons l'algèbre de Clifford comme référence.
\begin{align}
&a+b\mathbf{e_1e_2}+c\mathbf{e_2e_3}+d\mathbf{e_3e_1} \\
&\mapsto aI+biσ_3+ciσ_1+diσ_2 \\
&\mapsto a-bk-ci-dj
\end{align}
En interprétant le nombre quaternaire dans l'algèbre de Clifford, il s'est avéré correspondre à des scalaires et à des 2-vecteurs. Cependant, cela est incomplet en tant qu'algèbre de Clifford, nous allons donc envisager une méthode d'extension du nombre quaternaire pour gérer les vecteurs 1.
Vous pouvez convertir en 1 vecteur en multipliant 2 vecteurs par un nombre imaginaire (base de 3 vecteurs).
i(\mathbf{e_2e_3})=\mathbf{e_1e_2e_3e_2e_3}=-\mathbf{e_1e_2e_2e_3e_3}=-\mathbf{e_1} \\
i(iσ_1)=-σ_1
Si vous ajoutez un nouvel imaginaire $ h $, qui est la base du 3-vecteur, au nombre quaternaire, il sera du même type que l'algèbre de Clifford en combinant avec l'élément existant $ i, j, k $. Un tel nombre quaternaire étendu est appelé un ** nombre quaternaire dual **.
\begin{align}
&(a_0+a_1i+a_2j+a_3k)+\underbrace{(a_4+a_5i+a_6j+a_7k)}_{composite}\underbrace{h}_{ajouter à} \\
&=\underbrace{a_0}_{scalaire}+\underbrace{a_1i+a_2j+a_3k}_{2-vecteur}+\underbrace{a_4h}_{3-vecteur}+\underbrace{a_5hi+a_6hj+a_7hk}_{1-vecteur}
\end{align}
Vérifiez la correspondance entre $ hi, hj, hk $ et la matrice de Pauli.
\begin{align}
hi &\mapsto \underbrace{i}_{h}\underbrace{(-iσ_1)}_{i}=σ_1 \\
hj &\mapsto \underbrace{i}_{h}\underbrace{(-iσ_2)}_{j}=σ_2 \\
hk &\mapsto \underbrace{i}_{h}\underbrace{(-iσ_3)}_{k}=σ_3 \\
∴hi,hj,hk &\mapsto σ_1,σ_2,σ_3
\end{align}
La correspondance avec l'algèbre de Clifford et la matrice de Pauli basée sur le quadrant quaternaire est la suivante.
\begin{align}
&\underbrace{a_0}_{scalaire}+\underbrace{a_1i+a_2j+a_3k}_{2-vecteur}+\underbrace{a_4h}_{3-vecteur}+\underbrace{a_5hi+a_6hj+a_7hk}_{1-vecteur} \\
&\mapsto a_0-a_1\mathbf{e_2e_3}-a_2\mathbf{e_3e_1}-a_3\mathbf{e_1e_2}+a_4\mathbf{e_1e_2e_3}+a_5\mathbf{e_1}+a_6\mathbf{e_2}+a_7\mathbf{e_3} \\
&\mapsto a_0I-a_1iσ_1-a_2iσ_2-a_3iσ_3+a_4iI+a_5σ_1+a_6σ_2+a_7σ_3 \\
&=a_0\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)
-a_1\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
-a_2\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix}\right)
-a_3\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 &-i \end{matrix}\right) \\
&\quad
+a_4\left(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}\right)
+a_5\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
+a_6\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
+a_7\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right) \\
&=a_0\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
+a_1\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)}_{i}
+a_2\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
+a_3\underbrace{\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{k} \\
&\quad
+a_4\underbrace{\left(\begin{matrix} i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{h}
+a_5\underbrace{\left(\begin{matrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{hi}
+a_6\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\ i& 0 \end{matrix}\right)}_{hj}
+a_7\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)}_{hk} \\
&=\left(\begin{matrix} a_0-a_3i+a_4i+a_7 & -a_1i-a_2+a_5-a_6i \\ -a_1i+a_2+a_5+a_6i & a_0+a_3i+a_4i-a_7 \end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix} (a_0+a_7)-(a_3-a_4)i & -\{(a_2-a_5)+(a_1+a_6)i\} \\ (a_2+a_5)-(a_1-a_6)i & (a_0-a_7)+(a_3+a_4)i \end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix} \{(a_0+a_7)+(a_3-a_4)i\}^* & -\{(a_2-a_5)+(a_1+a_6)i\} \\ \{(a_2+a_5)+(a_1-a_6)i\}^* & (a_0-a_7)+(a_3+a_4)i \end{matrix}\right)
\end{align}
Utilisons l'algèbre de Clifford comme référence.
\begin{align}
&a_0+a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_3}+a_4\mathbf{e_1e_2}+a_5\mathbf{e_2e_3}+a_6\mathbf{e_3e_1}+a_7\mathbf{e_1e_2e_3} \\
&\mapsto a_0I+a_1σ_1+a_2σ_2+a_3σ_3+a_4iσ_3+a_5iσ_1+a_6iσ_2+a_7iI \\
&\mapsto a_0+a_1hi+a_2hj+a_3hk-a_4k-a_5i-a_6j+a_7h
\end{align}
Ainsi, le quaternaire dual, l'algèbre de Clifford tridimensionnelle et la matrice de Pauli sont isomorphes. De ce point de vue, on peut dire que l'objet manipulé par le nombre quaternaire est l'espace euclidien tridimensionnel, et le nombre quaternaire se complète sous la forme d'un nombre quaternaire dual.
Dans l'algèbre de Clifford, la forme quadratique $ hi, hj, hk $ est sous la forme quadratique $ \ mathbf {e_1}, \ mathbf {e_2}, \ mathbf {e_3} $, et vice versa. Il est intéressant de noter que $ i, j, k $ sous forme linéaire pour les nombres est $ \ mathbf {e_3e_2}, \ mathbf {e_1e_3}, \ mathbf {e_2e_1} $ sous forme quadratique pour l'algèbre de Clifford (nombres quaternaires et Clifford). Le signe est différent dans l'algèbre 2-vecteur, mais il est exprimé en changeant l'ordre en raison de l'anti-échangeabilité). Cela peut sembler déroutant quant à ce qui est atomique et ce qui est complexe en tant que concept, mais je pense qu'il est plus sûr de suivre l'interprétation algébrique de Clifford si elle a une signification géométrique.
Dans l'article précédent (Nombres bi-complexes considérés par matrice d'expression), j'ai vu que les nombres bi-complexes et l'algèbre de Clifford bidimensionnelle sont presque compatibles. Il y avait une différence dans certains résultats de calcul. D'un autre côté, si vous limitez le nombre quaternaire dual à deux dimensions, vous pouvez obtenir un isomorphisme parfait.
Un vecteur en deux dimensions ne peut être traité que par $ hj, hk $. Le seul 2-vecteur obtenu par le composé est $ i $. Il n'y a pas de 3-vecteur car le 2-vecteur est un pseudo-scalaire en 2 dimensions.
\underbrace{a}_{scalaire}+\underbrace{bi}_{2-vecteur}+\underbrace{chj+dhk}_{1-vecteur}
Pour plus de commodité, remplacez les caractères. De cette façon, le nombre de quadrants binaires qui sont limités à deux dimensions et les caractères sont remplacés est appelé le ** nombre quaternaire décomposé **.
a+bi+chj+dhk\ \mapsto\ a+bi+cj+dk
La correspondance avec l'algèbre de Clifford et la matrice de Pauli basée sur le nombre quaternaire décomposé est la suivante. Contrairement aux nombres bicomplexes, il est complètement isomorphe.
\begin{align}
&\underbrace{a}_{scalaire}+\underbrace{bi}_{2-vecteur}+\underbrace{cj+dk}_{1-vecteur} \\
&\mapsto a-b\mathbf{e_2e_3}+c\mathbf{e_2}+d\mathbf{e_3} \\
&\mapsto aI-biσ_1+cσ_2+dσ_3 \\
&=a\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)
-b\left(\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
+c\left(\begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
+d\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{matrix}\right) \\
&=a\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
+b\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)}_{i}
+c\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\ i& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
+d\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)}_{k} \\
&=\left(\begin{matrix} a+d & -bi-ci \\ -bi+ci & a-d \end{matrix}\right)
\end{align}
Utilisons l'algèbre de Clifford comme référence.
\begin{align}
&a+b\mathbf{e_2}+c\mathbf{e_3}+d\mathbf{e_2e_3} \\
&\mapsto aI+bσ_2+cσ_3+diσ_1 \\
&\mapsto a+bi+cj-dk
\end{align}
La description de l'algèbre de Clifford dans cet article a été réorganisée en fonction de l'article suivant.
Veuillez vous référer aux articles suivants pour Hodge Dual et Bubble Sort.
Veuillez vous référer aux articles suivants pour les quadruples et les quaternes décomposés.
J'ai évoqué la relation entre le double quadrant et l'algèbre de Clifford. Grâce à cet article, j'ai pu compléter le dernier morceau.
Il explique en détail comment un espace à 8 dimensions (le même espace représenté par un nombre quaternaire dual) est construit par un nombre quaternaire et une matrice de Pauli, et comment obtenir une matrice d'expression.
Je me suis référé à la manière de résoudre des équations avec SymPy et au format de sortie des équations.
J'ai fait référence à la commande en Python.
Nous avons résumé les variations de Multiple.
| De base | Alors | Type de décomposition | Type de décompositionAlors | Alors曲 | 二重（Alors対） | Plusieurs |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre réel | Numérodouble | |||||
| Nombre complexe | 双Nombrecomplexe | 分解型Nombrecomplexe | 二重Nombrecomplexe | 多重Nombrecomplexe | ||
| Quadruple | 双Quadruple | 分解型Quadruple | 分解型双Quadruple | 双曲Quadruple | 二重Quadruple | |
| Huit yuans | 双Huityuans | 分解型Huityuans | ||||
| 16 yuans |
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