Petit officiel

[Little Official](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%88%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%B3%95%E5 % 89% 87) signifie que le nombre moyen à long terme de clients $ L $ dans un système stable est le produit du taux d'arrivée moyen à long terme $ λ $ et du temps moyen à long terme dans le système $ W $. La loi de l'égalité. (Même si le système est en file d'attente)

L = \lambda W

L_q = \lambda W_q

Cette formule vaut pour toute arrivée ou distribution de service. Cette formule est également intuitivement facile à comprendre. C'est,

Empiriquement, trois personnes se rendent à l'hôpital général toutes les heures. On sait également qu'en moyenne 6 personnes attendent dans la salle d'attente. Le temps d'attente moyen est estimé à 2 heures.

Cela signifie que nous avons calculé $ W_q = L_q / \ lambda = 6/3 = 2 $. Ce calcul vaut pour les moyennes. Le temps d'attente prévu pour «6 personnes alignées à mon arrivée» est de 6 fois le temps moyen de service (si le service est M).

Valeur théorique de la valeur statistique

Avec M / M / 1, la valeur théorique de la valeur statistique peut être obtenue relativement facilement. Même si vous ne mémorisez pas la valeur théorique, vous pouvez la calculer en vous rappelant les deux points suivants.

1. La probabilité que le nombre de personnes dans le système augmente de ρ fois lorsqu'une personne augmente (dérivée du processus de Markov) --Petit officiel

Premièrement, la probabilité $ P_i $ qu'il y ait $ i $ personnes dans le système est de (1) à $ \ alpha \ rho ^ i $. Si vous ajoutez toutes les probabilités, il vaut 1, vous pouvez donc calculer comme suit.

\ alpha (1 + \ rho + \ rho ^ 2 + \ rho ^ 3 + \ cdots) = \ frac {\ alpha} {1- \ rho} = 1 à \ alpha = 1- \ rho

i Probabilité d'être dans le système P_i = (1- \ rho) \ rho ^ i

Vous pouvez également l'utiliser pour voir que l'utilisation moyenne du serveur = $ \ sum_ {i = 1} {P_i} = 1 --P_0 = 1- (1- \ rho) = \ rho $.

Vous pouvez également utiliser la formule de Little pour calculer:

Nombre moyen de personnes dans le système ($ L $) = $ \ sum_ {i = 0} {i P_i} = (1- \ rho) (\ rho + 2 \ rho ^ 2 + 3 \ rho ^ 3 + \ cdots) = \ frac {\ rho} {1- \ rho} $ Longueur moyenne de la file d'attente ($ L_q $) = $ Nombre moyen de personnes dans le système - Utilisation moyenne du serveur = L- \ rho = \ frac {\ rho ^ 2} {1- \ rho} $ Temps système moyen ($ W $) = $ L / \ lambda = \ frac {1} {\ mu- \ lambda} $ Temps d'attente moyen ($ W_q $) = $ L_q / \ lambda = \ frac {\ rho} {\ mu- \ lambda} $

Confirmé avec Python

import simpy, random, numpy as np
random.seed(1)
env = simpy.Environment() #Environnement de simulation
queue, intime = [], [] #Queue(Liste des heures d'arrivée)Et une liste de l'heure dans le système

#Événement d'arrivée
def arrive():
    while True:
        yield env.timeout(random.expovariate(1.0 / 5)) #Taux d'arrivée moyen 1/5
        env.process(into_queue())

#Queue
def into_queue():
    global queue
    queue.append(env.now)
    if len(queue) > 1:
        return
    while len(queue) > 0:
        yield env.timeout(random.expovariate(1.0 / 3)) #Taux de service moyen 1/3
        tm, queue = queue[0], queue[1:]
        intime.append(env.now - tm)

#Courir
env.process(arrive())
env.run(1000000)
print('total = %d clients, W = %.2f' % (len(intime), np.average(intime)))
>>>
total = 199962 clients, W = 7.53