[PYTHON] [Statistiques] [Analyse des séries chronologiques] Tracez le modèle ARMA et saisissez la tendance.

Ceci est un article sur le tracé du modèle ARMA.

Dessinez un graphique pour comprendre visuellement comment le paramètre $ {\ rm ARMA} (p, q) $ modifie le graphique. Il y en a 49 au total w J'ai écrit cet article avec la faible espérance que si vous le regardez tout le temps, vous pourrez distinguer les paramètres en regardant le graphique: grin: Après avoir examiné les graphiques côte à côte, écrivez le code Python qui les a générés.

Modèle de moyenne mobile à retour automatique (ARMA)

La formule du modèle ARMA est la suivante. Dans cet article, nous allons dessiner un graphe avec le motif de $ p = 0,1,2, \ q = 0,1,2 $ et le nombre de variations du signe de chaque paramètre.

y_t = \varepsilon_t +  \sum_{i=1}^p \phi_i y_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i} \\
\varepsilon_t \sim N(0,\sigma^2) 　　　　　　　　　　　　　　　\\
t = 1, 2, \cdots, T　　　　　　　　　　　　　

Dessinez un graphique

ARMA(0,0)

 y_t = \varepsilon_t 

ARMA(0,1)

 y_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1}

Paramètres: \theta_1=0.7

ARMA(0,2)

 y_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2}

Paramètres: \theta_1=0.7,\ \theta_2=0.3

ARMA(1,0)

y_t = \varepsilon_t +  \phi_1 y_{t-1} 

Paramètres: \phi_1=0.7

ARMA(1,1)

y_t = \varepsilon_t +  \phi_1 y_{t-1} + \theta_1 \varepsilon_{t-1}

Paramètres: \phi_1=0.7,\ \theta_1=0.7

ARMA(1,2)

y_t = \varepsilon_t +  \phi_1 y_{t-1} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2}

Paramètres: \phi_1=0.7,\ \theta_1=0.7,\ \theta_2=0.3

ARMA(2,0)

y_t = \varepsilon_t + \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} 

Paramètres: \phi_1=0.7,\ \phi_2=0.3

ARMA(2,1)

y_t = \varepsilon_t + \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} 

Paramètres: \phi_1=0.7,\ \phi_2=0.3\ \theta_1=0.7

ARMA(2,2)

y_t = \varepsilon_t + \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2}

Paramètres: \phi_1=0.7,\ \phi_2=0.3\ \theta_1=0.7,\ \theta_2=0.3

Code de dessin

J'ai utilisé des statsmodels qui peuvent créer des données artificielles ARMA avec Python.

import numpy as np
import pandas as pd
import numpy.random as rd
import itertools, sys

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import gridspec
plt.style.use('ggplot')

from statsmodels.tsa.arima_process import arma_generate_sample
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.tsa.stattools as stt
import statsmodels.graphics.tsaplots as tsaplots



def select_negative(l):
    res = []
    l = np.array(l)
    n = len(l)
    res.append(l)
    l = np.array(l)
    for i in range(n):
        for j in itertools.combinations(range(n),i+1):
            _l = l.copy()
            _l[list(j)] = _l[list(j)] * -1
            res.append(_l)
    return res

cnt = 0
n = 3
nobs = 500
itrvl = 28

for len_ar in range(n):
    for len_ma in range(n):
        
        _ar_params = [.7, .3][:len_ar]
        _ma_params = [.7, .3][:len_ma]
        
        _ar_params = select_negative(_ar_params)
        _ma_params = select_negative(_ma_params)
        for i in _ar_params:
            for j in _ma_params:
                cnt += 1

                ar_params = np.r_[1, -i]
                ma_params = np.r_[1, j]
                
                yy = arma_generate_sample(ar_params, ma_params, nobs)
                ts = pd.Series(yy, index=pd.date_range('2010/1/1', periods=nobs))
                ar_sign = ['+' if val >= 0 else '-' for val in i]
                ma_sign = ['+' if val >= 0 else '-' for val in j]

                plt.subplots(2, 1, sharex=True, figsize=(15,7)) 
                gs = gridspec.GridSpec(2, 1, height_ratios=[5,2])
                ax1 = plt.subplot(gs[0])
                ax2 = plt.subplot(gs[1])

                # ax1 --------
                ts.plot(color="b", alpha=0.4, lw=1, ax=ax1,
                        title="ARMA({0},{1}). ar:{2},ma:{3}, ar:{4},ma:{5}".format(len_ar, len_ma, i, j, ar_sign, ma_sign))
                ax1.set_title(ax1.get_title(), fontsize=16)

                ts_mean = pd.rolling_mean(ts,itrvl)
                ts_std = pd.rolling_std(ts,itrvl) 
                upper = ts_mean + ts_std * 1.96
                lower = ts_mean - ts_std * 1.96

                ts_mean.plot(ax=ax1)
                upper.plot(figsize=(15,7), c="purple", alpha=.6, ax=ax1, linestyle='--')
                lower.plot(figsize=(15,7), c="purple", alpha=.6, ax=ax1, linestyle='--')

                # ax2 --------
                tsaplots.plot_acf(ts ,ax=ax2, color="g", lags=300, lw=2)
                plt.subplots_adjust(hspace=0)

                plt.savefig('./ARMA_fig/ARMA_{}.png'.format(cnt))
                plt.clf()

référence

StatsModels : Autoregressive Moving Average (ARMA): Artificial data 　http://statsmodels.sourceforge.net/stable/examples/notebooks/generated/tsa_arma_1.html