[PYTHON] Prouvons le théorème d'addition d'une fonction triangulaire en remplaçant la fonction par une fonction dans SymPy (≠ substitution)

sous-marins et remplacer

Les "subs" et "replace" de SymPy sont des non-fonctions similaires de substitution et de remplacement.

from sympy import symbols, sin, cos, exp, I, sqrt, expand, init_printing
init_printing()
x = symbols('x')
f =  sin(x)+sin(x**2)

L'exemple suivant remplace «cos (x)» par «sin (x)».

f.subs(sin(x), cos(x))

\sin{\left (x^{2} \right )} + \cos{\left (x \right )}

Evidemment, dans ce cas, «sin (x ** 2)» n'est pas remplacé par «cos (x ** 2)». Je ne sais pas si c'est la spécification prévue, mais .subs (sin, cos) peut remplacer sin par cos.

f.subs(sin, cos)

\cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x^{2} \right )}

Cependant, .subs (sin, sqrt) ne peut pas remplacer sin par sqrt.

f.subs(sin, sqrt)

\sin{\left (x \right )} + \sin{\left (x^{2} \right )}

Je ne suis pas sûr, mais je pense que sympy.core.function.FunctionClass peut être remplacé l'un par l'autre.

for func in [sin, cos, sqrt]:
    print(func.__class__)

<class 'sympy.core.function.FunctionClass'>
<class 'sympy.core.function.FunctionClass'>
<class 'function'>

À l'origine, je pense que «remplacer» est l'utilisation originale pour remplacer une fonction par une fonction.

f.replace(sin, cos)

\cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x^{2} \right )}

f.replace(sin, sqrt)

\sqrt{x} + \sqrt{x^{2}}

Vous pouvez utiliser votre propre fonction ou expression lambda comme argument de replace.

f.replace(sin, lambda t: cos(t**2)) # sin(□)Cos(□**2)Remplacer par

\cos{\left (x^{2} \right )} + \cos{\left (x^{4} \right )}

De la formule d'Euler

Officiel d'Euler $ e^{\theta i} = \cos\theta + i\sin\theta\tag{1} $ Dans, si vous remplacez $ \ theta $ par $ - \ theta $, alors de $ \ cos (- \ theta) = \ cos (\ theta), \ \ sin (- \ theta) = - \ sin \ theta $ $ e^{-\theta i} = \cos\theta - i\sin\theta\tag{2} $ est. Par conséquent, à partir de $ (1) + (2) $ $ e^{\theta i} + e^{-\theta i} = 2\cos\theta\ \Longleftrightarrow\ \cos\theta = \frac{e^{\theta i} + e^{-\theta i}}{2} $ À partir de $ (1) - (2) $ $ e^{\theta i} - e^{-\theta i} = 2i\sin\theta\ \Longleftrightarrow\ \sin\theta = \frac{e^{\theta i} - e^{-\theta i}}{2i} $ Tient. Autrement dit, comme il est bien connu, $ \ cos $ et $ \ sin $ peuvent être représentés par des fonctions exponentielles.

cos2exp = lambda t: (exp(t*I) + exp(-t*I))/2
sin2exp = lambda t: (exp(t*I) - exp(-t*I))/(2*I)
(sin(x)+cos(x)).replace(cos, cos2exp).replace(sin, sin2exp)

- \frac{i}{2} \left(e^{i x} - e^{- i x}\right) + \frac{e^{i x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- i x}

En utilisant cela, diverses formules de fonctions triangulaires peuvent être prouvées (confirmées).

alpha, beta = symbols(r'\alpha \beta')
A = sin(alpha+beta)
B = sin(alpha)*cos(beta) + cos(alpha)*sin(beta)

expand(A.replace(sin, sin2exp).replace(cos, cos2exp))

- \frac{i}{2} e^{i \alpha} e^{i \beta} + \frac{i}{2} e^{- i \alpha} e^{- i \beta}

expand(B.replace(sin, sin2exp).replace(cos, cos2exp))

- \frac{i}{2} e^{i \alpha} e^{i \beta} + \frac{i}{2} e^{- i \alpha} e^{- i \beta}

Maintenant, ʻA = B`, c'est-à-dire $ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $ A été confirmé.