Dessinez le disque de Poancare en Python

Je me suis demandé si c'était sur le net, mais je ne l'ai pas trouvé, alors je vais l'écrire moi-même.

Quel est le disque de Poancare?

C'est célèbre pour le truc d'Escher.

Comme l'explication sera désormais longue, celle implémentée en Python et le code source sont les suivants.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

theta = np.linspace(0,2*np.pi,100)
colorlist = ["r","g","b","c","m","y"]

t = list(range(0,6))
for n in t:
    n2 = np.power(2,n)
    for phi in np.linspace(0,2*np.pi,2*n2+1):
        x = np.cos(theta)*np.tan(np.pi/n2) + np.cos(phi)/np.cos(np.pi/n2)
        y = np.sin(theta)*np.tan(np.pi/n2) + np.sin(phi)/np.cos(np.pi/n2)
        plt.plot(x,y,lw=0.5,color=colorlist[n-2])

for phi in np.linspace(0,2*np.pi,9):
    t = np.linspace(-2,2,100)
    x = t*np.cos(phi)
    y = t*np.sin(phi)
    plt.plot(x,y,lw=0.5,color='y')

plt.plot(np.cos(theta),np.sin(theta),color='black')
plt.xlim(-1,1)
plt.ylim(-1,1)
plt.show()

On dit qu'il s'agit d'un espace à double courbure en expansion infinie confiné dans un disque, mais cela seul ne suffit pas à expliquer, et c'est le miso qui a confiné «l'espace à double courbure» au lieu de «l'espace plat». Je pense que c'est.

Espace twin

Un espace à double courbe est un espace dans lequel une ligne droite ressemble à une double courbe. En premier lieu, ce n'est pas parce que l'espace que vous voyez devant vous est droit qu'il le restera pour toujours. Même la terre est ronde. Puisque toutes les lignes droites à la surface de la Terre sont des cercles parfaits (correctement, des ellipses rotatives) lorsqu'elles sont vues à l'échelle planétaire, on peut dire que la Terre est un espace où toutes les lignes droites sont des cercles. Au contraire, il devrait y avoir un espace où toutes les lignes droites sont à double courbure. Le tableau est le suivant.

• …… Sauf lorsque les lignes droites sont exactement les mêmes

Considérant un espace où la grille sur le plan euclidien (coordonnées du réseau) est une bicourbe, les conditions suivantes sont satisfaites. Le transfert aux coordonnées euclidiennes est le suivant.

Vous pouvez voir que le carré près du bord est clairement net. Cela reflète toujours correctement l'angle, mais il est difficile de voir l'image entière, alors disons que vous la compressez ** de force ** sur un disque. Définissons $ = 1 $ à l'infini.

Plan euclidien $ U $ → Projection verticale sur une surface bi-courbe $ H $ → Projection centrale à l'origine

Cette compression peut se faire assez naturellement par la procédure. La formule peut également être calculée avec une simple similitude. Soit le système de coordonnées converti $ D $.

U:[x_U,y_U] \longmapsto H:[x_H,y_H,z_H]\\
x_H = x_U\\
y_H = y_U\\
z_H = \sqrt{x_U^{2}+y_U^{2}+1}\\

H:[x_H,y_H,z_H] \longmapsto D:[x_D,y_D,1]\\
x_D = \frac{x_H}{z_H}\\
y_D = \frac{y_H}{z_H}\\

Le résultat est:

• En fait, il y a des lignes droites infinies, mais seulement 41 horizontales et 41 verticales.

Facile à voir! Un tel modèle est appelé ** disque de Klein **. Cela relie les lignes d'abduction de la bicourbe et l'intersection de l'infini avec une ligne droite, et bien que la relation de position dans un sens euclidien soit facile à comprendre, elle présente l'inconvénient de ne pas refléter avec précision l'angle de chaque ligne droite (à l'origine 90). Les endroits où ils se rencontrent sous le degré regardent également à angle droit).

Par conséquent, cette fois, nous allons effectuer l'opération de compression en disque tout en maintenant l'angle entre les lignes droites. Le résultat est ce qu'on appelle un ** disque Poancare **, et le fonctionnement est le suivant.

D:[x_D,y_D,1] \longmapsto P:[x_P,y_P,0]\\
x_P = \frac{x_D}{1+\sqrt{1-x_D^{2}-y_D^{2}}}\\
y_P = \frac{y_D}{1+\sqrt{1-x_D^{2}-y_D^{2}}}\\

Le résultat est:

Vous pouvez voir que l'intersection de chaque ligne droite et de l'infini (circonférence) est un angle droit, et que l'angle entre les lignes droites est gardé le même que celui des coordonnées euclidiennes.

Application à autre que la grille

Jusqu'à présent, pour l'explication de l'espace musical jumeau, la grille (les courbes jumelles disposées comme) était convertie telle quelle, mais je vais essayer de convertir d'autres choses également. Considérez l'ensemble de bicurves suivant.

Soudain, c'est devenu psychédélique, mais calmez-vous car toutes les lignes sont des courbes doubles.

Conversion de ce disque sur le disque de Klein

Une fois converti en un disque de Poancare,

Ce sera comme ça. De cette façon, la première figure a été dessinée.

Notez que sur toutes ces figures, les relations de phase telles que le nombre de côtés et la relation positionnelle ** de la figure entourée par chaque ligne droite n'ont pas changé.

Supplément

Dans le code source au début, le disque de Poancare est réalisé en dessinant un cercle sans passer par le calcul compliqué comme ci-dessus. Bien sûr, en appliquant la transformation ci-dessus à la bicourbe, elle deviendra éventuellement un cercle et vous pourrez créer un disque Poancare.