Synopsis

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\piσ^2}}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}

La distribution normale est l'une des distributions typiques et est une distribution qui apparaît fréquemment dans le domaine des statistiques. Cependant, la fonction de densité de probabilité de la distribution normale est très compliquée comme la formule ↑ et a enterré de nombreux débutants. Je me souviens aussi d'avoir mal à la tête et des étourdissements lorsque j'ai vu cette formule pour la première fois lorsque j'ai commencé à étudier les statistiques.

Dans cet article, la partie coefficient ($ \ frac {1} {\ sqrt {2 \ piσ ^ 2}} ) et la partie exposant ( - \ frac {(x-μ) ^ 2} {2σ ^ 2) de l'équation ↑ } $) et décrivez pourquoi il a été formé comme ceci.

Partie d'index

De nombreux événements dans le monde ont la plus grande probabilité de prendre une valeur moyenne, et la probabilité de prendre cette valeur diminue à mesure que la distance par rapport à la valeur moyenne augmente.

Une expression qui exprime simplement cela est

f(x)=e^{-x^2}

est. Dans un graphique,

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def normal_dist(x, ave = 0, disp=1):
    return np.exp((-(x-ave)**2)/(2*disp**2))

x = np.linspace(-3, 3)
y = normal_dist(x)

plt.plot(x,y)
plt.grid(axis="both")
plt.show()

Cela ressemble à une montagne.

Cette formule est moins polyvalente car un seul graphique peut être dessiné. Donc, ① Déplacer à gauche et à droite du graphique ② Changer la largeur du graphique Ajoutez la fonction de.

Se déplacer à gauche et à droite du graphique

En changeant la partie $ x $ en $ x-μ $, vous pouvez déplacer la position de $ x $, qui prend la valeur maximale.

f(x)=e^{-(x-μ)^2}

Cela devient une telle formule. Modifions la valeur de $ μ $ et voyons le changement dans le graphique.

color = ["b", "g", "r", "c", "m"]
for i, col in enumerate(color):
    y = normal_dist(x, i)
    plt.plot(x, y, color=col)
    
plt.show()

Le graphique s'est déplacé vers la droite lorsque $ μ $ augmentait.

Changer la largeur du graphique

Vous pouvez changer la largeur en multipliant la partie exposant par $ \ frac {1} {2σ ^ 2} $.

f(x)=e^{-\frac{x^2}{2σ^2}}

x = np.linspace(-10, 10)
color = ["b", "g", "r", "c", "m"]
for i, col in enumerate(color):
    y = normal_dist(x, 0, i+1)
    plt.plot(x, y, color=col)
    
plt.show()

J'ai réussi à changer la largeur. Le carré de σ doit gérer à la fois le positif et le négatif, et la multiplication de 2 $ sert à faciliter le calcul.

Partie facteur

Puisqu'il s'agit d'une fonction de densité de probabilité, la superficie totale doit être de 1 $. Par conséquent, multipliez la fonction par une valeur appropriée. Mettez un coefficient pratique comme $ c $ et

\int_{-\infty}^{\infty}ce^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}dx=1

Pour trouver $ c $.

À première vue, cela peut sembler un calcul compliqué,

\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}

En utilisant cette formule intégrale gaussienne, si $ a = \ frac {1} {2σ ^ 2} $

c=\frac{1}{\sqrt{2\piσ^2}}

Cela devient facile à calculer. La solution est maintenant le coefficient de la formule en haut.

Après tout, cette formule était une formule qui définit la fonction de densité de probabilité en rendant $ f (x) = e ^ {-x ^ 2} $ polyvalent et en ajustant les coefficients. Je suis heureux.

Site référencé

https://to-kei.net/distribution/normal-distribution/density-function-derivation/ Compréhension sémantique de la fonction de densité de la distribution normale

https://mathtrain.jp/gauss Deux preuves de la formule intégrale gaussienne

https://bellcurve.jp/statistics/course/7797.html 14-1. Distribution normale