In diesem Artikel erstellen wir ein mathematisches GIF mit Google Colaboratory. Lassen Sie uns die Coltveg-Doffreys-Gleichung lösen, die eine nichtlineare Welle durch numerische Berechnung beschreibt, und sehen, dass Soliton erscheint.

1. Verwenden Sie Google Colaboratory

Mit Google Colaboratory können Sie mit Python im Notebook-Format arbeiten, ohne etwas auf Ihrem PC installieren zu müssen (solange Sie über eine Internetverbindung verfügen).

Im letzten Artikel [Lassen Sie uns mit Python- @ wakabame einfach ein mathematisches GIF erstellen] [1] gab es ein Verfahren zum Erstellen einer Umgebung, das jedoch nicht mehr erforderlich ist. Der Code wird auch auf dem Cloud-Server von Google ausgeführt, sodass Sie Computerressourcen kostenlos nutzen können.

Es gibt noch weitere Funktionen. Weitere Informationen finden Sie in der offiziellen Dokumentation. https://colab.research.google.com/notebooks/welcome.ipynb?hl=ja

2. Berechnen wir den numerischen Wert der Coltweg-Doffreys-Gleichung

Dieser Abschnitt basiert auf [Numerische Berechnung der KdV-Gleichung mit der Pseudospektralmethode - ohne es zu versuchen] [2].

Ein Anfangswert-Grenzwertproblem, das die Bewegung der Wellenhöhe $ u $ im flachen Wasser beschreibt und als Coltveg-Doffreys-Gleichung bezeichnet wird. $ \begin{cases} &u_t + \alpha u u_x + \beta u_{xxx} = 0, \quad & t>0, x \in (0, L),\\\\ &u(t,0) = u(t,L),\quad &t>0,\\\\ &u(0,x) = u_0(x), \quad &x \in (0,L) \end{cases} $ Nachdenken über. Hier sind $ L $, $ \ alpha $, $ \ beta $ positive Konstanten und die Parameter, wenn Zabsky Kurskull eine isolierte Welle entdeckt $ L = 2,0 $, $ \ alpha = 1,0 $, $ \ beta = Angenommen, es ist 0,022 ^ 2 $ und der Anfangswert ist gegeben durch $ u_0 (x) = \ cos (\ pi x) $.

Bei der numerischen Berechnung werden $ u_x $ und $ u_ {xxx} $ durch Fourier-Transformation unter Verwendung von "diff" von "scipy.fftpack" in räumlicher Richtung berechnet. Auf der anderen Seite werden wir uns in der Zeitrichtung zerstreuen und das lösen_ivp von scipy.integrate verwenden, um die numerische Lösung zum nächsten Zeitschritt nach der impliziten Runge-Kutta-Methode zu finden.

Importieren Sie die erforderlichen Bibliotheken

import numpy as np
from numpy import pi, cos, linspace, arange
from numpy.fft import rfft, irfft
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
from IPython.display import HTML
from scipy.integrate import solve_ivp
from scipy.fftpack import diff as psdiff

Parameter und Anfangswerte einstellen

# Constant in Zabusky & Kruskal (1965)
DELTA = 0.022 ** 2
L = 2.0 # width of line domain

N = 256 # step width for spatial variable
T = 10 # last time
dt = 1.0e-2 # step width for time variable

# initial condition
x = linspace(0.0, L, N, endpoint=False)
u0 = cos(pi*x)

Berechnung von $ u_t $ mit Fourier-Transformation

def kdv(t, u):
    conv = u * psdiff(u, period=L)
    disp = DELTA * psdiff(u, period=L, order=3)
    dv = - conv - disp
    return dv

Berechnung numerischer Lösungen nach der impliziten Rungekutta-Methode

t = np.arange(0, T, dt)
sol = solve_ivp(kdv, [0, T], u0, method='Radau', t_eval=t)

3. Lassen Sie uns visualisieren

Dieser Abschnitt basiert auf [Visualisierung der Gradientenabstiegsmethode in Google Colaboratory- @ yaju] [3].

Vorbereitung der numerischen Lösung

Da die erhaltene Lösung "sol.y" ein zweidimensionales Array ist, das in der Reihenfolge "[Raum] [Zeit]" angeordnet ist, sollte es transponiert werden, um "U [t] [x]" zu werden.

U = sol.y.T
frames = len(U)

Visualisierung mit Notebook

Bei der Visualisierung in einem Notizbuch ist es einfacher, aus "HTML" in "IPython.display" zu sehen. Bei Colaboratory wird die Verbindung jedoch unterbrochen, wenn eine große Menge an Speicher in einer Zelle verbraucht wird (?). Daher wird der GIF-Frame so ausgedünnt, dass er in etwa 200 passt.

%matplotlib inline
fig = plt.figure()
fig.set_dpi(100)
ax = fig.add_subplot(1,1,1)
def animate(t):
    ax.clear()
    plt.ylim([-1.2, 3.0])
    p, = plt.plot(x, U[5*t])
anim = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames=frames//5, interval=100, repeat=False)
HTML(anim.to_jshtml())

GIF-Datei exportieren

Wenn Sie eine GIF-Datei exportieren, können Sie sie mit der Option "writer =" pillow "fast ohne Änderungen ausgeben. Wenn der Export abgeschlossen ist, öffnen Sie die Registerkarte links und Sie finden die auf dem Laufwerk gespeicherte GIF-Datei. Klicken Sie also mit der rechten Maustaste und laden Sie sie herunter

fig = plt.figure()
fig.set_dpi(100)
ax = fig.add_subplot(1,1,1)
def animate(t):
    ax.clear()
    plt.ylim([-1.2, 3.0])
    p, = plt.plot(x, U[5*t])
anim = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames=frames//5, interval=100, repeat=False)
anim.save("kdv_pseudo_spec_impl_rc.gif", writer="pillow")

Dieses Notizbuch ist unter [kdv.ipynb] verfügbar (https://colab.research.google.com/gist/wakabame/a76b38bc1d081f19fa4df5eb50f14ab1/kdv.ipynb#scrollTo=KZUJxWW4qJvN). Wenn Sie Kommentare haben, zögern Sie bitte nicht, uns zu kontaktieren. [1]:https://qiita.com/wakabame/items/c3648501eb0f2b921ddf [2]:https://iqujack-lequina.hatenablog.com/entry/2018/05/02/%E6%93%AC%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E6%B3%95%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8BKdV%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A8%88%E7%AE%97 [3]:https://qiita.com/yaju/items/42d43d6d6cf6910e8701

[PYTHON] Lassen Sie uns mit Google Colaboratory ganz einfach ein mathematisches GIF erstellen