Als Index zur Messung des Unterschieds im Quantenzustand wurde "Fidelity" in Vorheriger Artikel aufgenommen. Diesmal handelt es sich also um einen anderen Index "Trace distance (https://qiita.com/SamN/items/634b11b6f1). Ich werde "Trace Distance)" studieren. Nachdem ich seine Definition und Eigenschaften erklärt habe, möchte ich seine wichtigen Eigenschaften mithilfe des Quantenberechnungssimulators qlazy berechnen und bestätigen.
Die folgenden Dokumente wurden als Referenz verwendet.
In Anbetracht der Zustände $ \ rho $ und $ \ sigma $ ist der Trace-Abstand wie folgt definiert:
D(\rho,\sigma) = \frac{1}{2} ||\rho-\sigma|| = \frac{1}{2} Tr|\rho-\sigma| \tag{1}
Da $ \ rho- \ sigma $ Elmeat ist (kein positiver Wert)
D(\rho,\sigma) = \frac{1}{2} Tr \sum_{i} |\lambda_{i}| \ket{i} \bra{i} = \frac{1}{2} \sum_{i} |\lambda_{i}| \tag{2}
Sie kann wie in [^ 1] als Summe der Absolutwerte der eindeutigen Werte von $ \ rho- \ sigma $ berechnet werden.
[^ 1]: Wenn $ \ rho $ und $ \ sigma $ austauschbar sind, können sie gleichzeitig diagonalisiert werden, und ihre diagonalen Komponenten sind Wahrscheinlichkeiten, sodass sie dem Abstand zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen im klassischen Sinne entsprechen. Ich werde.
Sie können auch den Projektionsoperator oder den Positivwertoperator $ P $ verwenden, um Folgendes auszudrücken:
D(\rho,\sigma) = \max_{P} Tr(P(\rho-\sigma)) \tag{3}
Nach dieser Formel ist der Trace-Abstand die maximale Differenz zwischen den Wahrscheinlichkeiten für die Durchführung aller möglichen Messungen (Projektion oder POVM), wenn die Zustände $ \ rho $ und $ \ sigma $ vorliegen. Die physikalische Interpretation, die es darstellt, ist gültig. Diese Gleichung (3) ist eine wichtige Gleichung, die bei der Erörterung der Eigenschaften des nächsten Abschnitts häufig verwendet wird. Ich möchte sie daher beweisen, aber zuvor gilt für jeden Elmeet-Operator $ A $ Folgendes. Es ist notwendig, das zu beweisen, also werde ich dies zuerst schlagen.
Tr(A_{+}) = \max_{0 \leq P \leq I} (PA) \tag{4}
Hier ist $ P $ ein positiver Wertoperator, dessen Wert ~~ $ I $ oder weniger ist, dessen Wert 1 oder weniger ist.
\begin{align}
A &= \sum_{i} a_{i} \ket{i} \bra{i} \\
A_{+} &= \sum_{i (a_i > 0)} a_{i} \ket{i} \bra{i} \\
A_{-} &= \sum_{i (a_i \leq 0)} |a_{i}| \ket{i} \bra{i} \tag{5}
\end{align}
ist. $ A_ {+} und A_ {-} $ werden als positiver und negativer Teil des Elmeet-Operators $ A $ bezeichnet.
[Beweis]
\begin{align}
Tr(PA_{-}) &= Tr(P \sum_{i(a_i \leq 0)} |a_i| \ket{i} \bra{i}) \\
&= \sum_{i(a_i \leq 0),j} \bra{j} |a_i| P \ket{i} \braket{i}{j} \\
&= \sum_{i(a_i \leq 0)} |a_i| \bra{i} P \ket{i} \geq 0 \tag{6}
\end{align}
$ A = A_ {+} - A_ {-} $, also
Tr(PA) = Tr(PA_{+}) - Tr(PA_{-}) \leq Tr(PA_{+}) \leq Tr(A_{+}) \tag{7}
Ist festgelegt. Die zuletzt verwendete Ungleichung war $ Tr ((I-P) A_ {+}) \ geq 0 $ anstelle von $ I-P \ geq 0 $. Als das,
Tr(A_{+}) = \max_{0 \leq P \leq I} Tr(PA) \tag{8}
Ist festgelegt. Hier wird der Maximalwert genommen, wenn $ P $ $ PA = A_ {+} $ erfüllt. (Ende der Zertifizierung)
Dann ist es der Beweis von Gleichung (3).
[Beweis]
Für den Elmeat-Operator $ A $
\begin{align}
A &= A_{+} - A_{-} \\
|A| &= A_{+} + A_{-} \tag{9}
\end{align}
Damit
\begin{align}
Tr(A_{+}) &= \frac{1}{2} (Tr|A| + Tr(A)) \\
Tr(A_{-}) &= \frac{1}{2} (Tr|A| - Tr(A)) \tag{10}
\end{align}
ist. Unter Verwendung von Gleichung (10) und der Spur von $ \ rho- \ sigma $ als 0,
\begin{align}
D(\rho,\sigma) &= \frac{1}{2} Tr|\rho-\sigma| \\
&= Tr(\rho-\sigma)_{+} - \frac{1}{2} Tr(\rho-\sigma) \\
&= Tr(\rho-\sigma)_{+} \tag{11}
\end{align}
Einsetzen von Gleichung (8) in diese,
D(\rho,\sigma) = \max_{0 \leq P \leq I} Tr(P(\rho-\sigma)) \tag{12}
Es wird sein. (Ende der Zertifizierung)
Der Trace-Abstand hat folgende Eigenschaften [^ 2].
[^ 2]: Referenzen Jede Eigenschaft ist anders klassifiziert, aber in diesem Artikel habe ich sie in fünf organisiert. Ich beabsichtige vorerst, die in allen Referenzen beschriebenen Eigenschaften (fast) abzudecken.
Diese (1), (2) und (3) sind die drei Bedingungen, die "Entfernung" erfüllen muss [^ 3]. (4) zeigt, dass der Spurenabstand im physikalischen Prozess immer abnimmt, dh der Zustand wird aufgrund der Wechselwirkung mit der Umgebung allmählich nicht mehr zu unterscheiden.
[^ 3]: Andererseits erfüllt Fidelity die Entfernungsanforderung nicht.
Lassen Sie uns in der Reihenfolge überprüfen.
D(\rho,\sigma) = D(\sigma,\rho) \tag{13}
Ist festgelegt. Dies geht aus der Definition hervor.
0 \leq D(\rho,\sigma) \leq 1 \tag{14}
Ist festgelegt. Insbesondere sind das Maximum und das Minimum in den folgenden Fällen.
\begin{align}
\rho = \sigma &\Leftrightarrow D(\rho,\sigma) = 0 \\
\rho \sigma = 0 &\Leftrightarrow D(\rho,\sigma) = 1 \tag{15}
\end{align}
[Beweis]
Zunächst ergibt sich die Ungleichung links aus der Definition (siehe Gleichung (2)). Außerdem gilt die Gleichheit nur für $ \ rho = \ sigma $.
Als nächstes über die Ungleichung auf der rechten Seite. Reinigen Sie $ \ rho, \ sigma $ wie folgt.
\begin{align}
\rho &\rightarrow \ket{\phi_{\rho}} \\
\sigma &\rightarrow \ket{\phi_{\sigma}} \tag{16}
\end{align}
Im Allgemeinen ist der Spurenabstand zwischen gereinigten Zuständen größer als der Spurenabstand vor der Reinigung [^ 4],
[^ 4]: Ich benutze beiläufig die Kontraktilität von Eigentum (4). Aus Eigenschaft (4) kann gesagt werden, dass die Spurentfernung des Teilsystems kleiner ist als die Spurentfernung des gesamten Systems (Referenz: Neilsen Chan )).
\begin{align}
D(\rho,\sigma) &\leq \frac{1}{2} || \ket{\phi_{\rho}} \bra{\phi_{\rho}} - \ket{\phi_{\sigma}} \bra{\phi_{\sigma}} || \\
&= \frac{1}{2} Tr | \ket{\phi_{\rho}} \bra{\phi_{\rho}} - \ket{\phi_{\sigma}} \bra{\phi_{\sigma}} | \tag{17}
\end{align}
Kann man sagen. Um zu zeigen, dass die Obergrenze 1 ist, möchte ich die Kurve auf der rechten Seite konkret berechnen, aber dafür möchte ich eine Art normales orthogonales System. Wir verwenden also die Orthogonalisierungsmethode von Gram Schmidt. Da der Rang höchstens 2 beträgt, müssen nur die ersten beiden orthogonalen Systeme erhalten werden. Also werde ich es versuchen.
\begin{align}
\ket{u} &= \ket{\phi_{\rho}} \\
\ket{v} &= \frac{\ket{\phi_{\sigma}} - \braket{\phi_{\rho}}{\phi_{\sigma}} \ket{\phi_{\rho}}}{\sqrt{1-|\braket{\phi_{\rho}}{\phi_{\sigma}}|^{2}}} \tag{18}
\end{align}
Deshalb,
\begin{align}
\ket{\phi_{\rho}} &= \ket{u} \\
\ket{\phi_{\sigma}} &= \braket{\phi_{\rho}}{\phi_{\sigma}} \ket{u} + \sqrt{1-|\braket{\phi_{\rho}}{\phi_{\sigma}}|^{2}} \ket{v} \tag{19}
\end{align}
Daraus ergibt sich der Inhalt der Spur von Gleichung (17) (stetig berechnet),
\begin{align}
&\ket{\phi_{\rho}} \bra{\phi_{\rho}} - \ket{\phi_{\sigma}} \bra{\phi_{\sigma}} \\
&= (1-|\braket{\phi_{\rho}}{\phi_{\sigma}}|^{2}) \ket{u} \bra{u} - \sqrt{1-|\braket{\phi_{\rho}}{\phi_{\sigma}}|^{2}} \braket{\phi_{\rho}}{\phi_{\sigma}} \ket{u} \bra{v} - \sqrt{1-|\braket{\phi_{\rho}}{\phi_{\sigma}}|^{2}} \braket{\phi_{\sigma}}{\phi_{\rho}} \ket{v} \bra{u} - (1-|\braket{\phi_{\rho}}{\phi_{\sigma}}|^{2}) \ket{v} \bra{v} \tag{20}
\end{align}
Und wenn Sie $ \ alpha = \ braket {\ phi_ {\ rho}} {\ phi_ {\ sigma}} $ setzen,
\begin{align}
&\ket{\phi_{\rho}} \bra{\phi_{\rho}} - \ket{\phi_{\sigma}} \bra{\phi_{\sigma}} \\
&= (1-|\alpha|^{2}) \ket{u}\bra{v} - \alpha \sqrt{1-|\alpha|^{2}} \ket{u}\bra{v} - \alpha^{*} \sqrt{1-|\alpha|^{2}} \ket{v}\bra{u} - (1-|\alpha|^{2}) \ket{v}\bra{v} \\
&=
\begin{pmatrix}
1-|\alpha|^{2} & - \alpha \sqrt{1-|\alpha|^{2}} \\
- \alpha^{*} \sqrt{1-|\alpha|^{2}} & - (1-|\alpha|^{2})
\end{pmatrix} \tag{21}
\end{align}
ist. Diagonalisieren Sie diese Matrix (= lösen Sie das Eigenwertproblem) und berechnen Sie die Summe der Absolutwerte der erhaltenen Eigenwerte. Also werde ich es versuchen. Für die Eigengleichung ist der Eigenwert, den Sie finden möchten, $ \ lambda $.
\lambda^{2} - (1-|\alpha|^{2}) = 0 \tag{22}
Es wird sein. Wenn dies gelöst ist, sind die beiden Eigenwerte
\begin{align}
&\lambda_1 = \sqrt{1-|\alpha|^{2}} = \sqrt{1-|\braket{\phi_{\rho}}{\phi_{\sigma}}|^{2}} \\
&\lambda_2 = -\sqrt{1-|\alpha|^{2}} = -\sqrt{1-|\braket{\phi_{\rho}}{\phi_{\sigma}}|^{2}} \tag{23}
\end{align}
Und am Ende Gleichung (17)
D(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1-|\braket{\phi_{\rho}}{\phi_{\sigma}}|^{2}} \leq 1 \tag{24}
Es wird sein. Hier gilt die Gleichheit für $ \ braket {\ phi_ {\ rho}} {\ phi_ {\ sigma}} = 0 $, dh wenn die Zustände orthogonal sind, dh $ \ rho \ sigma = Nur wenn es 0 $ ist. (Ende der Zertifizierung)
D(\rho,\sigma) \leq D(\rho,\tau) + D(\tau,\sigma) \tag{25}
Ist festgelegt.
[Beweis]
Aus Gleichung (3)
D(\rho,\sigma) = Tr(P(\rho-\sigma)) \tag{26}
Es gibt $ P $, das sich trifft. Verwenden Sie das entsprechende $ \ tau $,
D(\rho,\sigma) = Tr(P(\rho-\sigma)) = Tr(P(\rho-\tau)) + Tr(P(\tau-\sigma)) \tag{27}
Kann gemacht werden. Wieder unter Verwendung von Gleichung (3),
D(\rho,\sigma) \leq D(\rho,\tau) + D(\tau,\sigma) \tag{25}
Ist festgelegt. (Ende der Zertifizierung)
D(\rho,\sigma) \geq D(\Gamma(\rho),\Gamma(\sigma)) \tag{28}
Ist festgelegt.
[Beweis]
Für den Zustand $ \ rho, \ sigma $ im Aufmerksamkeitssystem A wird der Zustand $ \ tau_ {R} $ im Referenzsystem R verwendet, um wie folgt zu reinigen.
\rho_{AR} = \rho \otimes \tau_{R}, \space \sigma_{AR} = \sigma \otimes \tau_{R} \tag{29}
Beachten Sie, dass der Trace-Abstand unveränderlich ist, wenn er auf dieselbe Weise mit demselben $ \ tau_ {R} $ gereinigt wird. Das ist,
\begin{align}
D(\rho_{AR}, \sigma_{AR}) &= \frac{1}{2} ||\rho_{AR}-\sigma_{AR}|| = \frac{1}{2} ||(\rho-\sigma) \otimes \tau_{R}|| \\
&= \frac{1}{2} ||\rho-\sigma|| \cdot ||\tau_{R}|| = \frac{1}{2} ||\rho-\sigma|| \\
&= D(\rho,\sigma) \tag{30}
\end{align}
ist. CPTP-Zuordnungen für $ \ rho, \ sigma $ können auch mit einem beliebigen einheitlichen Operator $ U $ erstellt werden.
\begin{align}
\Gamma(\rho) &= Tr_{R} (U \rho_{AR} U^{\dagger}) \\
\Gamma(\sigma) &= Tr_{R} (U \sigma_{AR} U^{\dagger}) \tag{31}
\end{align}
Kann geschrieben werden. Dann
\begin{align}
||\rho-\sigma|| &= ||\rho_{AR}-\sigma_{AR}|| = ||U(\rho_{AR}-\sigma_{AR})U^{\dagger}|| \\
&= \max_{V} |Tr(U(\rho_{AR}-\sigma_{AR})U^{\dagger}V)| \\
&\geq \max_{V_A} |Tr(U(\rho_{AR}-\sigma_{AR})U^{\dagger}(V_A \otimes I_R))| \\
&= \max_{V_A} |Tr((Tr_{R}(U\rho_{AR}U^{\dagger}) - Tr_{R}(U\sigma_{AR}U^{\dagger}))V_A)| \\
&= \max_{V_A} |Tr((\Gamma(\rho)-\Gamma(\sigma))V_A)| \\
&= ||\Gamma(\rho)-\Gamma(\sigma)|| \tag{32}
\end{align}
Es wird sein.
Hier gilt für den linearen Operator $ A $ und alle einheitlichen Operatoren $ V $:
||A|| = \max_{V} |Tr(AV)| \tag{33}
Wurde verwendet, um zu halten. Immerhin aus Gleichung (32)
D(\rho,\sigma) \geq D(\Gamma(\rho),\Gamma(\sigma)) \tag{28}
Sie können sehen, dass dies zutrifft. (Ende der Zertifizierung)
D(\sum_{i} p_{i} \rho_{i}, \sum_{i} q_{i} \sigma_{i}) \leq D(p_{i},q_{i}) + \sum_{i} D(\rho_{i},\sigma_{i}) \tag{34}
Ist festgelegt.
[Beweis]
\begin{align}
&D(\sum_{i} p_{i} \rho_{i}, \sum_{i} q_{i} \sigma_{i}) \\
&= \frac{1}{2} Tr|\sum_{i} p_{i} \rho_{i} - \sum_{i} q_{i} \sigma_{i}| \\
&= \max_{0 \leq P \leq I} Tr(P(\sum_{i} p_{i} \rho_{i} - \sum_{i} q_{i} \sigma_{i})) \tag{35}
\end{align}
Hier können Sie durch geeignete Auswahl von $ P $ Folgendes tun.
\begin{align}
&D(\sum_{i} p_{i} \rho_{i}, \sum_{i} q_{i} \sigma_{i}) \\
&= Tr(P(\sum_{i} p_{i} \rho_{i} - \sum_{i} q_{i} \sigma_{i})) \\
&= Tr(P \sum_{i} p_{i} \rho_{i}) - Tr(P \sum_{i} q_{i} \sigma_{i}) \\
&= \sum_{i} p_{i} Tr(P\rho_{i}) - \sum_{i} q_{i} Tr(P\sigma_{i}) \\
&= \sum_{i} p_{i} Tr(P(\rho_{i}-\sigma_{i})) + \sum_{i} (p_i - q_i) Tr(P\sigma_{i}) \\
&\leq \sum_{i} p_{i} D(\rho_{i},\sigma_{i}) + \sum_{i} (p_i - q_i) Tr(P\sigma_{i}) \tag{36}
\end{align}
Um nun den zweiten Term der letzten Zeile mit dem Abstand zwischen den Verteilungen der klassischen Wahrscheinlichkeitsverteilung in Beziehung zu setzen, betrachten Sie den Spurabstand, wenn $ \ rho, \ sigma $ konvertierbar sind. Da es austauschbar ist, ist eine gleichzeitige Diagonalisierung wie unten gezeigt möglich.
\begin{align}
\rho &= \sum_{i} p_{i} \ket{i} \bra{i} \\
\sigma &= \sum_{i} q_{i} \ket{i} \bra{i} \tag{37}
\end{align}
Bei der Berechnung der Spurentfernung unter dieser Bedingung
\begin{align}
D(\rho,\sigma) &= \frac{1}{2} Tr|\sum_{i} (p_i - q_i) \ket{i} \bra{i}| \\
&= \frac{1}{2} \sum_{i} |p_i - q_i| \equiv D(p_i,q_i) \\
&= \max_{P} Tr(P(\rho-\sigma)) \\
&= \max_{P} Tr(P(\sum_{i} p_{i} \ket{i} \bra{i} - \sum_{i} q_{i} \ket{i} \bra{i})) \\
&= \max_{P} \sum_{i} (p_i - q_i) Tr (P \ket{i} \bra{i}) \\
&= \max_{P} \sum_{i} (p_i - q_i) Tr (P \sigma_{i}) \\
&\geq \sum_{i} (p_i -q_i) Tr(P\sigma_{i}) \tag{38}
\end{align}
Kann führen. Wobei $ D (p_i, q_i) $ der Abstand zwischen den Verteilungen der klassischen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Einsetzen von Gleichung (38) in Gleichung (36)
D(\sum_{i} p_{i} \rho_{i}, \sum_{i} q_{i} \sigma_{i}) \leq D(p_i,q_i) + \sum_{i} p_{i} D(\rho_{i},\sigma_{i}) \tag{34}
Sie können sehen, dass dies zutrifft. (Ende der Zertifizierung)
Übrigens, wenn $ p_i = q_i $,
D(\sum_{i} p_{i} \rho_{i}, \sum_{i} p_{i} \sigma_{i}) \leq \sum_{i} p_{i} D(\rho_{i},\sigma_{i}) \tag{39}
Ist etabliert, und dies nennt man "gemeinsame Konvexität".
Konzentrieren wir uns nun auf die vierte "Schrumpfbarkeit" der oben gezeigten Eigenschaften des Spurenabstands und prüfen mit dem Simulator, ob dies der Fall ist oder nicht. Insbesondere werden zwei Dichteoperatoren zufällig erzeugt, ein zufällig erzeugter Quantenkanal (Referenzsystem + Umgebungssystem wird hinzugefügt und eine zufällige einheitliche Transformation wird für den gereinigten Zustand durchgeführt und schließlich verfolgt. Lassen Sie uns als Ergebnis des Durchgangs (definiert als Weg nach außen) sehen, dass die Spurentfernung sicherlich eine Kontraktion ist (= Abnahme).
Der gesamte Python-Code ist unten.
import random
import math
import numpy as np
from scipy.stats import unitary_group
from qlazypy import QState, DensOp
def random_densop(qnum_tar,qnum_ref,qnum_env):
dim_pur = 2**(qnum_tar+qnum_ref)
vec_pur = np.array([0.0]*dim_pur)
vec_pur[0] = 1.0
mat_pur = unitary_group.rvs(dim_pur)
vec_pur = np.dot(mat_pur, vec_pur)
dim_env = 2**qnum_env
vec_env = np.array([0.0]*dim_env)
vec_env[0] = 1.0
vec_whole = np.kron(vec_pur,vec_env)
qs = QState(vector=vec_whole)
de = DensOp(qstate=[qs],prob=[1.0])
qs.free()
return de
def random_unitary(qnum):
dim = 2**qnum
mat = unitary_group.rvs(dim)
return mat
if __name__ == '__main__':
# settings
qnum_tar = 2 # system A : target system
qnum_ref = 2 # system R : reference system
qnum_env = 2 # system E : environment system
qnum_whole = qnum_tar + qnum_ref + qnum_env
# two random states in system A+R+E (A+R:set randomly, E:set |0> initialy)
de1_whole = random_densop(qnum_tar,qnum_ref,qnum_env)
de2_whole = random_densop(qnum_tar,qnum_ref,qnum_env)
# two states in system A (trace out R+E)
de1_ini = de1_whole.partial(id=list(range(qnum_tar)))
de2_ini = de2_whole.partial(id=list(range(qnum_tar)))
# trace distance for initial states
dis_ini = de1_ini.distance(de2_ini)
# unitary transformation for whole system
U = random_unitary(qnum_whole)
de1_whole.apply(U)
de2_whole.apply(U)
# two states in system A (trace out R+E)
de1_fin = de1_whole.partial(id=list(range(qnum_tar)))
de2_fin = de2_whole.partial(id=list(range(qnum_tar)))
# trace distance for final states
dis_fin = de1_fin.distance(de2_fin)
# result
print("* trace distance(ini) =", dis_ini)
print("* trace distance(fin) =", dis_fin)
if dis_ini >= dis_fin:
print("OK!")
else:
print("NG!")
# free memory
de1_whole.free()
de2_whole.free()
de1_ini.free()
de2_ini.free()
de1_fin.free()
de2_fin.free()
Ich habe gerade die Methode zur Berechnung der Wiedergabetreue in Vorheriger Artikel durch die Methodenentfernung ersetzt, die die Ablaufverfolgungsentfernung berechnet, daher werde ich sie nicht im Detail erläutern.
Das Ausführungsergebnis ist wie folgt.
* trace distance(ini) = 0.5235122473095817
* trace distance(fin) = 0.26385081827631107
OK!
So können Sie sehen, dass der Trace-Abstand kleiner wird. Ich habe es viele Male ausgeführt, aber es hat sich immer zusammengezogen (verringert).
Dieser Artikel ist aufgrund der sorgfältigen Entwicklung und des Beweises der Formel ziemlich lang geworden. In den Referenzen werden die wichtigsten Punkte bewiesen, aber viele werden weggelassen. Was ich für wichtig halte, ist, dass ich versuche, den Raum zwischen den Zeilen selbst auszufüllen, aber diesmal kam es vor, dass sich der Betrag erhöhte. Es sind fast die Grundlagen der linearen Algebra, aber ich habe viel gelernt (ich hätte es tun sollen, als ich auf dem College war, aber schwitzen).
Übrigens plane ich das nächste Mal, aber im Moment denke ich, dass es um "Entropie" geht. Dies ist ein Thema, das nicht von den Grundlagen der Quanteninformationstheorie ausgeschlossen werden kann. Damit betreten wir endlich den Bereich der Informationstheorie.
das ist alles
Recommended Posts