Ich habe ab heute ein Buch mit dem Titel "Quantencomputer hergestellt in 14 Tagen" gekauft, daher möchte ich mein Verständnis von Quantencomputern bei der Implementierung vertiefen. Dieses Buch wird 14 Tage dauern, um endlich einen einfachen Quantencomputersimulator zu implementieren. Ich bin eher eine theoretisch orientierte Person und verstehe die Quantenmechanik überhaupt nicht, aber ich würde sie gerne irgendwie lesen. Dieses Mal werden wir uns mit den Grundlagen der Quantenmechanik vertraut machen.
Hier werden die Python-Umgebungskonstruktion, die numerische Berechnung und das Zeichnen durchgeführt.
Die Version von Pyhthon wird voraussichtlich 3.8.2 sein. Installieren Sie für die Installationsmethode das Installationsprogramm von der offiziellen Website (https://www.python.org/downloads/). ·herunterladen ·Antworten ・ Installation Dies kann in drei Schritten erfolgen. Sie sollten diesbezüglich auf andere Websites verweisen. Das nächste externe Modul, das in Python verwendet wird, ist
numpy:Ein Modul, das hauptsächlich Matrixberechnungen durchführt. Wichtig
scipy:Ein Modul zur Durchführung wissenschaftlicher Berechnungen. Zum ersten Mal verwenden. Wichtig
matplotlib:Ein Modul zum Zeichnen von Grafiken. Wichtig
Diese Installationen können mit den folgenden Befehlen durchgeführt werden
$ pip install numpy scipy matplotlib
Ich habe Scipy noch nie verwendet, daher werde ich ein Beispielskript dafür hinterlassen. Bücher integrieren auch entsprechende Funktionen.
sample.py
import scipy.integrate as integrate
import math
#Integrationsintervall
x_min = 0
x_max = 1
#Grafik, die integriert werden soll
def func(x):
return math.exp(x)
#Theoretisches Integrationsergebnis
exact = math.e - 1
#Integrale Berechnung
result, err = integrate.quad(func, x_min, x_max)
print("Integrationsergebnis:" + str(result))
print("Berechnungsfehler:" + str(result - exact) + " (Geschätzter Fehler:" + str(err) + ")")
Als ich das lief, stellte sich heraus, dass es so war.
$ python sample.py
>Integrationsergebnis: 1.7182818284590453
>Berechnungsfehler: 2.220446049250313e-16 (Geschätzter Fehler: 1.9076760487502457e-14)
Es scheint, dass Teilchen, die von einem Quantencomputer gehandhabt werden, Eigenschaften als Wellen und Eigenschaften als Teilchen haben, und um den Quantenzustand aufgrund dieser Eigenschaften zu handhaben, wird eine Funktion verwendet, die als Wellenfunktion bezeichnet wird. Das Symbol "ψ" wird für die Wellenfunktion verwendet.
\begin{array}{l}
\psi(x,y):Wellenfunktion\\
x: Position\\
y: Zeit
\end{array}
Das Quadrat des Absolutwerts der Wellenfunktion hat die Eigenschaft, die Wahrscheinlichkeit auszudrücken, dass an diesem Punkt ein Teilchen existiert. Daher muss die Wellenfunktion die folgenden Standardisierungsbedingungen erfüllen.
\begin{array}{l}
\S 1.1(Standardisierungsbedingungen)\\
\int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi(x,t)\right|^2dx
\end{array}
Die Schrödinger-Gleichung ist eine Gleichung, die das Verhalten der Wellenfunktion bestimmt und wie folgt ausgedrückt wird.
\begin{array}{l}
\S 1.2(Schrödinger-Gleichung)\\
(1)\quad i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=\hat{H}(x,t)\psi(x,t)\\
i:Imaginäre Einheit\\
\hbar:Dirac-Konstante(1.055\times 10^{-34}[Js])\\
\hat{H}(x,t):Hamiltonianer
\end{array}
Die Erklärung der imaginären Einheiten entfällt. Die Dirac-Konstante ist die Planck-Konstante (h) geteilt durch 2π. In der klassischen Mechanik scheint Hamiltonian die Energie des Systems darzustellen. Wenn Sie einen Hut daran befestigen, bedeutet dies, dass er in die Quantenmechanik umgewandelt wurde. Dieser Hut bedeutet, dass der interne Impuls "p" durch den Impulsoperator und die Position "x" durch den Positionsoperator ersetzt wird.
\begin{array}{l}
\S 1.3 (Hamiltonianer[Quantenmechanik])\\
(2)\quad\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}\\
(3)\quad\hat{T}=\frac{\hat{p}^2}{2m}\\
(4)\quad\hat{V}=V(\hat{x},t)\\
\hat{p}:Impulsoperator\\
\hat{x}:Positionieren Sie den Bediener
\end{array}
Die hier definierte Wellenfunktion wird durch die Position "x" und die Zeit "t" definiert. Eine solche Darstellung nennt man Positionsanzeige (Koordinatenanzeige?). Es scheint auch, dass die Methode zum Ausdrücken der Wellenfunktion durch den Impuls und die Zeit als Impulsanzeige bezeichnet wird. Bei der Positionsanzeige können der Impulsoperator und der Positionsoperator wie folgt konvertiert werden.
\begin{array}{l}
\S 1.4(Positionsanzeigebediener)\\
\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\\
\hat{x}=x
\end{array}
Hier müssen der Positionsoperator und der Impulsoperator die kanonische Austauschbedingung erfüllen. Was ist eine kanonische Austauschbedingung?
\begin{array}{l}
\S 1.5(Kanonische Austauschbedingungen)\\
[\hat{x},\hat{p}]=\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=i\hbar
\end{array}
Es scheint, dass der Positionsoperator und der Impulsoperator nur gehen können, wenn sie die Form wie ↑ erfüllen.
Basierend auf diesen kann die Schrödinger-Gleichung wie folgt umgeschrieben werden.
\begin{array}{l}
\S 1.6(Schrödinger-Gleichung)\\
i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x,t)\right]\psi(x,t)
\end{array}
Wenn das Potential nicht von der Zeit abhängt, betrachten Sie ψ wie folgt als zwei Funktionen.
\psi(x,t)=\phi(x)T(t)
Hier wird eine Lösung (variable Trennlösung) mit einer solchen Form erhalten. Es scheint, dass Sie nicht über andere Lösungen nachdenken müssen. Ich wusste den Grund nicht. Einsetzen in Schrödingers Gleichung
\begin{align}
i\hbar\frac{d(\phi(x)T(t))}{d t} &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d (\phi(x)T(t))}{d x}+V(x)\phi(x)T(t)\\
i\hbar\phi(x)\frac{d T(t)}{d t} &=& -\frac{\hbar^2}{2m}T(x)\frac{d \phi(x)}{d x}+V(x)\phi(x)T(t)
\end{align}
Teilen Sie beide Seiten durch "ϕ (x) T (t)"
i\hbar\frac{1}{T(t)}\frac{d T(t)}{d t}=\frac{1}{\phi(x)}\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \phi(x)}{d x^2}+V(x)\phi(x)\right]
In der Formel gibt es eine Variable nur für x auf der rechten Seite von t auf der linken Seite. Da die linke und die rechte Seite immer gleich sind, sind beide Seiten konstant. Wenn die Konstante (Trennkonstante) hier auf E gesetzt ist,
\begin{align}
E &=& i\hbar\frac{1}{T(t)}\frac{d T(t)}{d t}\\
E &=& \frac{1}{\phi(x)}\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \phi(x)}{d x^2}+V(x)\phi(x)\right]
\end{align}
Um die obige Formel zusammenzufassen:
\frac{d T(t)}{d t}=-\frac{iE}{\hbar}T(x)
Da der Differenzierung von T (x) eine Konstante in T (x) fehlt, ergibt das Lösen dieser Differentialgleichung die Form einer Exponentialfunktion und unter Verwendung der Konstanten T0,
T(x)=T_{0}e^{-i\omega t}\quad
jedoch\omega=\frac{E}{\hbar}
Daraus ist ersichtlich, dass die Wellenfunktion eine einfache Schwingung aufweist. Da die Dirac-Konstante die Planck-Konstante geteilt durch 2π ist,
\begin{array}{l}
\S 1.7 (Einsteins Beziehung)\\
E=\hbar\omega=hv\\
v:Frequenz
\end{array}
Durch Transformieren der Gleichung für x kann auch eine zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung erhalten werden.
\begin{array}{l}
\S 1.8 (Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung)\\
\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V \right]\phi(x)=E\phi(x)
\end{array}
Eine solche Gleichung wird als Eigengleichung bezeichnet, E ist die Eigenenergie und φ ist die Eigenenergiefunktion.
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