[PYTHON] Beweisen wir den Additionssatz einer Dreiecksfunktion, indem wir die Funktion durch eine Funktion in SymPy ersetzen (≠ Substitution).

U-Boote und ersetzen

SymPys "subs" und "replace" sind ähnliche Nichtfunktionen des Ersetzens und Ersetzens.

from sympy import symbols, sin, cos, exp, I, sqrt, expand, init_printing
init_printing()
x = symbols('x')
f =  sin(x)+sin(x**2)

Das folgende Beispiel ersetzt "sin (x)" durch "cos (x)".

f.subs(sin(x), cos(x))

\sin{\left (x^{2} \right )} + \cos{\left (x \right )}

Offensichtlich wird in diesem Fall "sin (x ** 2)" nicht durch "cos (x ** 2)" ersetzt. Ich weiß nicht, ob dies die beabsichtigte Spezifikation ist, aber ".subs (sin, cos)" kann "sin" durch "cos" ersetzen.

f.subs(sin, cos)

\cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x^{2} \right )}

".Subs (sin, sqrt)" kann "sin" jedoch nicht durch "sqrt" ersetzen.

f.subs(sin, sqrt)

\sin{\left (x \right )} + \sin{\left (x^{2} \right )}

Ich bin mir nicht sicher, aber ich habe das Gefühl, dass sympy.core.function.FunctionClass durch einander ersetzt werden kann.

for func in [sin, cos, sqrt]:
    print(func.__class__)

<class 'sympy.core.function.FunctionClass'>
<class 'sympy.core.function.FunctionClass'>
<class 'function'>

Ursprünglich denke ich, dass "Ersetzen" die ursprüngliche Verwendung ist, um eine Funktion durch eine Funktion zu ersetzen.

f.replace(sin, cos)

\cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x^{2} \right )}

f.replace(sin, sqrt)

\sqrt{x} + \sqrt{x^{2}}

Sie können Ihre eigene Funktion oder Ihren eigenen Lambda-Ausdruck als Argument für "Ersetzen" verwenden.

f.replace(sin, lambda t: cos(t**2)) # sin(□)Cos(□**2)Ersetzen mit

\cos{\left (x^{2} \right )} + \cos{\left (x^{4} \right )}

Aus der Euler-Formel

Eulers Beamter $ e^{\theta i} = \cos\theta + i\sin\theta\tag{1} $ Wenn $ \ theta $ durch $ - \ theta $ ersetzt wird, dann ist von $ \ cos (- \ theta) = \ cos (\ theta) \ \ sin (- \ theta) = - \ sin \ theta $ $ e^{-\theta i} = \cos\theta - i\sin\theta\tag{2} $ ist. Daher ab $ (1) + (2) $ $ e^{\theta i} + e^{-\theta i} = 2\cos\theta\ \Longleftrightarrow\ \cos\theta = \frac{e^{\theta i} + e^{-\theta i}}{2} $ Von $ (1) - (2) $ $ e^{\theta i} - e^{-\theta i} = 2i\sin\theta\ \Longleftrightarrow\ \sin\theta = \frac{e^{\theta i} - e^{-\theta i}}{2i} $ Hält. Das heißt, $ \ cos $ und $ \ sin $ können bekanntlich durch Exponentialfunktionen dargestellt werden.

cos2exp = lambda t: (exp(t*I) + exp(-t*I))/2
sin2exp = lambda t: (exp(t*I) - exp(-t*I))/(2*I)
(sin(x)+cos(x)).replace(cos, cos2exp).replace(sin, sin2exp)

- \frac{i}{2} \left(e^{i x} - e^{- i x}\right) + \frac{e^{i x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- i x}

Auf diese Weise können verschiedene Formeln von Dreiecksfunktionen bewiesen (bestätigt) werden.

alpha, beta = symbols(r'\alpha \beta')
A = sin(alpha+beta)
B = sin(alpha)*cos(beta) + cos(alpha)*sin(beta)

expand(A.replace(sin, sin2exp).replace(cos, cos2exp))

- \frac{i}{2} e^{i \alpha} e^{i \beta} + \frac{i}{2} e^{- i \alpha} e^{- i \beta}

expand(B.replace(sin, sin2exp).replace(cos, cos2exp))

- \frac{i}{2} e^{i \alpha} e^{i \beta} + \frac{i}{2} e^{- i \alpha} e^{- i \beta}

Nun, A = B, das heißt, $ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $ Wurde bestätigt.