Ziel

Ich denke, der Inhalt ist für diejenigen geeignet, die im Unterricht Quantenmechanik gelernt haben oder die sie selbst gelernt haben. Geht es um Studenten der Naturwissenschaften? Es ist nichts für Leute, die die Quantenmechanik überhaupt nicht kennen, also keine Angst ...

Zusammenfassung

Wenn es um Quantenmechanik geht, gibt es viele Leute, die sagen: "Ich habe viele schreckliche Berechnungen durchgeführt und konnte das Konzept nicht verstehen."

Es gibt zwei Arten von Quantenmechanik, die "konzeptuelle Wand" und die "mathematische Wand" (Professor Maenos Buch) (https://www.amazon.co.jp/%E3%82%88%E3%). 81% 8F% E3% 82% 8F% E3% 81% 8B% E3% 82% 8B% E9% 87% 8F% E5% AD% 90% E5% 8A% 9B% E5% AD% A6-% E5% 89 % 8D% E9% 87% 8E-% E6% 98% 8C% E5% BC% 98 / dp / 4489020961) Ich denke, das ist richtig. Sicherlich ist es schwierig, sich an das Konzept der Quantenmechanik zu gewöhnen. Es ist eine Pause. Ich denke, es ist, als würde man viele Lehrbücher lesen und endlich verstehen. Dabei stört jedoch die "mathematische Wand". Dies ist für Anfänger sehr mühsam. In vielen Fällen wird mir das "Konzept" aus dem Kopf gesprengt, während ich versuche, über "Mathematik" hinauszugehen. Umgekehrt ist es wahnsinnig mühsam, wenn nur "Mathematik" oder "Konzept" verwendet wird. Nein [^ 1]. ** Darüber hinaus ist die Grundlage der Mathematik in der Quantenmechanik die lineare Algebra, wie sie in der Grundschule erlernt wurde. **

Wie diese einfache lineare Algebra zu dieser schrecklichen Berechnung wird, liegt daran, dass "** ich versuche, die Schrödinger-Gleichung analytisch zu lösen **". Aber diese Berechnung ist schließlich nicht das Wesen der Physik. Wichtig ist

Die von der Quantenmechanik behandelten Gleichungen sind "stationäre Schrödinger-Gleichung" und "zeitabhängige Schrödinger-Gleichung" [^ 2]
Ersteres ist eine "Eigenwertgleichung" und letzteres ist eine "lineare Differentialgleichung".

Wenn Sie wissen, dass es sich um eine "proprietäre Wertgleichung" und eine "lineare Differentialgleichung" handelt, müssen Sie nicht lernen, wie man sie löst (wenn es sich nicht um einen Test handelt). Es ist wichtiger, darüber nachzudenken. Wenn Sie die Physik verstehen und das Szenario verstehen, können Sie den Prozess der Mathematik verstehen.

Lassen Sie uns die Kraft von Python ausleihen, um diese Physik zu verstehen. "Elektrische Wertgleichung" und "Lineare Differentialgleichung" hängen nicht von der Form ab. Verwendet numpy (scipy) .linalg.eigh," lineare Differentialgleichung "verwendet scipy.integrate.odeint, scipy.fftpack.fft, ifft usw. "Wie kann dieses Problem analytisch gelöst werden? Lassen Sie es uns aufschieben. Lassen Sie es uns zuerst numerisch lösen und dann physisch darüber nachdenken.

Selbst wenn Sie Python nicht verstehen, denke ich, dass es in Ordnung ist, wenn Sie die C-Sprache angemessen verstehen. Über die numerische Berechnungsmethode in Python

Beschleunigung der numerischen Berechnung mit NumPy: Basics Beschleunigung der numerischen Berechnung mit NumPy / SciPy: Anwendung 1 Beschleunigung der numerischen Berechnung mit NumPy / SciPy: Anwendung 2

Wenn Sie sich solche Dinge ansehen, können Sie möglicherweise die Nuancen erfassen.

Wohin zielen?

Was ist die zu lösende Gleichung?
Versuchen Sie, durch numerische Berechnung zu lösen
Betrachten Sie den Wert / das Diagramm
Vergleich mit der analytischen Lösung

Ich werde in der Reihenfolge von fortfahren. Ich werde nicht so tief auf die Analysemethode eingehen. Bitte lesen Sie das Lehrbuch. ** Ich hoffe, dass die Quantenmechanik durch die Befürwortung einer bloßen linearen Algebra vorangebracht werden kann ** [^ 3].

Unendliches Bohrlochpotential

Betrachten Sie die Energie eines Teilchens, das in einem eindimensionalen Raum eingeschlossen ist. Was Sie lösen müssen, ist die stationäre Schrödinger-Gleichung, die Eigenwertgleichung:

H\psi_\ell(x) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\right)\psi_\ell(x) = E_\ell\psi_\ell(x)\\
V(x) = \begin{cases}
0 & 0 < x < L\\
\infty & otherwise
\end{cases}

Da $ x = 0 ist, hat L $ eine unendlich hohe Wand, das Teilchen ist ein System, das nur in $ 0 <x <L $ existieren kann. Bei $ 0 <x <L $ verhält es sich wie ein freies Teilchen. Das Potential ist wie folgt. Ne:

Wie auch immer, lassen Sie uns dies numerisch lösen.

Unterscheidung

(Details zur Differenzierung finden Sie in Beschleunigen der numerischen Berechnung mit NumPy / SciPy: Anwendung 1)

Stellen wir die Größe des Systems auf $ \ left [0, L \ right] $ ein. Außerhalb davon kann es keine Wellenfunktion geben.

H\psi = (K + V)\psi = \frac12
\begin{pmatrix}
\frac{2}{\Delta q^2} + V(0)&\frac{-1}{\Delta q^2}&0&\cdots&0\\ 
\frac{-1}{\Delta q^2}&\frac{2}{\Delta q^2} + V(\Delta q) &\frac{-1}{\Delta q^2}&&0\\
0 & \frac{-1}{\Delta q^2}&\frac{2}{\Delta q^2} + V(2\Delta q)&& \vdots\\
\vdots&&&\ddots&\frac{-1}{\Delta q^2}\\
0& \cdots& 0 &\frac{-1}{\Delta q^2}& \frac{2}{\Delta q^2} + V(L)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\psi_0\\
\psi_1\\
\vdots\\
\psi_{n-1}\\
\psi_n
\end{pmatrix} = E_\ell\psi

Sie können Eigenwerte und Eigenfunktionen erhalten, indem Sie dies auf "numpy.linalg.eigh" setzen.

Implementierung

import numpy as np
from scipy.integrate import simps
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn

## set parameters
L, N = 1, 200
x, dx = np.linspace(0, L, N), L / N

## set kinetic matrix
K = np.eye(N, N)
K_sub = np.vstack((K[1:], np.array([0] * N)))
K = dx**-2 * (2 * K - K_sub - K_sub.T)

V = np.diag([0] * N)

## set Hamiltonian
H = (K + V) / 2

## solve igenvalue equation
w, v = np.linalg.eigh(H)

## plot
plt.plot(x, v.T[0] / simps(v.T[0]**2, x)**0.5, label="ground state")
plt.plot(x, v.T[1] / simps(v.T[1]**2, x)**0.5, label="1st excited state")
plt.plot(x, v.T[2] / simps(v.T[2]**2, x)**0.5, label="2nd excited state")
plt.plot(x, 2 * np.sin(np.pi * x /L) / np.sqrt(2 * L), '--', label="analytic(ground)")
plt.plot(x, -2 * np.sin(2 * np.pi * x /L) / np.sqrt(2 * L), '--', label="analytic(1st)")
plt.plot(x, -2 * np.sin(3 * np.pi * x /L) / np.sqrt(2 * L), '--', label="analytic(2nd)")
plt.show()

** Wir werden die Eigenwertgleichung weiterhin auf fast die gleiche Weise wie oben lösen. Nur das Potential hängt vom System ab. ** $ m = \ hbar = L = 1 $, das dimensionslos ist, wird auf das Diagramm angewendet. Es ist zu der Zeit standardisiert.

Schauen wir uns auch den energiespezifischen Wert an

n = np.arange(1, 11)
plt.plot(w[:10], label='numerical')
plt.plot(n**2 * np.pi**2 / (2 * L**2), '--', label='analytic')
plt.show()

Ich habe sie mit einer Kurve verbunden, aber die horizontale Achse ist die Quantenzahl $ n $, also ein diskreter Graph. Wieder ** Ich habe differenziert, aber ich habe gerade die Hamiltonsche Eigenwertgleichung gelöst. ** Nur Es ist eine lineare Algebra.

Interpretation

Wenn man sich die Wellenfunktion als "Welle" vorstellt, welche Wellenfunktion und Energie ist zulässig, wenn der Hajiko fest ist (festes Ende)? Und ich habe das berechnet. Und die Energie wurde diskontinuierlich. Dies war eine der Eigenschaften der Quantenmechanik. [^ 4]. $ \ Psi $ als nur ein Teilchen (dh klassische Mechanik) betrachten. ) Es ist eine Schlussfolgerung, die niemals herauskommt.

Analytische Lösung

Die analytische Lösung der Wellenfunktion und der intrinsischen Energie


\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \hspace{1cm} E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}

Ich bin bereits in der obigen Grafik angekommen, aber die gestrichelte Linie ist die analytische Lösung. Sie passt sehr gut zusammen.

Um dies zu finden, setzen Sie die Randbedingung $ \ psi (0) = \ psi (L) = 0 $ und lösen Sie die Differentialgleichung. Dank dieser Randbedingung erscheint die Quantenzahl $ n $ und regt an. Der Zustand kann berücksichtigt werden. Der Grund, warum die Eigenwertgleichung durch die Differentialgleichung ersetzt wird, besteht darin, dass es schwierig ist, sie analytisch mit der Eigenwertgleichung zu lösen, wie sie ist [^ 5].

** Bitte denken Sie, dass dies die Wurzel der komplizierten Berechnung ist, die in Zukunft herauskommen wird. Es ist schwierig, die Eigenwertgleichung so wie sie ist analytisch zu lösen. Ersetzen Sie sie daher durch eine Differentialgleichung. Und sie ändert sich in schwierige Mathematik. * * *

Es gibt jedoch keine solche Schwierigkeit bei der numerischen Berechnung. Lösen Sie einfach das Eigenwertproblem. Das ist die ursprüngliche Form der Quantenmechanik [^ 6]. Ist es nicht einfach, das zu denken?

abschließend

Die mathematische Barriere in der Quantenmechanik ist auf die Bemühungen unserer Vorgänger zurückzuführen, die es geschafft haben, das Problem analytisch zu lösen. Die Berechnung kann jedoch anhand der Formeln erfolgen. "Ich möchte nur die Eigenwertgleichung lösen. Wenn Sie das verstehen, dann wissen Sie, dass Mathematik nicht die Essenz der Physik ist. Und Sie sollten versuchen, Mathematik als Mathematik zu verstehen. Also die "Wand der Konzepte" und die "mathematische Wand". Die "Wand" kann getrennt werden. Herzlichen Glückwunsch, aber fahren Sie als nächstes fort.

Blick in Python, keine beängstigende Quantenmechanik 2: endliches Well-Typ-Potenzial

[^ 1]: Ich denke, einige Leute denken, dass "Quantenmechanik nur durch die Verknüpfung von Mathematik und Konzepten verstanden werden kann!" Ich denke schon, aber beide gleichzeitig zu verstehen. Wird schwierig.

[^ 2]: "Es gibt auch eine Heisenberg-Gleichung" wird durchlaufen. Weil sie äquivalent ist.

[^ 3]: Einige Leute werden vielleicht wütend, aber ich würde mich freuen, wenn Sie es übersehen könnten.

[^ 4]: Die Energie wird diskret, wenn sie sich in einem eingeschränkten Zustand befindet, und es ist, als wäre sie kontinuierlich. Zum Beispiel ein einheitliches freies Teilchen.

[^ 5]: Einer der Gründe ist, dass die Matrix und der Operator unterschiedliche Konzepte sind. Die Eigenwertgleichung kann wie nur im harmonischen Oszillator gelöst werden.

[^ 6]: Ich respektiere analytische Berechnungen nicht. Numerische Berechnungen sind ohne analytische Berechnungen (einschließlich ungefährer Berechnungen) bedeutungslos.

Peeping in Python, keine beängstigende Quantenmechanik 1: Unendliches Potenzial vom Typ Well