Ziel

Ich denke, der Inhalt ist für diejenigen geeignet, die Quantenmechanik im Unterricht gelernt haben oder die sie selbst gelernt haben. Geht es um Studenten in Naturwissenschaften? Es ist besser, wenn Sie gerne programmieren! Es ist nichts für Leute, die die Quantenmechanik überhaupt nicht kennen, also keine Angst ...

Zusammenfassung

Blick in Python, keine beängstigende Quantenmechanik 1: Unendliches Well-Typ-Potenzial

Der unendliche Brunnen ist wie das Sehen einer stationären Welle mit festem Ende, was möglicherweise kein so seltsames Ergebnis war. Die Tatsache, dass die Energie quantisiert (diskret) wurde, ist jedoch lebendig. Es sollte sein.

Dieses Mal werden wir uns mit endlichen Brunnenhöhen befassen.

Begrenztes Bohrlochpotential

Auch hier ist die stetige Schrödinger-Gleichung (Eigenwertgleichung) zu lösen:

H\psi_\ell(x) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\right)\psi_\ell(x) = E_\ell\psi_\ell(x)\\
V(x) = \begin{cases}
0 & -\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2}\\
V_0 & otherwise
\end{cases}

$ - \ frac {L} {2} <x <\ frac {L} {2} $ scheint sich wie ein freies Teilchen zu verhalten. Das Potenzial hängt von der Höhe ab, aber ob die Energie des Ziels die Höhe der Wand ist Die allgemeine Weisheit in der klassischen Mechanik ist, dass man eine Wand nicht überqueren kann, wenn sie niedriger als die entsprechende Energie ist.

Diesmal ist $ V_0 = 150 $. Die Nichtdimensionalisierung ist $ m = \ hbar = L = 1 $.

Unterscheidung

Es ist fast das gleiche wie beim letzten Mal, also werde ich es weglassen. Nur die Definition des Potenzials ist anders.

Implementierung

Jetzt ist es Codierung. Dies ist auch eine Ablenkung der vorherigen.

import numpy as np
from scipy.integrate import simps, quad
import matplotlib.pyplot as plt

##Systemeinstellungen
L, N = 1, 400
x, dx = np.linspace(-L, L, N), 2 * L / N

##Festlegung der Übungsdauer
K = np.eye(N, N)
K_sub = np.vstack((K[1:], np.array([0] * N)))
K = dx**-2 * (2 * K - K_sub - K_sub.T)

##Festlegen der möglichen Laufzeit
V = np.diag([150] * (N // 4) + [0] * (N // 2) + [150] * (N // 4))

##Hamiltonsche Eigenwertgleichung
H = K / 2 + V
w, v = np.linalg.eigh(H)

##Drei Energieeigenwerte von unten
print(w[:3])

##Standardisierung analytischer Lösungen
A = 835.7
B = quad(lambda x: (A * np.exp(17.09 * x))**2, a = -np.inf, b=-L/2)[0]
B += quad(lambda x: (np.cos(2.815 * x))**2, a = -L/2, b = L/2)[0] 
B += quad(lambda x:(A * np.exp(-17.09 * x))**2, a = L/2, b = np.inf)[0]
B = B**0.5

##Handlung
plt.plot(x, np.abs(v.T[0] / simps(v.T[0]**2, x)**0.5), label="ground state")
plt.plot(x, v.T[1] / simps(v.T[1]**2, x)**0.5, label="1st excited state")
plt.plot(x, v.T[2] / simps(v.T[2]**2, x)**0.5, label="2nd excited state")
plt.plot(x, np.cos(2.815 * x) / B, '--', label="analytical : cos(kx)")
plt.plot(x, A * np.exp(-17.09 * x) / B, '--', label="analytical : exp(-kappa x)")
plt.plot(x, A * np.exp(17.09 * x) / B, '--', label="analytical : exp(kappa x)")
plt.show()

Ändern Sie für die numerische Berechnung nur das Potential ein wenig. $ A und B $ sind die Koeffizienten der analytischen Lösung. Sie werden später beschrieben.

Bei der Berechnung betragen die Eigenwerte $ E_0 = 3,96, E_1 = 15,7, E_2 = 35,3 $, und ** die Wellenfunktion sickert in die Wand ein, obwohl ihre Energie deutlich unter dem Potential liegt. Dies ist der sogenannte Tunneleffekt. **

Erwägung

Wenn man sich die Grafik ansieht, scheint es, dass der höher angeregte Zustand mehr ausstrahlt, aber wenn wir die Exsudation der Wellenfunktion als Tatsache akzeptieren, ist dies ein natürliches Ergebnis.

Der Grund, warum die Wellenfunktion ausstrahlt, ist, dass die unsichere Beziehung [^ 1] $ \ Delta x \ Delta p \ geq \ frac {\ hbar} {2} $ den Impuls $ p $ und damit die Bewegungsenergie verursacht Mit anderen Worten, wenn der Betrag des Impulses beobachtet wird, schwankt er um den erwarteten Wert $ \ angle p \ rangle $ um etwa $ \ Delta p $, und der Betrag des Impulses ist größer als das Ergebnis $ \ angle p \ rangle $. Es kann [^ 2] haben. Dies zeigt die Möglichkeit, das Potential des Bohrlochs zu überschreiten.

Wenn Sie fragen "Können Sie eine Schwankung haben, die größer als $ \ Delta p $ ist", ist dies möglich. $ \ Delta x $ ist $ x $ -Display, $ \ Delta p $ ist $ p $ -Display. Sie entspricht der Breite des Wellenflusses der Wellenfunktion, und es besteht eine geringe Wahrscheinlichkeit, dass diese Breite überschritten wird. Daher sollte sie $ \ frac {(p + \ Delta p) ^ 2} {2m} $ überschreiten. Selbst wenn Sie einen guten Brunnen vorbereiten, tritt ein Versickern auf.

Es ist ein wenig verwirrend. Ich denke, dies ist die "Wand der Konzepte".

Analytische Lösung

Separates Dämpfungsteil außen am Brunnen und freies Teil innen

\psi(x) = \begin{cases}
Ae^{\kappa x} & x < -\frac{L}{2}\\
\cos(kx)\ \ \ {\rm or}\ \ \sin(kx) & -\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2}\\
Ae^{-\kappa x} & \frac{L}{2} < x
\end{cases}

Dieses Mal ignoriere ich die Standardisierung. Dieses Mal betrachten wir die Basis $ \ cos (kx) $. Die Verbindungsbedingung [^ 3] bei diesen $ x = -L / 2, L / 2 $ Durch Auferlegen

\kappa = k\tan\frac{k}{2}, \hspace{1cm} k^2 + \kappa^2 = 2V_0 = 300

$ K, \ kappa $ und $ A $ sind fest. Dies wird dank $ \ tan (k / 2) $ zu einer transzendentalen Gleichung und kann nicht analytisch gelöst werden. Wenn Sie das Standardisierungsproblem weiter lösen, sieht es wie die gestrichelte Linie in der obigen Abbildung aus. Der Definitionsbereich der gestrichelten Linie wird absichtlich auf den gesamten Bereich festgelegt. Sie können sehen, dass es reibungslos verbunden ist.

Ich möchte nur die Eigenwertgleichung lösen, aber sie ist ziemlich kompliziert.

Was ist der verstreute Zustand?

Dieses Mal habe ich mich nur mit dem gebundenen Zustand befasst. Der gestreute Zustand ist nicht sehr kompatibel mit numerischen Berechnungen, da er eine Randbedingung hat, die die Wellenfunktion zu einer ebenen Welle im Unendlichen macht. Wenn Sie damit umgehen, behandelt er einen sehr großen Raum. Sie müssen nur einen Teil davon vorbereiten und sehen. ** Der gestreute Zustand ist in erster Linie nicht L2 (Hilbert-Raum). ** Dies kann verwendet werden, wenn das Verhältnis der Wellenfunktionen diskutiert wird, sondern in Bezug auf die stochastische Interpretation Zusätzlich zu der verdächtigen Diskussion ** bin ich mit der Divergenz physikalischer Größen konfrontiert, die der Quantentheorie eigen ist [^ 4]. ** Wenn Sie versuchen, $ \ Delta x $ zu berechnen [^ 5].

Bonus: Wolfram Alpha

Ich habe eine Gleichung gefunden, die nicht analytisch gelöst werden kann. Wenn es sich um eine numerische Lösung handelt, ist es eine gute Idee, sie in die Dichotomie oder die Newton-Methode zu werfen, diesmal jedoch in Wolfram Alpha. Überlassen wir es mir. Er ist der Sohn von Mathematica:

Guter Platz

Kostenlos zu benutzen

Außerdem ist es möglich, ähnlich wie in Mathematica zu berechnen. Eine etwas schwere Berechnung bleibt in der Standardberechnungszeit hängen, ist aber praktisch genug. Die Pro-Version hat wahrscheinlich keine zeitliche Begrenzung. Die monatliche Menge ist ebenfalls vernünftig Ich denke, es war ein guter Preis.

Sie können es entsprechend schreiben

Es funktioniert wie Tex, Python oder Mathematica (Wolfram-Sprache). Das ist erstaunlich. Das obige Beispiel hat keinen sehr einheitlichen Schreibstil. Hmm.

Wenn es nicht analytisch gelöst werden kann, wird es numerisch gelöst.

SymPy führt auch die Analyseberechnung durch. Wenn sie jedoch nicht wie dieses Mal analytisch gelöst werden kann, wird ein Fehler zurückgegeben. Andererseits gibt Wolfram Alpha eine numerische Lösung an. Außerdem wird auch ein Diagramm ausgegeben.

Persönlich möchte ich, dass SymPy sein Bestes gibt, aber im Moment bin ich der Meinung, dass Wolfram Alpha zu gut ist, um mithalten zu können. Wenn Sie befürchten, dass Mathematica zu teuer ist, verwenden Sie es bitte. ist.

[^ 1]: Wird oft als "Unsicherheitsprinzip" bezeichnet, das sich aus der kanonischen Austauschbeziehung $ [x, p] = i \ hbar $ ableitet und nicht sehr geeignet ist, es als Prinzip zu bezeichnen. Ich denke.

[^ 2]: Natürlich kann es klein sein.

[^ 3]: Differenzierbar bei $ x = -L / 2, L / 2 $. Mit anderen Worten, kontinuierlich und glatt.

[^ 4]: In der Feldquantentheorie tritt diese Art von Divergenzproblem überall in Form von "ultravioletter Divergenz" auf. Um dies zu vermeiden, wurde eine Übertragungstheorie geboren.

[^ 5]: Wenn die Wellenfunktion eine ebene Welle ist, ist $ \ Delta p = 0 $. Dies zeigt an, dass die ebene Welle ein Eigenzustand des Impulses ist. Da der Impuls fest ist, ist die Fluktuation der Position natürlich divergent. Ich werde.

Peeping in Python, keine gruselige Quantenmechanik 2: endliches Potential vom Typ Well