Mathematik studieren mit Python: Lösen einfacher Wahrscheinlichkeitsprobleme
Wahrscheinlichkeit
Es gibt ein Problem, das nicht mit Python zusammenhängt. Stellen Sie die Einstellungen so ein, dass Sie mit dem Computer zufrieden sind und lösen.
(Q1)
Der Spieler zog eine der 52 Spielkarten ohne den Joker heraus und legte sie verdeckt ab. Als der Händler zufällig 3 Blätter vom verbleibenden Stapel auswählte und sie nach vorne drehte, waren sie alle Diamanten.
- Eine Person vom Hersteller des Trump kam und sagte mir, dass der Trump, den ich jetzt benutze, ein defektes Produkt mit einem Duplikat A des Diamanten anstelle des A des Herzens ist. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte, die Sie extrahiert haben, ein Diamant ist.
- Als zusätzliche Information wurde festgestellt, dass der Händler eine Waffe angebracht und absichtlich nur den Diamanten extrahiert hatte. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte, die Sie extrahiert haben, ein Diamant ist.
(Lösung)
- Bedingtes Wahrscheinlichkeitsproblem.
P_0 = sym.Rational(1, 4)
P_0dia = sym.Rational(13*12*11, 51*50*49)
P_dia = sym.Rational(14*13*12, 52*51*50)
P_0 * P_0dia / P_dia
-
\frac{7}{26}
(Q2)
Es gibt eine Lotterie mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von $ p $. Wenn alle Menschen auf der Erde einmal viel ziehen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, alle zu verlieren, 0,5 oder mehr Wie viel muss $ p $ sein? Die Bevölkerung der Erde beträgt 7,2 Milliarden.
(Lösung) Ungefähr mit Poisson-Verteilung.
N = 7200000000
F = sym.exp(-p*N) - 0.5
sym.solve([F], [p])
Wenn Sie so viel versuchen, beträgt die Normalverteilung übrigens etwa das 7-fache der Standardabweichung. In der Pareto-Verteilung ist es nicht verwunderlich, dass Werte auftreten, die mehr als 100 Millionen Mal voneinander entfernt sind.
(Q3)
- Das Glas enthält 12 rote und 8 schwarze Kugeln. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie 2 rote Bälle haben, wenn Sie 3 Bälle herausnehmen.
- Versuchen Sie, $ 3 \ cdot 10 ^ {24} $ rote Kugeln und $ 2 \ cdot 10 ^ {24} $ schwarze Kugeln herauszunehmen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der herausgenommenen roten Kugeln $ 2 \ cdot 10 ^ {24} $ beträgt.
- Wenn Sie (2) versuchen, sei $ x $ der absolute Wert der Differenz zwischen der Anzahl der herausgenommenen roten Kugeln und $ 2 \ cdot 10 ^ {24} $. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis kleiner als $ x $ ist, $ P_x $ ist, wie viel ist $ x $ für $ P_x> 0,5 $?
(Lösung)
- Dies wird als hypergeometrische Verteilung bezeichnet.
import sympy as sym
A = sym.functions.combinatorial.numbers.nC(12, 2)
B = sym.functions.combinatorial.numbers.nC(8, 1)
C = sym.functions.combinatorial.numbers.nC(20, 3)
A*B/C
- Die Nummer nahe der Avocadro-Nummer wurde eingestellt. Probleme aus der statistischen Dynamik.
Aus der Definition der supergeometrischen Verteilung
$ \begin{eqnarray} P &=& \frac{C(4 \cdot 10^{24}, 2 \cdot 10^{24}) \cdot C(2 \cdot 10^{24}, 10^{24})}{C(6 \cdot 10^{24}, 3 \cdot 10^{24})} \\\\ &=& \frac{(4 \cdot 10^{24})!{(3 \cdot 10^{24})!}^2}{(6 \cdot 10^{24})!(2 \cdot 10^{24})!{(10^{24})!}^2} \end{eqnarray} $ Verwenden Sie die Näherung von $ \ log (n!) \ Eqsim n \ log n -n + \ frac {1} {2} \ cdot \ log (2 \ pi n) $.
log_n = n * sym.log(n) - n + sym.log(2 * Pi * n) / 2
A1 = log_n.subs([(n, 4*10**24)])
A2 = log_n.subs([(n, 3*10**24)])
B1 = log_n.subs([(n, 6*10**24)])
B2 = log_n.subs([(n, 2*10**24)])
B3 = log_n.subs([(n, 1*10**24)])
Log_P = A1 + 2 * A2 - B1 - B2 - 2 * B3
sym.N(Log_P, 10)
(Q4)
Stellen Sie sich einen zufälligen Gang vor, der vom zentralen gelben Teil des Dreiecksgitters in der Abbildung ausgeht und sich jede Sekunde mit gleicher Wahrscheinlichkeit zum benachbarten Gitter bewegt. Sei $ P_t $ die Wahrscheinlichkeit, nach $ t $ Sekunden in der Mitte zu sein.
- Suchen Sie $ P_ {10} $.
- Suchen Sie $ \ lim_ {n \ to \ infty} P_n $.
(Lösung)
- Aus Symmetriegründen beträgt die Wahrscheinlichkeit, an jedem Punkt in Abstand 1 zu sein, $ Q_t $ und die Wahrscheinlichkeit, an jedem Punkt in Abstand 2 zu sein, $ R_t
. $ P_t+6Q_t+3R_t=1$$
N = 1
P = 0
Q = sym.Rational(1, 6)
R = 0
Pn = sym.Rational(3, 2) * q
Qn = p/6 + q/2 + r/2
Rn = q/2
while N < 10:
N += 1
Ptemp = Pn.subs([(q, Q)])
Qtemp = Qn.subs([(p, P), (q, Q), (r, R)])
Rtemp = Rn.subs([(q, Q)])
P = Ptemp
Q = Qtemp
R = Rtemp
print(N)
print(P)
print(Q)
print(R)
F1 = sym.Rational(3, 2) * q - p
F2 = p/6 + q/2 + r/2 - q
F3 = q/2 - r
Ft = p + 6*q + 3*r - 1
sym.solve([F1, F2, F3, Ft], [p, q, r])
(Q5)
Angenommen, es werden $ n $ einheitliche Zufallszahlen im Bereich von 0 bis 65535 generiert.
- Ermitteln Sie den Wert von $ n $ mit einer Wahrscheinlichkeit, dass dieselbe Zufallszahl größer als 0,5 ist.
- Ermitteln Sie den Wert von $ n $, der mit einer Wahrscheinlichkeit 3 oder mehr der gleichen Zufallszahlen enthält, die 0,5 überschreiten.
(Lösung)
- Es ist ein Geburtstagsangriff.
def birthday(N, K):
return sym.functions.combinatorial.numbers.nP(N, K)/N**K
N = 65536
K = 255 #Sie können von der Quadratwurzel ausgehen
P = 0.0
while P <= 0.5:
K += 1
P = 1 - birthday(N, K)
print(K)
sym.N(P, 10)
Der Grenzteil von $ K / 2 $ hat keine große Wirkung. Fügen Sie ihn hinzu, ohne sich darum zu kümmern.
def birthday2(N, K, P1):
return (sym.functions.combinatorial.numbers.nP(N,K) + P1) / N**K
def P1(N,K,X):
return sym.functions.combinatorial.numbers.nC(N-X,X)*sym.functions.combinatorial.numbers.nP(N,K-X)
N = 65536
K = 300
P = 0.0
while P <= 0.5:
K += 1
L = 1
SUM = 0
while L <= K/2:
SUM += P1(N, K, L)
L += 1
P = 1 - birthday2(N, K, SUM)
print(K)
sym.N(P, 10)
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