Récemment, j'ai vu une réclamation semblable à un titre sur Twitter. Au fond, une telle affirmation est douteuse, mais aussi dans l'article du Japan Exchange Group (https://www.jpx.co.jp/equities/products/etfs/etf-outline/04-04.html). Il y avait une affirmation similaire, et j'ai pensé qu'elle pourrait être crédible dans une certaine mesure. Le but de cet article est d'examiner cette affirmation du point de vue de l'ingénierie financière. Par conséquent, veuillez noter qu'il a un fort aspect mathématique et ne convient pas pour faire de l'argent. De plus, étant donné que l'auteur étudie l'ingénierie financière, veuillez signaler toute insuffisance.

Qu'est-ce qu'une fiducie de placement à effet de levier?

L'article ci-dessus sera utile pour comprendre les fiducies d'investissement à effet de levier. En termes simples, l'indice de levier ($ r $ fois) est un indice qui donne un rendement obtenu en multipliant le taux de fluctuation quotidien (rendement) par le rapport de $ r $ fois. Par exemple, si TOPIX passe de 100 points à 110 points (+ 10% de fluctuation), l'indice de levier TOPIX (double) fluctuera de + 20%. Par conséquent, s'il est possible de viser un rendement plus élevé que d'investir dans l'indice sous-jacent (TOPIX dans ce cas), il existe un risque car le même effet de levier fonctionne pour les fluctuations négatives.

La revendication du titre est expliquée dans l'article ci-dessus, comme indiqué dans l'image ci-dessous. En effet, dans ce cas, nous pouvons voir que la performance à effet de levier diminue. 日本取引所.jpg Cependant, même après avoir reçu cette explication, j'ai eu les plaintes suivantes.

Il est peut-être arrivé que les performances aient diminué car il n'y avait qu'un seul chemin d'échantillonnage
Il n'y a aucune description de la drastique de la fluctuation de l'indice sous-jacent pour réduire la performance.

Dans cet article, nous visons à y apporter des réponses.

Modélisation mathématique

Je voudrais modéliser le phénomène ci-dessus par le mouvement géométrique marron souvent utilisé en ingénierie financière. Il est généralement connu que les indicateurs financiers tels que TOPIX peuvent être modélisés par le mouvement géométrique marron suivant:

dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t

Cependant, $ S_t $ est un indice financier, $ \ mu $ est le taux de rendement attendu, $ \ sigma $ est le taux de volatilité et $ dW_t $ est l'incrément du mouvement de Brown. En gros, $ dW_t $ est un nombre aléatoire qui suit $ dW_t \ sim \ mathcal {N} (0, \ sqrt {dt}) $ (voir les manuels d'ingénierie financière pour la description exacte). ). Le moyen le plus simple de disperser cette équation différentielle stochastique serait: $ S_n = (1 + \mu \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \xi_n )S_{n-1} $ Cependant, $ S_n $ est un index au temps $ n $, $ \ Delta t $ est un pas de temps discret et $ \ xi_n $ est un nombre aléatoire qui suit une distribution normale standard. Ici, nous considérerons environ un an comme échelle de temps et traiterons le temps d'environ un jour comme le pas de temps $ \ Delta t $. En d'autres termes, il s'agit de $ \ Delta t \ simeq 1/360 . À ce stade, si la fluctuation de l'indice de levier ( r $ fois) est $ R_t , elle peut être modélisée à partir de la définition comme suit: $ R_n = (1 + r \mu \Delta t + r \sigma \sqrt{\Delta t} \xi_n) R_{n-1} $$ Par cette modélisation, nous pouvons confirmer que le rendement quotidien est certainement multiplié par $ r $. Notez également que cela revient à multiplier le taux de retour attendu de $ \ mu $ et le taux de volatilité de $ \ sigma $ par $ r $, respectivement. Évidemment, $ r = 1 $ correspond à l'indice sous-jacent.

Notez également qu'une solution analytique est requise pour l'indice sous-jacent: $ S_t = S_0 \exp [ (\mu - \sigma^2/2) t + \sigma W_t] $ La distribution de probabilité $ p (S) $ suit une distribution normale logarithmique comme suit: $ p(S) = \dfrac{S_0}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 t} S} \exp \left[ -\dfrac{1}{2\sigma^2 t} (\log S/S_0 - (\mu - \sigma^2/2)t )^2 \right] $

Confirmation par simulation

Une simulation simple a été réalisée avec jupyter pour confirmer certains paramètres. Comme condition de la simulation, la valeur initiale est $ S_0 = 100 $, le taux de profit attendu est $ \ mu = 1.0 $, la simulation est effectuée 8000 $ fois sous la condition fixe et la valeur de $ \ sigma $ est modifiée. Veuillez vous référer au code pour plus de détails. Une solution analytique (distribution normale logique) est également présentée pour confirmer les résultats. prob_density(sigma=0.50).jpg prob_density(sigma=0.60).jpg prob_density(sigma=0.80).jpg Comme il ressort clairement de la figure, à mesure que le taux de fluctuation $ \ sigma $ augmente, la distribution de probabilité du $ R $ à effet de levier se déplace vers la gauche, c'est-à-dire que les performances se détériorent. Par conséquent, ** j'ai pu confirmer l'affirmation selon laquelle le type d'effet de levier est désavantageux dans un marché volatil **. Je vais également montrer le code pour le moment. La partie tracé du graphique n'est pas essentielle et sera omise.

`Code de simulation`


mu = 1.0 #Taux de retour attendu
sigma = 0.8 #Taux de changement
T = 1.0 # 1 year
days = 365 # 1 day
dt = 1.0 / days #Taille de pas

S0 = 100.0 #Conditions initiales
num_sample = 8000 #Nombre de chemins d'échantillonnage
S_data = np.zeros(num_sample) #Données intrinsèques
R_data = np.zeros(num_sample) #Indice de type de levier(r fois)données de
r = 2.0 #Combien de fois le type d'effet de levier

for i in range(num_sample):
    S = S0
    R = S0 #Les conditions initiales sont remplies
    for d in range(days):
        xi = np.random.randn()
        S = S*(1.0 + mu*dt + sigma*xi*np.sqrt(dt))
        R = R*(1.0 + r*(mu*dt + sigma*xi*np.sqrt(dt)))
    S_data[i] = S
    R_data[i] = R

def lognormal(S, S0, mu, sigma, T):
    return np.exp(-((np.log(S/S0) - (mu-0.5*sigma*sigma)*T)**2.0) / (2.0*sigma*sigma*T) ) / (np.sqrt(2.0*np.pi*sigma*sigma*T)*S)
pdf_S = lognormal(S_grid, S0, mu, sigma, T)
pdf_R = lognormal(S_grid, S0, mu*r, sigma*r, T)

Conditions pour qu'une fiducie d'investissement à effet de levier soit «désavantageuse»

Des deux premières questions, l'une (c'est-à-dire la confirmation pour de nombreux exemples de chemins) a été obtenue, mais l'autre (c'est-à-dire la condition selon laquelle le type d'effet de levier est «désavantageux») n'est pas connue en détail. Par conséquent, nous définissons qu'une fiducie d'investissement à effet de levier est «désavantageuse» comme suit: ** Un indicateur d'effet de levier ($ r $ fois) est «désavantageux» si vous maintenez l'indicateur jusqu'au moment $ T $, la probabilité que la valeur soit inférieure à l'indicateur d'origine $ p $ dépasse 1/2 $. C'est ce que cela signifie. ** (Cette définition n'est peut-être pas assez bonne. Je voudrais savoir s'il existe une meilleure façon de la définir.)

On constate maintenant que l'équation différentielle de probabilité de l'effet de levier (indice multiple $ r $) doit être multipliée par $ r $ chacun du taux de profit attendu $ \ mu $ et du taux de fluctuation $ \ sigma $ dans l'équation différentielle de probabilité de l'indice d'origine. Il est. De plus, comme une solution analytique est requise pour l'équation différentielle stochastique de l'indice d'origine, le type d'effet de levier est défini pour chaque valeur de $ r $ dans le plan risque / retour (c'est-à-dire le plan des paramètres $ \ mu $ et $ \ sigma ). Vous pouvez trouver des zones «désavantageuses». Sur la base de ce qui précède, la figure ci-dessous montre la ligne de démarcation où la probabilité que la valeur du type de levier ( r $ fois l'indice) soit inférieure à l'indice d'origine est de 1/2 $ au moment $ T $.

A partir de ce chiffre, il peut être confirmé que lorsque le taux de profit attendu $ \ mu $ est constant et que le taux de fluctuation $ \ sigma $ devient grand, il devient «désavantageux». De plus, nous pouvons voir que la tendance devient plus prononcée à mesure que $ r $ augmente. En d'autres termes, il peut être confirmé que la zone dans laquelle les fiducies de placement à effet de levier sont «désavantageuses» (la zone où $ p> 1/2 $ est) s'étendra. D'après ce qui précède, il a été confirmé que ** les fiducies de placement à effet de levier sont «désavantageuses» dans un marché volatil **. Notons en particulier que ** nous avons pu déterminer les «avantages / inconvénients» en fonction des conditions de marché $ \ mu $ et $ \ sigma $ **. La «théorie» de la figure a été calculée comme suit. Semblable à la solution analytique de l'indicateur sous-jacent $ S_t , l'indicateur à effet de levier ( r $ fois) peut également être considéré comme une solution analytique: $ R_t = S_0 \exp [ (r \mu - r^2 \sigma^2 /2) t + r \sigma W_t ] $ En comparant les coefficients $ t $ de la partie exponentielle avec $ S_t $ et $ R_t , les conditions dans lesquelles ils sont égaux sont les suivantes: $ \mu = \dfrac{1}{2}(1+r) \sigma^2 $$ Le tracé de ceci pour chaque valeur de $ r $ est la «théorie» de la figure. Le graphique montre que cela explique très bien la limite $ p = 1/2 $, mais nous ne savons toujours pas pourquoi cela l'explique. Je suis désolé pour le code. La partie qui produit le graphique est omise.

import numpy as np
from scipy.stats import lognorm
import matplotlib.pyplot as plt

S0 = 100
T = 1.0 # 1 year
r1 = 2.0
r2 = 4.0
num_sample = 2000

num_grid_param = 200
mu_start = 0.0
mu_end = 6.0
mu_list = np.linspace(mu_start, mu_end, num_grid_param)
sigma_start = 0.01
sigma_end = 2.0
sigma_list = np.linspace(sigma_start, sigma_end, num_grid_param)

params_critical1 = []
params_critical2 = []

def calc_params_critical(r):
    params_critical = []
    for sigma in sigma_list:
        print("sigma = {:.3f}".format(sigma), end = "\r")
        for mu in mu_list:
            B = np.random.randn(num_sample)*np.sqrt(T)
            S = S0*np.exp((mu-sigma*sigma*0.5)*T + sigma*B)

            mu_r, sigma_r = r*mu, r*sigma
            R = S0*np.exp((mu_r-sigma_r*sigma_r*0.5)*T + sigma_r*B)
            prob = sum(R < S) / num_sample #Probabilité de performances de levier médiocres

            if mu == mu_start:
                prob_old = prob
            else:
                if (prob-0.5)*(prob_old-0.5) < 0.0:
                    params_critical.append([sigma,mu])
                prob_old = prob
    params_critical = np.array(params_critical)
    return params_critical

params_critical1 = calc_params_critical(r1)
params_critical2 = calc_params_critical(r2)

Résumé et attention

Avec une modélisation simple, nous avons vérifié l'affirmation selon laquelle «les fiducies de placement à effet de levier sont désavantageuses dans un marché volatil». En conséquence, il a été confirmé que l'allégation était correcte selon cette modélisation. De plus, en définissant de manière appropriée «désavantage», il est possible de déterminer quantitativement «avantage / désavantage» pour chaque valeur du taux de profit attendu $ \ mu $ et du taux de fluctuation $ \ sigma $, qui représentent les conditions du marché. C'est fait. En particulier, il a été confirmé que le domaine du «désavantage» se développe à mesure que le ratio de levier $ r $ augmente. Ceci est considéré comme justifiant la réclamation au début. De plus, en comparant la partie exponentielle de la solution analytique, la solution analytique de la ligne frontière $ p = 1/2 $ a été obtenue.

Notez que l'analyse ci-dessus concerne une approche mathématique. Il peut être plus intéressant de trouver $ \ mu, \ sigma $ à partir de la distribution des rendements quotidiens, mais cela ne m'intéresse pas beaucoup, donc je n'y toucherai pas. En outre, il peut être intéressant de vérifier en utilisant des données TOPIX réelles, mais c'est gênant, donc je le ferai si j'en ai envie.

[PYTHON] L'ingénierie financière a vérifié l'affirmation selon laquelle «les fiducies de placement à effet de levier sont désavantageuses dans un marché volatil»