Même si un nombre complexe est inclus dans les composants de la matrice de représentation des nombres complexes, il ne devient pas une matrice de représentation quaternaire. Cependant, il devrait avoir une forme similaire, nous allons donc l'utiliser comme indice pour explorer la matrice de représentation des nombres quaternaires. J'évoque également le fait que les perspectives peuvent être améliorées en incorporant le double nombre quaternaire. Un calcul par SymPy est joint.
Ceci est une série d'articles.
Cet article contient des articles connexes.
Dans Article précédent, j'ai trouvé la matrice de représentation des nombres bicomplexes.
\begin{align}
&a+bi+cj+dk \\
&=(a+bi)+(c+di)j \\
&↦\left(\begin{matrix}a+bi & -(c+di) \\ c+di & a+bi\end{matrix}\right) \\
&=a \underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
+b \underbrace{\left(\begin{matrix} i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{i}
+c \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
+d \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\ i& 0 \end{matrix}\right)}_{ij=k}
\end{align}
Considérant une matrice de représentation quaternaire en référence à cette structure.
Dans les nombres quaternaires, $ i, j, k $ sont tous au carré de $ -1 $.
i^2=j^2=k^2=-1
Pour les nombres bicomplexes, $ k ^ 2 = 1 $, ce qui est différent des nombres quaternaires. Cependant, puisque la relation de $ ij = k $ est commune aux quadruples, n'est-il pas possible de l'amener à $ k ^ 2 = -1 $ en modifiant les définitions de $ i $ et $ j $?
Puisque $ j $ est hérité de la matrice de représentation des nombres complexes, il est pratique de l'utiliser pour les nombres quaternaires. Laissez $ j $ tel quel et laissez les composantes de $ i $ inconnues $ x, y, z, w $. Préparez-vous au calcul avec SymPy.
>>> from sympy import *
>>> x,y,z,w=symbols("x y z w")
>>> i=Matrix([[x,y],[z,w]])
>>> j=Matrix([[0,-1],[1,0]])
\begin{align}
i&↦\left(\begin{matrix} x& z \\ y& w \end{matrix}\right) \\
j&↦\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)
\end{align}
À partir de $ i ^ 2 = -1, \ k = ij, \ k ^ 2 = -1 $
>>> i**2
Matrix([
[x**2 + y*z, w*y + x*y],
[ w*z + x*z, w**2 + y*z]])
>>> k=i*j
>>> k
Matrix([
[y, -x],
[w, -z]])
>>> k**2
Matrix([
[-w*x + y**2, -x*y + x*z],
[ w*y - w*z, -w*x + z**2]])
\begin{align}
i^2&↦\left(\begin{matrix} x& y \\ z& w \end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix} x^2+yz & wy+xy \\ wz+xz & w^2+yz \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right) \\
k^2&↦\left(\begin{matrix} y & -x \\ w & -z \end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix} -wx+y^2 & -xy+xz \\ wy-wz & -wx+z^2 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right)
\end{align}
Organisez la relation en comparant les ingrédients.
x^2+yz=w^2+yz=y^2-xw=z^2-xw=-1 \\
y(x+w)=z(x+w)=x(y-z)=w(y-z)=0
La solution n'est pas unique, mais les relations qui doivent être rencontrées sont connues.
x=-w,\ y=z,\ x^2+y^2=-1
Puisque la forme la plus simple possible est souhaitable, nous nous limiterons à la solution avec deux $ 0 $.
\begin{align}
(1)&\ x=0\ ⇒\ w=0,\ y^2=-1,\ y=z \\
(2)&\ y=0\ ⇒\ z=0,\ x^2=-1,\ x=-w
\end{align}
Si vous l'écrivez sous une forme concrète, vous avez les quatre choix suivants.
\left(\begin{matrix} x & z \\ y & w \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} 0 & ±i \\ ±i & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} ±i & 0 \\ 0 & ∓i \end{matrix}\right)\ (Plusieurs numéros dans le même ordre)
Le reste est une question de décision. Ici, il est basé sur la forme obtenue en multipliant par $ i $ et en supprimant les nombres imaginaires.
i\left(\begin{matrix} 0 & ±i \\ ±i & 0 \end{matrix}\right),
i\left(\begin{matrix} ±i & 0 \\ 0 & ∓i \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} 0 & ∓1 \\ ∓1 & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} ∓1 & 0 \\ 0 & ±1 \end{matrix}\right)\ (Plusieurs numéros dans le même ordre)
Des quatre formes sur le côté droit, la plus simple est probablement la forme suivante sans signe moins. Il s'agit d'une image miroir inversée (non transposée) de la matrice unitaire de haut en bas (ou gauche et droite).
i\left(\begin{matrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
Déterminez la matrice de représentation de $ i $ à partir du côté gauche.
i↦\left(\begin{matrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{matrix}\right)
Si vous décidez $ i $, $ k $ sera décidé automatiquement. ʻI` est le $ i $ imaginaire défini dans SymPy.
>>> i=Matrix([[0,-I],[-I,0]])
>>> j=Matrix([[0,-1],[1,0]])
>>> k=i*j
>>> k
Matrix([
[-I, 0],
[ 0, I]])
k=ij
↦\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)
Nous avons maintenant une matrice de représentation quaternaire. Le résumé est le suivant.
\begin{align}
&a+bi+cj+dk \\
&↦a \underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
+b \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)}_{i}
+c \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
+d \underbrace{\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{k} \\
&=\left(\begin{matrix}a-di & -(c+bi) \\ c-bi & a+di\end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix}(a+di)^* & -(c+bi) \\ (c+bi)^* & a+di\end{matrix}\right)
\end{align}
Ce n'est pas très soigné, mais la raison de le faire devient claire lorsque vous regardez les nombres quaternaires décrits plus tard.
Il est bon de savoir que des conjugués complexes apparaissent dans les composants de la matrice de représentation et que l'expression matricielle devient le carré de la norme.
\begin{align}
&\det\left(\begin{matrix}(a+di)^* & -(c+bi) \\ (c+bi)^* & a+di\end{matrix}\right) \\
&=(a+di)^*(a+di)+(c+bi)^*(c+bi) \\
&=a^2+b^2+c^2+d^2 \\
&=||a+bi+cj+dk||^2
\end{align}
Assurez-vous que les règles arithmétiques quadruples sont respectées.
Vérifiez le carré d'origine.
>>> i**2
Matrix([
[-1, 0],
[ 0, -1]])
>>> j**2
Matrix([
[-1, 0],
[ 0, -1]])
>>> k**2
Matrix([
[-1, 0],
[ 0, -1]])
\begin{align}
i^2
&↦\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix}-1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right) \\
j^2
&↦\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix}-1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right) \\
k^2
&↦\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix}-1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)
\end{align}
Il est devenu $ i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = -1 $.
Dans le nombre quaternaire, la relation entre le facteur original et le produit apparaît cycliquement ($ i → j → k → i → j → \ cdots $).
ij=k,\ jk=i,\ ki=j
Vérifiez la patrouille.
>>> i*j
Matrix([
[-I, 0],
[ 0, I]])
>>> j*k
Matrix([
[ 0, -I],
[-I, 0]])
>>> k*i
Matrix([
[0, -1],
[1, 0]])
>>> i*j==k
True
>>> j*k==i
True
>>> k*i==j
True
L'élément du nombre quaternaire a la propriété que le signe est inversé lorsque l'ordre des produits est modifié, ce qui est appelé anti-échangeabilité.
ij=-ji,\ jk=-kj,\ ki=-ik
La relation entre $ ij = k $ et $ k ^ 2 = -1 $ peut également être expliquée par l'anti-échangeabilité. Parce que le facteur ne peut pas bouger librement en raison de l'anti-échangeabilité, il ne peut pas être $ -1 $ à moins que des éléments adjacents ne soient échangés et que les mêmes éléments soient adjacents.
k^2=(ij)^2=i\underbrace{(ji)}_{Échange}j=-i(ij)j=-\underbrace{(ii)}_{-1}\underbrace{(jj)}_{-1}=-1
Vérifiez l'anti-échangeabilité.
>>> j*i
Matrix([
[I, 0],
[0, -I]])
>>> k*j
Matrix([
[0, I],
[I, 0]])
>>> i*k
Matrix([
[ 0, 1],
[-1, 0]])
>>> i*j==-j*i
True
>>> j*k==-k*j
True
>>> k*i==-i*k
True
(i+2j)(3j+4k)=3ij+4ik+6jj+8jk=-6+8i-4j+3k \\
(3j+4k)(i+2j)=3ji+4ki+6jj+8kj=-6-8i+4j-3k \\
∴(i+2j)(3j+4k)≠-(3j+4k)(i+2j)
La quadruple conjugaison est obtenue à partir de la conjugaison Elmeet de la matrice de représentation.
\begin{align}
(a+bi+cj+dk)^*
↦&\left(\begin{matrix}(a+di)^* & -(c+bi) \\ (c+bi)^* & a+di\end{matrix}\right)^{\dagger} \\
=&\left(\begin{matrix}a+di & -(c+bi)^* \\ c+bi & (a+di)^*\end{matrix}\right)^{\top} \\
=&\left(\begin{matrix}a+di & c+bi \\ -(c+bi)^* & (a+di)^*\end{matrix}\right) \\
=&\left(\begin{matrix}(a-di)^* & c+bi \\ -(c+bi)^* & a-di\end{matrix}\right) \\
↦&(a-dk)-(cj+bi) \\
=&a-bi-cj-dk
\end{align}
Tous les signes de la partie imaginaire sont inversés.
La matrice de représentation de $ i, j, k $ adoptée cette fois a été choisie en fonction des critères suivants.
i,j,k↦
\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)
$ I $ en tant qu'élément d'un nombre quaternaire et $ i $ en tant que composant contenu dans la matrice de représentation sont différents. Dans la notation originale, le nombre imaginaire à multiplier par le composant s'écrit $ h $ pour la distinction.
\begin{align}
hi,hj,hk
&↦\underbrace{i}_{h}\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)}_{i},
\underbrace{i}_{h}\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j},
\underbrace{i}_{h}\underbrace{\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{k} \\
&=\left(\begin{matrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0&-i \\ i& 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)
\end{align}
Si vous ajoutez $ h $ au nombre quaternaire en tant qu'élément, vous obtenez un nombre étendu de nombres quaternaires appelés nombres quaternaires doubles.
\begin{align}
&(a_0+a_1i+a_2j+a_3k)+(a_4+a_5i+a_6j+a_7k)h \\
&=a_0+a_1i+a_2j+a_3k+a_4h+a_5hi+a_6hj+a_7hk
\end{align}
Passer d'un quadruple à un quadruple est la même technique que s'étendre d'un complexe à un bicomplex. ([Méthode de construction de Cary-Dixon](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%BC%EF%BC % 9D% E3% 83% 87% E3% 82% A3% E3% 82% AF% E3% 82% BD% E3% 83% B3% E3% 81% AE% E6% A7% 8B% E6% 88% 90 % E6% B3% 95)))
[Nombre bi-complexe]\ (a_0+a_1i)+(a_2+a_3i)j=a_0+a_1i+a_2j+a_3k
Si $ h $ est représenté par une matrice, ce sera une matrice obtenue en multipliant la matrice unitaire par $ i $.
h↦iI
=i\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)
= \left(\begin{matrix} i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)
Puisque la matrice unitaire est échangée avec d'autres matrices, $ h $ n'est pas soumis à une anti-échangeabilité en nombres quaternaires binaires.
[Nombre des deux quarts]\ hi=ih,\ hj=jh,\ hk=kh
Tout comme un bicomplexe est différent d'un quaternaire, un quaternaire dual est différent d'un huit. Huit éléments traitent $ h $ sur la même ligne que les autres éléments et sont anti-échangeables.
[Huit yuans]\ hi=-ih,\ hj=-jh,\ hk=-kh
Vérifiez la matrice de représentation du nombre quaternaire.
\begin{align}
&a_0+a_1i+a_2j+a_3k+a_4h+a_5hi+a_6hj+a_7hk \\
&↦a_0\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
+a_1\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)}_{i}
+a_2\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
+a_3\underbrace{\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{k} \\
&\quad
+a_4\underbrace{\left(\begin{matrix} i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{h}
+a_5\underbrace{\left(\begin{matrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{hi}
+a_6\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\ i& 0 \end{matrix}\right)}_{hj}
+a_7\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)}_{hk} \\
&=\left(\begin{matrix} a_0-a_3i+a_4i+a_7 & -a_1i-a_2+a_5-a_6i \\ -a_1i+a_2+a_5+a_6i & a_0+a_3i+a_4i-a_7 \end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix} (a_0+a_7)-(a_3-a_4)i & -\{(a_2-a_5)+(a_1+a_6)i\} \\ (a_2+a_5)-(a_1-a_6)i & (a_0-a_7)+(a_3+a_4)i \end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix} \{(a_0+a_7)+(a_3-a_4)i\}^* & -\{(a_2-a_5)+(a_1+a_6)i\} \\ \{(a_2+a_5)+(a_1-a_6)i\}^* & (a_0-a_7)+(a_3+a_4)i \end{matrix}\right)
\end{align}
\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
\xrightarrow{retourner à l'envers}
\underbrace{\left(\begin{matrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{hi} \\
\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
\xrightarrow{retourner à l'envers}
\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)}_{hk}
C'est enfin devenu clair à ce stade, mais je réfléchissais aux critères de détermination de la matrice de représentation des nombres quaternaires, y compris même des quadruples.
Python
Construisez une matrice de représentation quaternaire binaire en Python. Créez un autre élément à partir de la matrice unitaire et de $ j $.
>>> from sympy import *
>>> _1=eye(2)
>>> j=Matrix([[0,-1],[1,0]])
>>> hi=_1[[1,0],:]
>>> hk=j[[1,0],:]
>>> h=I*_1
>>> hj=I*j
>>> i=-I*hi
>>> k=-I*hk
>>> a=symbols("a0:8")
>>> a
(a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7)
>>> A=a[0]*_1+a[1]*i+a[2]*j+a[3]*k+a[4]*h+a[5]*hi+a[6]*hj+a[7]*hk
>>> A
Matrix([
[ a0 - I*a3 + I*a4 + a7, -I*a1 - a2 + a5 - I*a6],
[-I*a1 + a2 + a5 + I*a6, a0 + I*a3 + I*a4 - a7]])
A=\left(\begin{matrix} a_0-a_3i+a_4i+a_7 & -a_1i-a_2+a_5-a_6i \\ -a_1i+a_2+a_5+a_6i & a_0+a_3i+a_4i-a_7 \end{matrix}\right)
La matrice d'expression du nombre quaternaire a des composants compliqués. Pour séparer les coefficients quaternaires binaires des composants de la matrice de représentation, utilisez une combinaison de signes inversés.
>>> (A[0,0]+A[1,1])/2
a0 + I*a4
>>> (A[0,0]-A[1,1])/2
-I*a3 + a7
>>> (A[1,0]+A[0,1])/2
-I*a1 + a5
>>> (A[1,0]-A[0,1])/2
a2 + I*a6
\begin{align}
\frac{1}{2}(A_{00}+A_{11})&=a_0+a_4i \\
\frac{1}{2}(A_{00}-A_{11})&=a_7-a_3i \\
\frac{1}{2}(A_{10}+A_{01})&=a_5-a_1i \\
\frac{1}{2}(A_{10}-A_{01})&=a_2+a_6i
\end{align}
Laisse moi te donner un exemple.
>>> B=A.subs([(a[i], i+1) for i in range(8)])
>>> B
Matrix([
[ 9 + I, 3 - 9*I],
[9 + 5*I, -7 + 9*I]])
>>> b=[0]*8
>>> b[0],b[4]=((B[0,0]+B[1,1])/2).as_real_imag()
>>> b[7],b[3]=((B[0,0]-B[1,1])/2).conjugate().as_real_imag()
>>> b[5],b[1]=((B[1,0]+B[0,1])/2).conjugate().as_real_imag()
>>> b[2],b[6]=((B[1,0]-B[0,1])/2).as_real_imag()
>>> b
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
\left(\begin{matrix} 9+i & 3-9i \\ 9+5i & -7+9i \end{matrix}\right) \\
↦1+2i+3j+4k+5h+6hi+7hj+8hk
Un coup d'œil sur la matrice de représentation ne révèle pas les coefficients des éléments quaternaires, mais ils sont correctement séparés.
Matrice de représentation de $ hi, hj, hk $ [matrice Pauri](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%A6%E3%83%AA%E8%A1 Il s'appelle% 8C% E5% 88% 97).
σ_1,σ_2,σ_3:=
\underbrace{\left(\begin{matrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{hi},
\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\ i& 0 \end{matrix}\right)}_{hj},
\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)}_{hk}
À partir de la matrice de Pauli, vous pouvez construire des nombres quaternaires plus intelligemment. Selon lui, $ hi, hj, hk $ peuvent être interprétés comme plus fondamentaux que $ i, j, k $. Pour plus de détails, reportez-vous à la suite Pauli Matrix and Bi-Quaternary Numbers in Clifford Algebra.
Cette fois, je me concentrerai uniquement sur la matrice de représentation des nombres quaternaires. Pour les autres propriétés, veuillez vous référer aux articles suivants.
Veuillez vous référer aux articles suivants pour une autre matrice de représentation des nombres quaternaires et octogonaux.
Je l'ai utilisé comme référence pour SymPy.
Nous avons résumé les variations de Multiple.
| De base | Alors | Type démonté | Type démontéAlors | Alors曲 | Alors対 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre complexe | 双Nombrecomplexe | 分解型Nombrecomplexe | |||
| Quadruple | 双Quadruple | 分解型Quadruple | 分解型双Quadruple | 双曲Quadruple | 双対Quadruple |
| Huit yuans | 双Huityuans | 分解型Huityuans | |||
| 16 yuans |
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