[Python] J'ai essayé de reproduire la bataille entre Lion et Gazel avec une formule super cool appelée équation Rotoka-Volterra.
Équation de Rotka-Volterra
Eh bien, une équation avec un nom comme cette pensée de deuxième élève. ** Cool transcendantal. ** ** Cette fois, je voudrais jouer avec cette équation avec le calcul numérique (python). Le contenu de l'équation elle-même ressemble à ceci.
\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy \\
\frac{dy}{dt}=\gamma x-\delta xy
C'est une formule assez bâclée, mais c'est une ** formule qui exprime la relation entre la prédation et la proie **. Soyez assuré que ce n'est pas si difficile car c'est un clinquant! !! Cette fois, je vais le lire dans le décor africain de ** Lion vs. Gazelle **.
Comprendre les formules
Il y a beaucoup de personnages, mais je vais les expliquer un par un.
Définition des variables / constantes
variable
$ x $: Nombre de prédateurs (nombre de gazelle), $ y $: Nombre de prédateurs (nombre de lions)
constant
$ \ alpha $: Taux de natalité côté proie, $ \ beta $: Taux de prédation côté proie, $ \ gamma $: Taux de natalité côté proie, $ \ delta $: Taux de mortalité côté proie
(Sur le plan académique, certaines parties sont précises, mais nous insistons sur la clarté)
Je suis sûr qu'il y a des gens qui ont ??? dans leur cerveau, mais soyez patient, comme nous l'expliquerons dans la section suivante.
Implications pour les expressions
C'est l'endroit le plus intéressant! !! Regardons la formule originale tout en regardant la signification des caractères définis ci-dessus.
\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy~~~~(1) \\
\frac{dy}{dt}=\gamma xy-\delta y~~~~(2)
Tout d'abord, pensons à (1).
\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy~~~~(1)
Le côté gauche représente le taux de changement au fil du temps de $ x $, c'est-à-dire ** combien la gazelle augmente **. Alors, que peut-on considérer comme une augmentation ou une diminution de la gazelle? Oui, ** naissance ** et ** décès **, n'est-ce pas? La naissance correspond à $ \ alpha x $ au premier terme et la mort correspond à $ \ beta xy
Pensons à la même chose dans l'équation (2).
\frac{dy}{dt}=\gamma xy-\delta y~~~~(2)
Puisque le côté gauche est le taux de changement d'heure de $ y
Essayez de calculer numériquement
J'espère que vous avez approfondi votre compréhension de Gazel et Lion dans la section précédente et compris la formule. Cependant, comme les équations différentielles ne peuvent pas être traitées directement par un ordinateur, cette fois nous utiliserons la ** méthode des différences ** pour le calcul. Supposons que $ x, y $ au temps $ n $ soit représenté par $ x_ {n}, y_ {n} $. C'est
\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy~~~~(1) \\
\frac{dy}{dt}=\gamma xy-\delta y~~~~(2)
Quand c'est différencié, ça ressemble à ça,
\frac{x_{n+1}-x_{n}}{\Delta t}=\alpha x_{n}-\beta x_{n}y_{n}~~~~(1) \\
\frac{y_{n+1}-y_{n}}{\Delta t}=\gamma x_{n}y_{n}-\delta y_{n}~~~~(2)
Résolution des valeurs inconnues $ x_ {n + 1}, y_ {n + 1} $ à la prochaine fois $ n + 1 $
x_{n+1}=(\alpha -\beta y_{n})x_{n}\Delta t + x_{n}~~~~(1) \\
y_{n+1}=(\gamma x_{n} -\delta)y_{n}\Delta t + x_{n}~~~~(2)
Sera. La valeur du côté droit étant constituée de valeurs connues (valeur de la constante ou du temps n), le côté gauche peut être obtenu simplement en effectuant un calcul de substitution.
Code source
Cette fois, je l'ai écrit en python. Vous pouvez modifier la valeur de la constante à votre guise.
Lotka-Volterra.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#coefficient
a, b, c, d = 0.3, 0.1, 0.3, 1.3
#valeur initiale
init_x = 10
init_y = 2
#Progression du temps
dt = 0.01
n = 5000
#Initialisation de la baie
x = np.zeros(n)
x[0] = init_x
y = np.zeros(n)
y[0] = init_y
for i in range(1, n):
x[i] = (a - b * y[i - 1]) * x[i - 1] * dt + x[i - 1]
y[i] = (c * x[i - 1] - d) * y[i - 1] * dt + y[i - 1]
print(i, x[i], y[i])
t = np.arange(0, n * dt, dt)
plt.plot(t, x, label="Prey")
plt.plot(t, y, label="Predator")
plt.legend()
plt.show()
résultat
Le résultat devrait ressembler à la figure ci-dessous.
Considération
C'est intéressant que le résultat vibre. Si vous le considérez par ordre chronologique,
- Le nombre de lions (jaune) augmente et le nombre de gazelle (bleu) diminue.
- L'augmentation des lions s'arrête et commence à diminuer, et la gazelle augmente en conséquence.
- Le nombre de gazels augmentera, mais après un certain temps, le nombre de lions augmentera et le nombre de gazels diminuera.
- Répétez ceci
Il est devenu.
1. Le nombre de lions (jaune) augmente et le nombre de gazelle (bleu) diminue.
Eh bien, c'est vrai. Si le nombre de lions augmente, la gazelle sera mangée et diminuera.
2. L'augmentation des lions s'arrête et commence à diminuer, et la gazelle augmente en conséquence.
À cause d'un trop grand nombre de lions ** à court de nourriture et qui commencent à mourir de faim ** (je ressens quelque chose comme un indice ...). Et à la suite de la diminution des lions, Gazel reprend son élan et commence à augmenter.
3. Le nombre de gazels augmentera, mais après un certain temps, le nombre de lions augmentera et le nombre de gazels diminuera.
À mesure que le nombre de gazelles augmente, il devient ** le paradis ** pour Lion. Et la gazelle diminuera
4. Répétez ceci
Oui, ce monde tourne pour toujours dans ce cycle. Cela me fait me sentir étrange.
Résumé
Cette fois, j'ai utilisé une équation sympa juste nommée ** Equation Rotka-Volterra ** pour effectuer des calculs numériques sur l'écosystème du lion et de la gazelle. Je serais heureux si quelqu'un trouve ça intéressant! J'espère que tu aimes! !!
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