Round-Robin

Zuallererst ist es ein Round-Robin mit Hirntod. Die folgende Schleife wird gebildet.

from math import factorial

for a in range(1,100):
    for b in range(1,a):
        for c in range(1,100):
            if (a-b)%c != 0:
                continue
            d = int((a-b)/c)
            if a - b/c == factorial(d):
                print("{}-{}/{}={}!".format(a,b,c,d))

Ausgabe.

2-1/1=1!
3-1/1=2!
3-2/1=1!
4-2/1=2!
4-3/1=1!
5-3/1=2!
5-4/1=1!
...

Wenn $ c = 1 $ ist, haben sowohl $ a-b / c $ als auch $ (a-b) / c $ den gleichen Wert. Wenn $ d = 1,2 $ ist, dann ist $ d! = D $, sodass Sie sehen können, dass es das Thema für jedes $ a, b = a-1 oder a-2 $ erfüllt. …… Aber das ist nicht die Absicht dieses Tonchi.

Round-Robin 2

Machen Sie die Bedingungen etwas strenger. Respektieren Sie das Thema und machen Sie es zu $ c \ geq 2, d \ geq 3 $.

from math import factorial

for a in range(1,1000):
    for b in range(1,a):
        for c in range(2,1000):
            if (a-b)%c != 0:
                continue
            d = int((a-b)/c)
            if d <= 2:
                continue
            if a - b/c == factorial(d):
                print("{}-{}/{}={}!".format(a,b,c,d))

Ausgabe.

25-5/5=4!
30-18/3=4!
40-32/2=4!
138-108/6=5!
230-220/2=5!
721-103/103=6!
728-416/52=6!
...

Es wird mehr wie Tonchi. Wahrscheinlich endlos, aber nicht bewiesen. Auf den ersten Blick frage ich mich, ob es Fälle gibt, in denen ** $ 3! $ Die Antwort ist **. Da der Rechenaufwand gestiegen ist, möchte ich auch einen Algorithmus, der $ a, b, c, d $ in kürzerer Zeit generiert.

Mathematische Überlegung

a-b/c = d!

Dies kann eine Matrix wie diese sein:

\begin{pmatrix}
c & -1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}
=
c
\begin{pmatrix}
d! \\
d
\end{pmatrix}

Ich werde es lösen.

\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}
=
c
\begin{pmatrix}
c & -1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}^{-1}
\times
\begin{pmatrix}
d! \\
d
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}
=
c
\cdot
\frac{1}{-c+1}
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
-1 & c
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
d! \\
d
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}
=
\frac{c}{1-c}
\begin{pmatrix}
-d! + d \\
-d! + cd
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}
=
\frac{c}{c-1}
\begin{pmatrix}
d!-d \\
d!-cd
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}
=
\frac{cd}{c-1}
\begin{pmatrix}
(d-1)!-1 \\
(d-1)!-c
\end{pmatrix}

Von diesen ist die Bedingung des Subjekts eine Kombination von $ c und d $, so dass $ a und b $ ganze Zahlen sind.

Wenn d = 3

Betrachten Sie den Fall von $ d = 3 . Zu diesem Zeitpunkt lautet die Bedingung $ a = \ frac {3c} {c-1} $ $ b = \ frac {3c} {c-1} (2! -C) $, aber $ c \ Aus geq 2 $ können wir erkennen, dass $ b $ keine positive ganze Zahl sein kann. Daher ist es unwahrscheinlich, dass $ d = 3 $ das Thema erfüllt.

Einfache allgemeine Lösung

Wenn Sie möchten, dass $ \ frac {cd} {c-1} $ eine Ganzzahl für ein $ d $ ist, wissen Sie, dass mindestens $ c = d + 1 $ diese ausfüllt. Wenn Sie also c korrigieren, lautet die Bedingung $ a = (d + 1) \ Bigl \\ {(d-1)! -1 \ Bigr \\} $ $ b = (d + 1) \ Bigl \\ {(d-1)! - D-1 \ Bigr \\} $.

Da d jede ganze Zahl größer oder gleich 4 annehmen kann, haben wir gezeigt, dass es unzählige $ a, b, c, d $ gibt, die das Subjekt erfüllen.

Lassen Sie sie uns übrigens programmatisch auflisten.

from math import factorial

for d in range(4,100):
    c = d+1
    a = c*(factorial(d-1)-1)
    b = c*(factorial(d-1)-c)
    print("{}-{}/{}={}!".format(a,b,c,d))

Ausgabe

25-5/5=4!
138-108/6=5!
833-791/7=6!
5752-5696/8=7!
45351-45279/9=8!
403190-403100/10=9!
3991669-3991559/11=10!
43545588-43545456/12=11!
518918387-518918231/13=12!
6706022386-6706022204/14=13!
93405311985-93405311775/15=14!
1394852659184-1394852658944/16=15!
22230464255983-22230464255711/17=16!
376610217983982-376610217983676/18=17!
6758061133823981-6758061133823639/19=18!
128047474114559980-128047474114559600/20=19!
2554547108585471979-2554547108585471559/21=20!
...

Der Berechnungsbetrag hat sich ebenfalls von $ O (n ^ 3) $ zu $ O (n) $ geändert und kann mit hoher Geschwindigkeit generiert werden. Ich bin glücklich.

Einfache allgemeine Lösung 2

In ähnlicher Weise ist $ \ frac {cd} {c-1} $ für $ c = 2 $ immer eine ganze Zahl. $ a = 2d \ Bigl \\ {(d-1)! -1 \ Bigr \\} $ $ b = 2d \ Bigl \\ {(d-1)! - 2 \ Bigr \\} $

40-32/2=4!
230-220/2=5!
1428-1416/2=6!
10066-10052/2=7!
80624-80608/2=8!
725742-725724/2=9!
7257580-7257560/2=10!
...

Allgemeinere Lösung unbekannt

Für ein $ d $ hat $ c $ eine Untergrenze von 2 und eine Obergrenze von $ (d-1)! -1 $. (Wenn $ c = (d-1)! $, $ B = 0 $, kurz bevor c erhöht werden kann. Tatsächlich ist $ b = 0 $ ungeeignet, also $ (d-1) -1 Sie können bis zu $) nachschlagen

Von diesen gibt $ c = 2 oder d + 1 $ ganze Zahlen $ a, b $ für jedes $ d $ zurück, so dass es mit hoher Geschwindigkeit berechnet werden kann. Es kann jedoch nicht gesagt werden, dass andere Zahlen definitiv ganze Zahlen sein werden, so dass diese Verallgemeinerung wahrscheinlich weitere Überlegungen erfordert.

[PYTHON] So etwas wie 40-32 / 2 = 4!