[PYTHON] Financial Engineering bestätigte die Behauptung, dass "Leveraged Investment Trusts in einem volatilen Markt nachteilig sind".

Kürzlich habe ich auf Twitter eine titelähnliche Behauptung gesehen. Grundsätzlich ist eine solche Behauptung zweifelhaft, aber auch im Artikel der Japan Exchange Group (https://www.jpx.co.jp/equities/products/etfs/etf-outline/04-04.html). Es gab eine ähnliche Behauptung, und ich dachte, dass sie bis zu einem gewissen Grad glaubwürdig sein könnte. Der Zweck dieses Artikels besteht darin, diese Behauptung aus finanztechnischer Sicht zu untersuchen. Bitte beachten Sie daher, dass es einen starken mathematischen Aspekt hat und nicht zum eigentlichen Geldverdienen geeignet ist. Da der Autor Finanzingenieurwesen studiert, weisen Sie bitte auf Unzulänglichkeiten hin.

Was ist ein Leveraged Investment Trust?

Der obige Artikel ist hilfreich für das Verständnis von Leveraged Investment Trusts. Einfach ausgedrückt ist der Leverage-Index ($ r $ mal) ein Index, der eine Rendite liefert, die durch Multiplikation der täglichen Fluktuationsrate (Rendite) mit dem Verhältnis von $ r $ mal erzielt wird. Wenn TOPIX beispielsweise von 100 auf 110 Punkte steigt (+ 10% Schwankung), schwankt der TOPIX-Hebelindex (doppelt) um + 20%. Während es möglich ist, eine höhere Rendite als eine Investition in den zugrunde liegenden Index (in diesem Fall TOPIX) anzustreben, besteht daher ein Risiko, da der gleiche Hebeleffekt für negative Schwankungen wirkt.

Der Titelanspruch wird im obigen Artikel erläutert, wie im Bild unten gezeigt. In diesem Fall können wir tatsächlich feststellen, dass die gehebelte Leistung abnimmt. Selbst nachdem ich diese Erklärung erhalten hatte, hatte ich die folgenden Beschwerden.

• Vielleicht ist es einfach passiert, dass die Leistung abgenommen hat, weil es nur einen Beispielpfad gab
• Es gibt keine Beschreibung darüber, wie drastisch die Schwankung des zugrunde liegenden Index ist, um die Performance zu verringern.

In diesem Artikel möchten wir Antworten auf diese Fragen geben.

Mathematische Modellierung

Ich möchte das obige Phänomen anhand der geometrischen Braunbewegung modellieren, die im Finanzingenieurwesen häufig verwendet wird. Es ist allgemein bekannt, dass Finanzindikatoren wie TOPIX durch die folgende geometrische braune Bewegung modelliert werden können:

$ S_t $ ist jedoch ein Finanzindex, $ \ mu $ ist die erwartete Rendite, $ \ sigma $ ist die Volatilitätsrate und $ dW_t $ ist das Inkrement der Brown-Bewegung. Grob gesagt ist $ dW_t $ eine Zufallszahl, die auf $ dW_t \ sim \ mathcal {N} (0, \ sqrt {dt}) $ folgt (die genaue Beschreibung finden Sie in den Lehrbüchern für Finanzingenieurwesen). ). Der einfachste Weg, diese stochastische Differentialgleichung zu zerstreuen, wäre: $ S_n = (1 + \mu \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \xi_n )S_{n-1} $ $ S_n $ ist jedoch ein Index zum Zeitpunkt $ n $, $ \ Delta t $ ist ein diskreter Zeitschritt und $ \ xi_n $ ist eine Zufallszahl, die einer Standardnormalverteilung folgt. Hier betrachten wir ungefähr ein Jahr als Zeitskala und behandeln die Zeit von ungefähr einem Tag als Zeitschritt $ \ Delta t $. Mit anderen Worten, es geht um $ \ Delta t \ simeq 1/360 . Wenn zu diesem Zeitpunkt die Schwankung des Leverage-Index ( r $ times) $ R_t $ beträgt, kann er aus der Definition wie folgt modelliert werden: $ R_n = (1 + r \mu \Delta t + r \sigma \sqrt{\Delta t} \xi_n) R_{n-1} $ Durch diese Modellierung können wir bestätigen, dass die tägliche Rendite sicherlich mit $ r $ multipliziert wird. Beachten Sie auch, dass es ähnlich ist, die erwartete Rendite von $ \ mu $ und die Volatilitätsrate von $ \ sigma $ mit $ r $ zu multiplizieren. Offensichtlich entspricht $ r = 1 $ dem zugrunde liegenden Index.

Beachten Sie auch, dass für den zugrunde liegenden Index eine analytische Lösung erforderlich ist: $ S_t = S_0 \exp [ (\mu - \sigma^2/2) t + \sigma W_t] $ Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $ p (S) $ folgt einer logarithmischen Normalverteilung wie folgt: $ p(S) = \dfrac{S_0}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 t} S} \exp \left[ -\dfrac{1}{2\sigma^2 t} (\log S/S_0 - (\mu - \sigma^2/2)t )^2 \right] $

Bestätigung durch Simulation

Mit jupyter wurde eine einfache Simulation durchgeführt, um einige Parameter zu bestätigen. Als Bedingung für die Simulation ist der Anfangswert $ S_0 = 100 $, die erwartete Gewinnrate ist $ \ mu = 1,0 $, die Simulation wird $ 8000 $ mal unter der festen Bedingung durchgeführt und der Wert von $ \ sigma $ wird geändert. Einzelheiten entnehmen Sie bitte dem Code. Eine analytische Lösung (logische Normalverteilung) wird ebenfalls gezeigt, um die Ergebnisse zu bestätigen. Wie aus der Abbildung hervorgeht, verschiebt sich mit zunehmender Fluktuationsrate $ \ sigma $ die Wahrscheinlichkeitsverteilung des gehebelten $ R $ nach links, dh die Leistung verschlechtert sich. Daher konnte ich die Behauptung bestätigen, dass die Hebelwirkung in einem volatilen Markt nachteilig ist. Ich werde den Code vorerst auch zeigen. Der Plotteil des Diagramms ist nicht wesentlich und wird weggelassen.

Code für die Simulation

mu = 1.0 #Erwartete Rücklaufquote
sigma = 0.8 #Änderungsrate
T = 1.0 # 1 year
days = 365 # 1 day
dt = 1.0 / days #Schrittlänge

S0 = 100.0 #Anfangsbedingungen
num_sample = 8000 #Anzahl der Beispielpfade
S_data = np.zeros(num_sample) #Eigendaten
R_data = np.zeros(num_sample) #Typindex nutzen(r mal)Daten von
r = 2.0 #Wie oft die Hebelwirkung

for i in range(num_sample):
    S = S0
    R = S0 #Die Anfangsbedingungen sind erfüllt
    for d in range(days):
        xi = np.random.randn()
        S = S*(1.0 + mu*dt + sigma*xi*np.sqrt(dt))
        R = R*(1.0 + r*(mu*dt + sigma*xi*np.sqrt(dt)))
    S_data[i] = S
    R_data[i] = R

def lognormal(S, S0, mu, sigma, T):
    return np.exp(-((np.log(S/S0) - (mu-0.5*sigma*sigma)*T)**2.0) / (2.0*sigma*sigma*T) ) / (np.sqrt(2.0*np.pi*sigma*sigma*T)*S)
pdf_S = lognormal(S_grid, S0, mu, sigma, T)
pdf_R = lognormal(S_grid, S0, mu*r, sigma*r, T)

Die Bedingungen für ein Leveraged Investment Trust müssen "nachteilig" sein.

Von den ersten beiden Fragen wurde eine (dh Bestätigung für viele Stichprobenpfade) erreicht, die andere (dh die Bedingung, dass der Hebeltyp "nachteilig" ist) ist nicht gut verstanden. Daher definieren wir einen Leveraged Investment Trust wie folgt als "nachteilig": ** Ein Leverage-Indikator ($ r $ times) ist "nachteilig", wenn Sie den Indikator bis zum Zeitpunkt $ T $ halten. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert kleiner als der ursprüngliche Indikator $ p $ ist, übersteigt $ 1/2 $. Das ist was es bedeutet. ** (Diese Definition ist möglicherweise nicht gut genug. Ich würde gerne wissen, ob es einen besseren Weg gibt, sie zu definieren.)

Nun wird festgestellt, dass die Wahrscheinlichkeitsdifferentialgleichung der Hebelwirkung ($ r $ multipler Index) mit $ r $ jeder der erwarteten Gewinnraten $ \ mu $ und der Fluktuationsrate $ \ sigma $ in der Wahrscheinlichkeitsdifferentialgleichung des ursprünglichen Index multipliziert werden sollte. Es ist. Da für die stochastische Differentialgleichung des ursprünglichen Index eine analytische Lösung erforderlich ist, wird außerdem der Hebeleffekt für jeden Wert von $ r $ in der Risiko-Rendite-Ebene (dh der Ebene der Parameter $ \ mu $ und $ \ sigma ) festgelegt. Sie können Bereiche finden, die "nachteilig" sind. Basierend auf dem Obigen zeigt die folgende Abbildung die Grenzlinie, an der die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert des Hebel-Typs ( r $ mal Index) kleiner als der ursprüngliche Index ist, zum Zeitpunkt $ T $ $ 1/2 $ beträgt.

Aus dieser Zahl kann bestätigt werden, dass wenn die erwartete Gewinnrate $ \ mu $ konstant ist und die Fluktuationsrate $ \ sigma $ groß wird, sie "nachteilig" wird. Darüber hinaus können wir sehen, dass die Tendenz mit zunehmendem $ r $ stärker wird. Mit anderen Worten kann bestätigt werden, dass sich der Bereich, in dem Leveraged Investment Trusts "nachteilig" sind (der Bereich, in dem $ p> 1/2 $ ist), erweitern wird. Aus dem oben Gesagten wurde bestätigt, dass ** Leveraged Investment Trusts in einem volatilen Markt "nachteilig" sind **. Beachten Sie insbesondere, dass ** wir "Vor- / Nachteile" anhand der Marktbedingungen $ \ mu $ und $ \ sigma $ ** ermitteln konnten. Die "Theorie" in der Figur wurde wie folgt berechnet. Ähnlich wie bei der analytischen Lösung des zugrunde liegenden Indikators $ S_t $ kann auch der Leveraged-Indikator ($ r $ times) als analytische Lösung angesehen werden: $ R_t = S_0 \exp [ (r \mu - r^2 \sigma^2 /2) t + r \sigma W_t ] $ Beim Vergleich der $ t $ -Koeffizienten des Exponentialteils mit $ S_t $ und $ R_t $ sind die Bedingungen, unter denen sie gleich sind, wie folgt: $ \mu = \dfrac{1}{2}(1+r) \sigma^2 $ Die Darstellung davon für jeden Wert von $ r $ ist die "Theorie" in der Figur. Die Grafik zeigt, dass dies die Grenze von $ p = 1/2 $ sehr gut erklärt, aber wir wissen immer noch nicht, warum dies dies erklärt. Der Code tut mir leid. Der Teil, der das Diagramm ausgibt, wird weggelassen.

import numpy as np
from scipy.stats import lognorm
import matplotlib.pyplot as plt

S0 = 100
T = 1.0 # 1 year
r1 = 2.0
r2 = 4.0
num_sample = 2000

num_grid_param = 200
mu_start = 0.0
mu_end = 6.0
mu_list = np.linspace(mu_start, mu_end, num_grid_param)
sigma_start = 0.01
sigma_end = 2.0
sigma_list = np.linspace(sigma_start, sigma_end, num_grid_param)

params_critical1 = []
params_critical2 = []

def calc_params_critical(r):
    params_critical = []
    for sigma in sigma_list:
        print("sigma = {:.3f}".format(sigma), end = "\r")
        for mu in mu_list:
            B = np.random.randn(num_sample)*np.sqrt(T)
            S = S0*np.exp((mu-sigma*sigma*0.5)*T + sigma*B)

            mu_r, sigma_r = r*mu, r*sigma
            R = S0*np.exp((mu_r-sigma_r*sigma_r*0.5)*T + sigma_r*B)
            prob = sum(R < S) / num_sample #Wahrscheinlichkeit einer schlechten Hebelleistung

            if mu == mu_start:
                prob_old = prob
            else:
                if (prob-0.5)*(prob_old-0.5) < 0.0:
                    params_critical.append([sigma,mu])
                prob_old = prob
    params_critical = np.array(params_critical)
    return params_critical

params_critical1 = calc_params_critical(r1)
params_critical2 = calc_params_critical(r2)

Zusammenfassung und Aufmerksamkeit

Mit einer einfachen Modellierung haben wir die Behauptung bestätigt, dass "Leveraged Investment Trusts in einem volatilen Markt nachteilig sind". Als Ergebnis wurde bestätigt, dass die Behauptung unter dieser Modellierung korrekt war. Durch geeignete Definition von "Nachteil" ist es außerdem möglich, "Vorteil / Nachteil" für jeden Wert der erwarteten Gewinnrate $ \ mu $ und der Fluktuationsrate $ \ sigma $, die die Marktbedingungen darstellen, quantitativ zu bestimmen. Es ist fertig. Insbesondere wurde bestätigt, dass sich der Bereich "Nachteil" mit zunehmender Leverage Ratio $ r $ erweitert. Dies wird als Rechtfertigung für den Anspruch zu Beginn angesehen. Weiterhin wurde durch Vergleichen des exponentiellen Teils der analytischen Lösung die analytische Lösung der Grenzlinie $ p = 1/2 $ erhalten.

Beachten Sie, dass es bei der obigen Analyse nur um einen mathematischen Ansatz geht. Es mag interessanter sein, $ \ mu, \ sigma $ aus der Verteilung der täglichen Renditen zu finden, aber ich bin nicht sehr daran interessiert, also werde ich es nicht anfassen. Es mag auch interessant sein, die Verwendung der tatsächlichen TOPIX-Daten zu überprüfen, aber es ist problematisch, also werde ich es tun, wenn ich Lust dazu habe.