Selbst wenn eine komplexe Zahl in den Komponenten der komplexen Zahlendarstellungsmatrix enthalten ist, wird sie nicht zu einer quaternären Darstellungsmatrix. Es wird jedoch erwartet, dass es eine ähnliche Form hat, daher werden wir dies als Hinweis verwenden, um die Repräsentationsmatrix von quaternären Zahlen zu untersuchen. Ich spreche auch die Tatsache an, dass der Ausblick durch Einbeziehung der doppelten quaternären Zahl verbessert werden kann. Eine Berechnung von SymPy ist beigefügt.
Dies ist eine Reihe von Artikeln.
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In Vorheriger Artikel habe ich die Repräsentationsmatrix von bikomplexen Zahlen gefunden.
\begin{align}
&a+bi+cj+dk \\
&=(a+bi)+(c+di)j \\
&↦\left(\begin{matrix}a+bi & -(c+di) \\ c+di & a+bi\end{matrix}\right) \\
&=a \underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
+b \underbrace{\left(\begin{matrix} i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{i}
+c \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
+d \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\ i& 0 \end{matrix}\right)}_{ij=k}
\end{align}
Betrachtung einer quaternären Repräsentationsmatrix unter Bezugnahme auf diese Struktur.
In quaternären Zahlen sind $ i, j, k $ alle auf $ -1 $ quadriert.
i^2=j^2=k^2=-1
Für bikomplexe Zahlen ist $ k ^ 2 = 1 $, was sich von quaternären Zahlen unterscheidet. Da die Beziehung von $ ij = k $ für Vierfache gleich ist, ist es nicht möglich, sie durch Ändern der Definitionen von $ i $ und $ j $ auf $ k ^ 2 = -1 $ zu bringen?
Da $ j $ von der Repräsentationsmatrix komplexer Zahlen geerbt wird, ist es zweckmäßig, dasselbe für quaternäre Zahlen zu verwenden. Lassen Sie $ j $ wie es ist und lassen Sie die Komponenten von $ i $ unbekannt sein $ x, y, z, w $. Bereiten Sie die Berechnung mit SymPy vor.
>>> from sympy import *
>>> x,y,z,w=symbols("x y z w")
>>> i=Matrix([[x,y],[z,w]])
>>> j=Matrix([[0,-1],[1,0]])
\begin{align}
i&↦\left(\begin{matrix} x& z \\ y& w \end{matrix}\right) \\
j&↦\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)
\end{align}
Von $ i ^ 2 = -1, \ k = ij, \ k ^ 2 = -1 $
>>> i**2
Matrix([
[x**2 + y*z, w*y + x*y],
[ w*z + x*z, w**2 + y*z]])
>>> k=i*j
>>> k
Matrix([
[y, -x],
[w, -z]])
>>> k**2
Matrix([
[-w*x + y**2, -x*y + x*z],
[ w*y - w*z, -w*x + z**2]])
\begin{align}
i^2&↦\left(\begin{matrix} x& y \\ z& w \end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix} x^2+yz & wy+xy \\ wz+xz & w^2+yz \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right) \\
k^2&↦\left(\begin{matrix} y & -x \\ w & -z \end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix} -wx+y^2 & -xy+xz \\ wy-wz & -wx+z^2 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right)
\end{align}
Organisieren Sie die Beziehung, indem Sie die Zutaten vergleichen.
x^2+yz=w^2+yz=y^2-xw=z^2-xw=-1 \\
y(x+w)=z(x+w)=x(y-z)=w(y-z)=0
Die Lösung ist nicht eindeutig, aber die Beziehungen, die erfüllt werden müssen, sind bekannt.
x=-w,\ y=z,\ x^2+y^2=-1
Da die einfachste Form wünschenswert ist, werden wir uns auf Lösungen mit zwei $ 0 $ beschränken.
\begin{align}
(1)&\ x=0\ ⇒\ w=0,\ y^2=-1,\ y=z \\
(2)&\ y=0\ ⇒\ z=0,\ x^2=-1,\ x=-w
\end{align}
Wenn Sie es in einer konkreten Form schreiben, haben Sie die folgenden vier Möglichkeiten.
\left(\begin{matrix} x & z \\ y & w \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} 0 & ±i \\ ±i & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} ±i & 0 \\ 0 & ∓i \end{matrix}\right)\ (Mehrere Ausgaben in derselben Reihenfolge)
Der Rest ist eine Frage der Entscheidung. Hier basiert es auf der Form, die durch Multiplizieren mit $ i $ und Entfernen der imaginären Zahlen erhalten wird.
i\left(\begin{matrix} 0 & ±i \\ ±i & 0 \end{matrix}\right),
i\left(\begin{matrix} ±i & 0 \\ 0 & ∓i \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} 0 & ∓1 \\ ∓1 & 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} ∓1 & 0 \\ 0 & ±1 \end{matrix}\right)\ (Mehrere Ausgaben in derselben Reihenfolge)
Von den vier Formen auf der rechten Seite ist die einfachste wahrscheinlich die nächste Form ohne Minuszeichen. Dies ist ein Spiegelbild, das von der Einheitsmatrix nach oben und unten (oder links und rechts) invertiert (nicht transponiert) wird.
i\left(\begin{matrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
Bestimmen Sie die Repräsentationsmatrix von $ i $ auf der linken Seite.
i↦\left(\begin{matrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{matrix}\right)
Wenn Sie sich für $ i $ entscheiden, wird $ k $ automatisch entschieden. I ist das imaginäre $ i $, das in SymPy definiert ist.
>>> i=Matrix([[0,-I],[-I,0]])
>>> j=Matrix([[0,-1],[1,0]])
>>> k=i*j
>>> k
Matrix([
[-I, 0],
[ 0, I]])
k=ij
↦\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)
Jetzt haben wir eine quaternäre Repräsentationsmatrix. Die Zusammenfassung ist wie folgt.
\begin{align}
&a+bi+cj+dk \\
&↦a \underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
+b \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)}_{i}
+c \underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
+d \underbrace{\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{k} \\
&=\left(\begin{matrix}a-di & -(c+bi) \\ c-bi & a+di\end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix}(a+di)^* & -(c+bi) \\ (c+bi)^* & a+di\end{matrix}\right)
\end{align}
Es ist nicht sehr ordentlich, aber der Grund dafür wird klar, wenn Sie sich die später beschriebenen quaternären Zahlen ansehen.
Es ist gut zu wissen, dass komplexe Konjugate in den Komponenten der Repräsentationsmatrix auftreten und der Matrixausdruck zum Quadrat der Norm wird.
\begin{align}
&\det\left(\begin{matrix}(a+di)^* & -(c+bi) \\ (c+bi)^* & a+di\end{matrix}\right) \\
&=(a+di)^*(a+di)+(c+bi)^*(c+bi) \\
&=a^2+b^2+c^2+d^2 \\
&=||a+bi+cj+dk||^2
\end{align}
Stellen Sie sicher, dass die vierfachen Rechenregeln erfüllt sind.
Überprüfen Sie das ursprüngliche Quadrat.
>>> i**2
Matrix([
[-1, 0],
[ 0, -1]])
>>> j**2
Matrix([
[-1, 0],
[ 0, -1]])
>>> k**2
Matrix([
[-1, 0],
[ 0, -1]])
\begin{align}
i^2
&↦\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix}-1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right) \\
j^2
&↦\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix}-1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right) \\
k^2
&↦\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix}-1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)
\end{align}
Es wurde $ i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = -1 $.
Bei quaternären Zahlen erscheint die Beziehung zwischen dem ursprünglichen Faktor und dem Produkt zyklisch ($ i → j → k → i → j → \ cdots $).
ij=k,\ jk=i,\ ki=j
Überprüfen Sie die Patrouille.
>>> i*j
Matrix([
[-I, 0],
[ 0, I]])
>>> j*k
Matrix([
[ 0, -I],
[-I, 0]])
>>> k*i
Matrix([
[0, -1],
[1, 0]])
>>> i*j==k
True
>>> j*k==i
True
>>> k*i==j
True
Das Element der quaternären Zahl hat die Eigenschaft, dass das Vorzeichen invertiert wird, wenn die Reihenfolge der Produkte geändert wird, was als Austauschbarkeit bezeichnet wird.
ij=-ji,\ jk=-kj,\ ki=-ik
Die Beziehung zwischen $ ij = k $ und $ k ^ 2 = -1 $ kann auch durch die Austauschbarkeit erklärt werden. Da sich Faktoren aufgrund der Austauschbarkeit nicht frei bewegen können, können sie nur dann $ -1 $ betragen, wenn benachbarte Elemente ausgetauscht werden und dieselben Elemente benachbart sind.
k^2=(ij)^2=i\underbrace{(ji)}_{Austausch}j=-i(ij)j=-\underbrace{(ii)}_{-1}\underbrace{(jj)}_{-1}=-1
Überprüfen Sie die Austauschbarkeit.
>>> j*i
Matrix([
[I, 0],
[0, -I]])
>>> k*j
Matrix([
[0, I],
[I, 0]])
>>> i*k
Matrix([
[ 0, 1],
[-1, 0]])
>>> i*j==-j*i
True
>>> j*k==-k*j
True
>>> k*i==-i*k
True
(i+2j)(3j+4k)=3ij+4ik+6jj+8jk=-6+8i-4j+3k \\
(3j+4k)(i+2j)=3ji+4ki+6jj+8kj=-6-8i+4j-3k \\
∴(i+2j)(3j+4k)≠-(3j+4k)(i+2j)
Die Vierfachkonjugation ergibt sich aus der Elmeet-Konjugation der Repräsentationsmatrix.
\begin{align}
(a+bi+cj+dk)^*
↦&\left(\begin{matrix}(a+di)^* & -(c+bi) \\ (c+bi)^* & a+di\end{matrix}\right)^{\dagger} \\
=&\left(\begin{matrix}a+di & -(c+bi)^* \\ c+bi & (a+di)^*\end{matrix}\right)^{\top} \\
=&\left(\begin{matrix}a+di & c+bi \\ -(c+bi)^* & (a+di)^*\end{matrix}\right) \\
=&\left(\begin{matrix}(a-di)^* & c+bi \\ -(c+bi)^* & a-di\end{matrix}\right) \\
↦&(a-dk)-(cj+bi) \\
=&a-bi-cj-dk
\end{align}
Alle Zeichen des Imaginärteils sind invertiert.
Die diesmal angenommene Repräsentationsmatrix von $ i, j, k $ wurde basierend auf den folgenden Kriterien ausgewählt.
i,j,k↦
\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)
$ I $ als Element einer quaternären Zahl und $ i $ als Komponente in einer Ausdrucksmatrix sind unterschiedlich. In der ursprünglichen Notation wird die imaginäre Zahl, die mit der Komponente multipliziert werden soll, zur Unterscheidung als $ h $ geschrieben.
\begin{align}
hi,hj,hk
&↦\underbrace{i}_{h}\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)}_{i},
\underbrace{i}_{h}\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j},
\underbrace{i}_{h}\underbrace{\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{k} \\
&=\left(\begin{matrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 0&-i \\ i& 0 \end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)
\end{align}
Wenn Sie der quaternären Zahl als Element $ h $ hinzufügen, erhalten Sie eine erweiterte Anzahl von quaternären Zahlen, die als doppelte quaternäre Zahlen bezeichnet werden.
\begin{align}
&(a_0+a_1i+a_2j+a_3k)+(a_4+a_5i+a_6j+a_7k)h \\
&=a_0+a_1i+a_2j+a_3k+a_4h+a_5hi+a_6hj+a_7hk
\end{align}
Das Erweitern von einem Vierfachen zu einem Vierfachen ist die gleiche Technik wie das Erweitern von einem Komplex zu einem Zweikomplex. ([Cary-Dixon-Konstruktionsmethode](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%BC%EF%BC % 9D% E3% 83% 87% E3% 82% A3% E3% 82% AF% E3% 82% BD% E3% 83% B3% E3% 81% AE% E6% A7% 8B% E6% 88% 90 % E6% B3% 95)))
[Bi-Komplex-Nummer]\ (a_0+a_1i)+(a_2+a_3i)j=a_0+a_1i+a_2j+a_3k
Wenn $ h $ durch eine Matrix dargestellt wird, ist dies eine Matrix, die durch Multiplizieren der Einheitsmatrix mit $ i $ erhalten wird.
h↦iI
=i\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)
= \left(\begin{matrix} i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)
Da die Einheitsmatrix mit anderen Matrizen ausgetauscht wird, unterliegt $ h $ keiner Anti-Austauschbarkeit in binären quaternären Zahlen.
[Zweiviertelzahl]\ hi=ih,\ hj=jh,\ hk=kh
So wie sich ein Bikomplex von einem Quartär unterscheidet, unterscheidet sich ein Doppelquartär von einer Acht. Acht Elemente behandeln $ h $ in derselben Zeile wie andere Elemente und sind austauschbar.
[Acht Yuan]\ hi=-ih,\ hj=-jh,\ hk=-kh
Überprüfen Sie die Darstellungsmatrix der Quartärzahl.
\begin{align}
&a_0+a_1i+a_2j+a_3k+a_4h+a_5hi+a_6hj+a_7hk \\
&↦a_0\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
+a_1\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\-i& 0 \end{matrix}\right)}_{i}
+a_2\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
+a_3\underbrace{\left(\begin{matrix}-i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{k} \\
&\quad
+a_4\underbrace{\left(\begin{matrix} i& 0 \\ 0& i \end{matrix}\right)}_{h}
+a_5\underbrace{\left(\begin{matrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{hi}
+a_6\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\ i& 0 \end{matrix}\right)}_{hj}
+a_7\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)}_{hk} \\
&=\left(\begin{matrix} a_0-a_3i+a_4i+a_7 & -a_1i-a_2+a_5-a_6i \\ -a_1i+a_2+a_5+a_6i & a_0+a_3i+a_4i-a_7 \end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix} (a_0+a_7)-(a_3-a_4)i & -\{(a_2-a_5)+(a_1+a_6)i\} \\ (a_2+a_5)-(a_1-a_6)i & (a_0-a_7)+(a_3+a_4)i \end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix} \{(a_0+a_7)+(a_3-a_4)i\}^* & -\{(a_2-a_5)+(a_1+a_6)i\} \\ \{(a_2+a_5)+(a_1-a_6)i\}^* & (a_0-a_7)+(a_3+a_4)i \end{matrix}\right)
\end{align}
\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{matrix}\right)}_{1}
\xrightarrow{auf den Kopf stellen}
\underbrace{\left(\begin{matrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{hi} \\
\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{j}
\xrightarrow{auf den Kopf stellen}
\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)}_{hk}
Zu diesem Zeitpunkt wurde es klar, aber ich dachte über die Kriterien zur Bestimmung der Repräsentationsmatrix von quaternären Zahlen nach, einschließlich sogar Vierfachen.
Python
Erstellen Sie in Python eine binäre quaternäre Repräsentationsmatrix. Machen Sie ein weiteres Element aus der Einheitsmatrix und $ j $.
>>> from sympy import *
>>> _1=eye(2)
>>> j=Matrix([[0,-1],[1,0]])
>>> hi=_1[[1,0],:]
>>> hk=j[[1,0],:]
>>> h=I*_1
>>> hj=I*j
>>> i=-I*hi
>>> k=-I*hk
>>> a=symbols("a0:8")
>>> a
(a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7)
>>> A=a[0]*_1+a[1]*i+a[2]*j+a[3]*k+a[4]*h+a[5]*hi+a[6]*hj+a[7]*hk
>>> A
Matrix([
[ a0 - I*a3 + I*a4 + a7, -I*a1 - a2 + a5 - I*a6],
[-I*a1 + a2 + a5 + I*a6, a0 + I*a3 + I*a4 - a7]])
A=\left(\begin{matrix} a_0-a_3i+a_4i+a_7 & -a_1i-a_2+a_5-a_6i \\ -a_1i+a_2+a_5+a_6i & a_0+a_3i+a_4i-a_7 \end{matrix}\right)
Die Expressionsmatrix der bi-quaternären Zahl hat komplizierte Komponenten. Verwenden Sie eine invertierte Vorzeichenkombination, um die binären quaternären Koeffizienten von den Komponenten der Darstellungsmatrix zu trennen.
>>> (A[0,0]+A[1,1])/2
a0 + I*a4
>>> (A[0,0]-A[1,1])/2
-I*a3 + a7
>>> (A[1,0]+A[0,1])/2
-I*a1 + a5
>>> (A[1,0]-A[0,1])/2
a2 + I*a6
\begin{align}
\frac{1}{2}(A_{00}+A_{11})&=a_0+a_4i \\
\frac{1}{2}(A_{00}-A_{11})&=a_7-a_3i \\
\frac{1}{2}(A_{10}+A_{01})&=a_5-a_1i \\
\frac{1}{2}(A_{10}-A_{01})&=a_2+a_6i
\end{align}
Lassen Sie mich Ihnen ein Beispiel geben.
>>> B=A.subs([(a[i], i+1) for i in range(8)])
>>> B
Matrix([
[ 9 + I, 3 - 9*I],
[9 + 5*I, -7 + 9*I]])
>>> b=[0]*8
>>> b[0],b[4]=((B[0,0]+B[1,1])/2).as_real_imag()
>>> b[7],b[3]=((B[0,0]-B[1,1])/2).conjugate().as_real_imag()
>>> b[5],b[1]=((B[1,0]+B[0,1])/2).conjugate().as_real_imag()
>>> b[2],b[6]=((B[1,0]-B[0,1])/2).as_real_imag()
>>> b
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
\left(\begin{matrix} 9+i & 3-9i \\ 9+5i & -7+9i \end{matrix}\right) \\
↦1+2i+3j+4k+5h+6hi+7hj+8hk
Ein Blick auf die Darstellungsmatrix zeigt nicht die Koeffizienten der quaternären Elemente, aber sie sind richtig getrennt.
Repräsentationsmatrix von $ hi, hj, hk $ [Pauli-Matrix](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%A6%E3%83%AA%E8%A1 Es heißt% 8C% E5% 88% 97).
σ_1,σ_2,σ_3:=
\underbrace{\left(\begin{matrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{matrix}\right)}_{hi},
\underbrace{\left(\begin{matrix} 0&-i \\ i& 0 \end{matrix}\right)}_{hj},
\underbrace{\left(\begin{matrix} 1& 0 \\ 0&-1 \end{matrix}\right)}_{hk}
Ausgehend von der Pauli-Matrix können Sie quaternäre Zahlen intelligenter erstellen. Demnach kann $ hi, hj, hk $ als grundlegender interpretiert werden als $ i, j, k $. Einzelheiten finden Sie in der Fortsetzung Pauli Matrix und Bi-Quaternary Numbers in Clifford Algebra.
Dieses Mal werde ich mich nur auf die Repräsentationsmatrix für quaternäre Zahlen konzentrieren. Weitere Eigenschaften finden Sie in den folgenden Artikeln.
In den folgenden Artikeln finden Sie eine weitere Darstellungsmatrix für quaternäre und achteckige Zahlen.
Ich habe es als Referenz für SymPy verwendet.
Wir haben die Variationen von [Multiple] zusammengefasst (https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0).
| Basic | Damit | Demontierter Typ | Demontierter TypDamit | Damit曲 | Damit対 |
|---|---|---|---|---|---|
| Komplexe Zahl | 双KomplexeZahl | 分解型KomplexeZahl | |||
| Vervierfachen | 双Vervierfachen | 分解型Vervierfachen | 分解型双Vervierfachen | 双曲Vervierfachen | 双対Vervierfachen |
| Acht Yuan | 双AchtYuan | 分解型AchtYuan | |||
| 16 Yuan |
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