[PYTHON] Dualität in der Funktion

Vektoren und Co-Vektoren sind gleich und ihre Rollen können vertauscht werden. Dies nennt man Dualität. Schauen wir uns ein Beispiel an. Fügen Sie die Berechnung mit NumPy hinzu.

Dies ist eine Reihe von Artikeln.

1. Internes Produkt, das nach Schätzung zu denken ist
2. Covector, um mit Funktion zu denken
3. Matrix zum Denken mit Funktion
4. Dualität in der Funktion ← Dieser Artikel
5. Perceptron Thinking in Covector

Es wird davon ausgegangen, dass NumPy wie folgt importiert wird.

>>> from numpy import *

Dualität

Zuvor habe ich die folgende Tabellenberechnung berücksichtigt.

Um dies zu berechnen, bereiten Sie eine Matrix und einen Vektor vor.

>>> A=array([[30,50,150],[25,60,120]]).T
>>> A
array([[ 30,  25],
       [ 50,  60],
       [150, 120]])
>>> X=array([[12,10,5]]).T
>>> X
array([[12],
       [10],
       [ 5]])

A=\left(\begin{matrix} 30 & 25 \\ 50 & 60 \\ 150 & 120 \end{matrix}\right),
X=\left(\begin{matrix} 12 \\ 10 \\ 5 \end{matrix}\right)

Beachten Sie, dass es dieselbe Form wie die Tabellenberechnung hat. Wenn Sie die linke Seite umdrehen, erhalten Sie dieselbe Nummer, auch wenn Sie die Reihenfolge ändern.

>>> dot(A.T,X)
array([[1610],
       [1500]])
>>> dot(X.T,A)
array([[1610, 1500]])

A^{\top}X
=\left(\begin{matrix} 30 & 50 & 150 \\ 25 & 60 & 120 \end{matrix}\right)
 \left(\begin{matrix} 12 \\ 10 \\ 5 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} 1610 \\ 1500 \end{matrix}\right) \\
X^{\top}A
=\left(\begin{matrix} 12 & 10 & 5 \end{matrix}\right)
 \left(\begin{matrix} 30 & 25 \\ 50 & 60 \\ 150 & 120 \end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix} 1610 & 1500 \end{matrix}\right) \\

Dies wird als Vertauschen der Rollen von Vektor und Covektor interpretiert. Wenn Sie einen Vektor als Argument übergeben, wird ein Vektor zurückgegeben, und wenn Sie einen Covector übergeben, wird ein Covector zurückgegeben.

Wenn das Ganze transponiert wird, wird die Reihenfolge formal umgekehrt und das Ganze einzeln transponiert.

(A^{\top}X)^{\top}=X^{\top}A

Es ähnelt dem Umkehren des Vorzeichens des Ganzen durch Subtraktion, aber die Reihenfolge wird nicht umgekehrt, wenn das Vorzeichen einzeln umgekehrt wird.

\begin{align*}
-(3-2)
&=2-3 \\
&=(-3)-(-2)
\end{align*}

Anzahl der Ein- / Ausgänge

Der Berechnungsfluss ist für Vektoren und Co-Vektoren umgekehrt.

\underbrace{GF}_{Synthetik}
=\overbrace{\left(\begin{matrix}g_1 & g_2 & g_3\end{matrix}\right)}^{Anzahl der Eingänge 3}
 \quad\scriptsize{Anzahl der Ausgänge 3}\normalsize{\Biggr\{
  \left(\begin{matrix}f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \\ f_{31} & f_{32}\end{matrix}\right)} \\
\overbrace{\left(\begin{matrix}f_{11} & f_{12} & f_{13} \\ f_{21} & f_{22} & f_{23} \end{matrix}\right)}^{Anzahl der Ausgänge 3}
 \quad\scriptsize{Anzahl der Eingänge 3}\normalsize{\Biggr\{
  \left(\begin{matrix}g_1 \\ g_2 \\ g_3 \end{matrix}\right)}
=\underbrace{FG}_{Synthetik}

Wenn Sie die Anzahl der dazwischen liegenden Elemente entfernen, bleiben nur die Ein- und Ausgänge übrig.

\underbrace{1}_{Ausgabe}×\underbrace{3←3}_{Entfernung}×\underbrace{2}_{Eingang} \\
\underbrace{2}_{Eingang}×\underbrace{3→3}_{Entfernung}×\underbrace{1}_{Ausgabe}

Berechnungsablauf

Der Berechnungsfluss einschließlich Eingabe und Ausgabe wird angezeigt. Die rote Zahl steht für die Anzahl der Elemente.

Schematisieren Sie, indem Sie sich auf den Wert konzentrieren.

\underbrace{y}_{Ausgabe}
\xleftarrow{G}
\underbrace{\left(\begin{matrix}t_1 \\ t_2 \\ t_3\end{matrix}\right)}_{Wert in der Mitte}
\xleftarrow{F}
\underbrace{\left(\begin{matrix}x_1 \\ x_2\end{matrix}\right)}_{Eingang} \\
\underbrace{\left(\begin{matrix}x_1 & x_2\end{matrix}\right)}_{Eingang}
\xrightarrow{F}
\underbrace{\left(\begin{matrix}t_1 & t_2 & t_3\end{matrix}\right)}_{Wert in der Mitte}
\xrightarrow{G}
\underbrace{y}_{Ausgabe}

Zeichnen Sie eine Figur im Stil von Perceptron. Der Berechnungsfluss erfolgt gemäß der Matrixnotation von rechts nach links.

Beachten Sie die Verbindung zwischen $ t $ und $ x $. Am Beispiel von $ f_ {21} $ können wir sehen, dass die Interpretation des Index als $ 2 ← 1 $ dem Index des durch die Linie verbundenen Knotens $ t_2 ← x_1 $ entspricht. Das Schema ist wie folgt.

t_2 \xleftarrow{f_{21}} x_1 \\
x_1 \xrightarrow{f_{12}} t_2 \\

Stellen Sie sicher, dass die anderen Linien das gleiche Muster haben.