[PYTHON] Memo darüber, wie zwei korrelierte Variablen (ungefähr) erstellt werden, von denen jede einer beliebigen Verteilung folgt

Der Punkt

• Ich suchte nach einer Möglichkeit, eine Wahrscheinlichkeitsvariable X zu erstellen, die einer Standardnormalverteilung folgt, und eine Wahrscheinlichkeitsvariable Y, die einer χ2-Verteilung mit einem beliebigen Korrelationskoeffizienten ρ folgt. --Wenn sowohl X als auch Y der Standardnormalverteilung folgen, können Sie sie mit der folgenden Methode erstellen. --Verwenden Sie die Funktion numpy.random.multivariate_normal.
• Wenn es sich um eine mehrdimensionale Standardnormalverteilung handelt, ist die Varianz-Co-Verteilungsmatrix gleich der Korrelationsmatrix, also covmtx = [[1, ρ], [ρ, 1]]
• Auch wenn es sich nicht um eine Standardnormalverteilung handelt, wenn die Verteilung einen Mittelwert von Null und eine gleiche Varianz aufweist, kann sie durch diese von horiem erklärte Methode generiert werden.
• Die X ~ -Standardnormalverteilung und die Y ~ χ2-Verteilung erfüllen nicht die Bedingungen dieser Methode, daher müssen sie mit einer anderen Methode generiert werden.
• Notieren Sie sich als vorübergehende Leistung, wie zwei probabilistische Variablen mit Korrelation in einer mehrdimensionalen Standardnormalverteilung generiert werden, und konvertieren Sie eine davon, um einer anderen probabilistischen Verteilung zu folgen. --Y-> Kumulative Verteilung der Standardnormalverteilung cdf (Y) -> Prozentpunktfunktion der willkürlichen Verteilung ppf (cdf (Y)) -> Z. ――Wenn Sie so etwas sagen, siehe hier.
• Seien Sie vorsichtig, da es einen Nachteil gibt, dass der Wert des Korrelationskoeffizienten nach der Konvertierung nicht genau angegeben werden kann.

Code

sample.py

# import numpy as np
# import scipy.stats as spstats

# generate X,Y ~ multinormal(mu = [0,0], cov = [[1,ρ],[ρ,1]])
rho_norm = 0.8 # correlation coeff for multinorm
mu = [0, 0] # mean of X, Y
cov = [
         [1, rho_norm], 
         [rho_norm, 1]
      ] # cov matrix

vals_norm = np.random.multivariate_normal(mu, cov, 100000)
x_norm = vals_norm[:,0]
y_norm = vals_norm[:,1]
# np.corrcoef(x_norm, y_norm) gives a rho value around rho_norm

# convert Y to Z ~ chi2(k)
k = 3 # parameter of chi2 dist
z_chi2 = spstats.chi2.ppf(spstats.norm.cdf(y_norm, loc = 0, scale = 1), df = k)

# x_norm ~ norm(mu = 0, var = 1) and z_chi2 ~ chi2(k = 3)
# np.corrcoef(x_norm, z_chi2) gives a rho value a bit smaller than rho_norm

Ergebnis

Das mit einem Korrelationskoeffizienten von 0,8 erzeugte X-, Y-Streudiagramm und die periphere Verteilung sehen folgendermaßen aus. Für Z, das von der obigen Transformation gebissen wurde, sehen das Streudiagramm mit X und die periphere Verteilung folgendermaßen aus. Für Z (vertikale Achse) ist ersichtlich, dass die periphere Verteilung mit k = 3 in die χ2-Verteilung umgewandelt wird. Der Korrelationskoeffizient zu diesem Zeitpunkt (da die Korrelationsmatrix erhalten werden kann, ist die [0,1] -Komponente) Die positive Korrelation bleibt erhalten, ist jedoch kleiner als der Korrelationskoeffizient (0,8), der zwischen X und Y in der mehrdimensionalen Standardnormalverteilung angegeben ist.

Dieses Mal wurde Y in eine χ2-Verteilung konvertiert, kann jedoch in eine beliebige Verteilung konvertiert werden. Auf die gleiche Weise kann auch X konvertiert werden.

wichtiger Punkt

Mit dieser Methode ist es nicht möglich, den Korrelationskoeffizienten nach der Konvertierung genau anzugeben. Ich denke, es gibt eine einfachere Methode, aber ich konnte sie eine Weile nicht finden, also schreibe ich sie hier auf. Kann mir bitte jemand sagen, wie es einfacher geht?

11/26 postscript: Der Originalkommentar von matlab enthielt this. Fast der gleiche Ansatz, aber detaillierter beschrieben. FMI (für meine Info)