Als Ausgangspunkt für komplexe Vektoren untersuchen wir die Entsprechung mit realen Vektoren. Eine Berechnung von SymPy ist beigefügt.
Es befasst sich mit folgenden Inhalten.
Dies ist das Wissen, das für Quantencomputer und komplexe neuronale Netze erforderlich ist.
Dies ist eine Reihe von Artikeln.
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Das innere Produkt eines zweidimensionalen reellen Vektors wird wie folgt berechnet. (Einzelheiten finden Sie unter Vorheriger Artikel)
>>> from sympy import *
>>> a1,a2,b1,b2=symbols("a1:3 b1:3",real=True)
>>> Matrix([a1,a2]).dot(Matrix([b1,b2]))
a1*b1 + a2*b2
>>> Matrix([a1,a2]).T * Matrix([b1,b2])
Matrix([[a1*b1 + a2*b2]])
>>> Matrix([[a1,a2]]) * Matrix([b1,b2])
Matrix([[a1*b1 + a2*b2]])
\begin{align}
\left(\begin{matrix}a_1 \\ a_2\end{matrix}\right)\cdot
\left(\begin{matrix}b_1 \\ b_2\end{matrix}\right)
&=\left(\begin{matrix}a_1 \\ a_2\end{matrix}\right)^{\top}
\left(\begin{matrix}b_1 \\ b_2\end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix}a_1 & a_2\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}b_1 \\ b_2\end{matrix}\right) \\
&=a_1b_1+a_2b_2
\end{align}
.dot () einen Skalar zurück, aber das Produkt mit Translokation gibt eine 1-mal-1-Matrix zurück. Danach werden sie gleichgesetzt.Berechnen Sie ein einfaches Beispiel.
>>> Matrix([1,2]).dot(Matrix([3,4]))
11
>>> Matrix([1,2]).T*Matrix([3,4])
Matrix([[11]])
\left(\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right)\cdot
\left(\begin{matrix}3 \\ 4\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right)^{\top}
\left(\begin{matrix}3 \\ 4\end{matrix}\right)
=11
Betrachten Sie die Berechnung des inneren Produkts eines reellen Vektors als komplexe Zahl.
Da eine komplexe Zahl aus zwei reellen Zahlen besteht, ist der komplexen Zahl ein zweidimensionaler reeller Vektor zugeordnet.
\left(\begin{matrix}a \\ b\end{matrix}\right) \mapsto a+bi
Das Produkt komplexer Zahlen wird wie folgt berechnet. In SymPy lautet die imaginäre Zahl "I".
>>> expand((a1+a2*I)*(b1+b2*I)).collect(I)
a1*b1 - a2*b2 + I*(a1*b2 + a2*b1)
(a_1+a_2i)(b_1+b_2i)=(a_1b_1-a_2b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i
Ein Vergleich mit dem inneren Produkt $ a_1b_1 + a_2b_2 $ des realen Vektors zeigt Folgendes.
Wenn eine der komplexen Zahlen konjugiert wird, ist der Realteil des Produkts das innere Produkt und der Imaginärteil das äußere Produkt. Das Vorzeichen des äußeren Produkts ändert sich je nachdem, welches konjugiert ist (Anti-Austauschbarkeit).
>>> expand((a1+a2*I).conjugate()*(b1+b2*I)).collect(I)
a1*b1 + a2*b2 + I*(a1*b2 - a2*b1)
>>> expand((a1+a2*I)*(b1+b2*I).conjugate()).collect(I)
a1*b1 + a2*b2 + I*(-a1*b2 + a2*b1)
\begin{align}
\underbrace{(a_1+a_2i)^*}_{Konjugieren}(b_1+b_2i)&=(\underbrace{a_1b_1+a_2b_2}_{Innenprodukt})+(\underbrace{a_1b_2-a_2b_1}_{Äußeres Produkt})i \tag{1}\\
(a_1+a_2i)\underbrace{(b_1+b_2i)^*}_{Konjugieren}&=(a_1b_1+a_2b_2)\underbrace{-(a_1b_2-a_2b_1)}_{Vorzeichenumkehrung}i \tag{2}
\end{align}
(1) ist der Standard beim Finden der inneren und äußeren Produkte komplexer Zahlen. Wir werden die Details später diskutieren, aber die Transposition in der Matrixberechnung entspricht einem komplexen Konjugat.
(a_1\mathbf{e}_1+a_2\mathbf{e}_2)(b_1\mathbf{e}_1+b_2\mathbf{e}_2)=(a_1b_1+a_2b_2)+(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2
Dieses Mal wird nur der Wert des inneren Produkts benötigt, sodass das äußere Produkt (Imaginärteil) ignoriert wird.
>>> Matrix([a1,a2]).row_join(Matrix([b1,b2]))
Matrix([
[a1, b1],
[a2, b2]])
>>> Matrix([a1,a2]).row_join(Matrix([b1,b2])).det()
a1*b2 - a2*b1
\det\left(\begin{array}{c|c}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right)=a_1b_2-a_2b_1
Berechnen Sie ein einfaches Beispiel mit den in SymPy und Python integrierten Funktionen. In letzterem ist die komplexe Zahl "j", das Konjugat ist ".conjugate ()" und der Realteil ist ".real".
SymPy
>>> re(expand(((1+2*I).conjugate()*(3+4*I))))
11
Eingebaut
>>> ((1+2j).conjugate()*(3+4j)).real
11.0
\Re\{(1+2i)^*(3+4i)\}=11
* In Python bedeutet Multiplikation, aber $ ^ * $ in Formel bedeutet komplexes Konjugat. Der Multiplikationsoperator wird in der Formel weggelassen.Ich konnte das gleiche wie das innere Produkt reeller Vektoren berechnen. Wenn Sie nebeneinander schauen, können Sie sehen, dass das komplexe Konjugat ($ ^ *
>>> Matrix([1,2]).T*Matrix([3,4])
Matrix([[11]])
>>> expand((1+2*I).conjugate()*(3+4*I))
11 - 2*I
>>> (1+2j).conjugate()*(3+4j)
(11-2j)
\left(\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right)^{\top}
\left(\begin{matrix}3 \\ 4\end{matrix}\right)
=11 \\
(1+2i)^*(3+4i)=11-2i
>>> Matrix([1,2]).row_join(Matrix([3,4])).det()
-2
\det\left(\begin{array}{c|c}1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right)=4-6=-2
Überlegen Sie, warum komplexe Konjugate Translokationen entsprechen.
Die komplexe Zahl wird durch einen zweidimensionalen reellen Vektor dargestellt und das innere Produkt mit dem Berechnungsergebnis verglichen.
>>> (a1+a2*I).conjugate()*(b1+b2*I)
(a1 - I*a2)*(b1 + I*b2)
>>> expand((a1+a2*I).conjugate()*(b1+b2*I)).collect(I)
a1*b1 + a2*b2 + I*(a1*b2 - a2*b1)
>>> Matrix([a1,a2]).T*Matrix([b1,b2])
Matrix([[a1*b1 + a2*b2]])
\begin{align}
(a_1+a_2i)^*(b_1+b_2i)
&=(a_1-a_2i)(b_1+b_2i) \\
&=(a_1b_1+a_2b_2)+(a_1b_2-a_2b_1)i \\
\left(\begin{matrix}a_1 \\ a_2\end{matrix}\right)^{\top}
\left(\begin{matrix}b_1 \\ b_2\end{matrix}\right)
&=a_1b_1+a_2b_2
\end{align}
Das innere Produkt des Realvektors enthält nicht den Imaginärteil (obwohl es natürlich ist zu sagen, dass der Imaginärteil das äußere Produkt ist). Versuchen Sie, die Anzahl der Spalten zu erhöhen, um den Imaginärteil einzuschließen.
Betrachten Sie zunächst die imaginäre Einheit $ i $. Die inkrementierte Spalte ist unbekannt $ x, y $.
>>> x,y=symbols("x y")
>>> i=Matrix([0,1]).row_join(Matrix([x,y]))
>>> i
Matrix([
[0, x],
[1, y]])
i \mapsto
\left(\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}\right)
\xrightarrow{Spalten erhöhen}
\left(\begin{matrix}0 & x \\ 1 & y\end{matrix}\right)
Bestimmen Sie $ x, y $ so, dass $ i ^ 2 = -1 $ ist. Die zweite Spalte nach dem Quadrat wird automatisch ermittelt, sodass die Berechnung weggelassen wird.
>>> i**2
Matrix([
[x, x*y],
[y, x + y**2]])
i^2 \mapsto
\left(\begin{matrix}0 & x \\ 1 & y\end{matrix}\right)^2
=\left(\begin{matrix}x & * \\ y & *\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}-1 & * \\0 & *\end{matrix}\right) \\
∴(x,y)=(-1,0)
Jetzt haben wir eine quadratische quadratische Matrix, die $ i $ entspricht und $ i ^ 2 = -1 $ erfüllt. Dies wird als ** Repräsentationsmatrix ** von $ i $ bezeichnet.
>>> i=Matrix([[0,-1],[1,0]])
i \mapsto \left(\begin{matrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)
i \mapsto
\left(\begin{array}{c|c}
\underbrace{\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}}_{i} &
\underbrace{\begin{matrix}-1 \\ 0 \end{matrix}}_{-1}
\end{array}\right)
Die $ 1 $ -Darstellungsmatrix ist eine Einheitsmatrix, da es sich um ein Einheitselement handelt, dessen Wert sich bei Multiplikation nicht ändert.
>>> _1=eye(2)
>>> _1
Matrix([
[1, 0],
[0, 1]])
1 \mapsto
I=\left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right)
Die Kombination der Repräsentationsmatrizen $ 1 $ und $ i $ ergibt eine komplexe Repräsentationsmatrix.
>>> a,b=symbols("a b",real=True)
>>> a*_1+b*i
Matrix([
[a, -b],
[b, a]])
a+bi \mapsto
a\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right)}_{1}
+b\underbrace{\left(\begin{matrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)}_{i}
=\left(\begin{matrix}a & -b \\ b & a\end{matrix}\right)
Die Zusammenfassung ist wie folgt.
a+bi \mapsto
\left(\begin{matrix}a \\ b \end{matrix}\right)
\xrightarrow{Spalten erhöhen}
\left(\begin{matrix}a & -b \\ b & a\end{matrix}\right)
>>> Matrix([[a,-b],[b,a]]).det()
a**2 + b**2
>>> Matrix([a,b]).T*Matrix([a,b])
Matrix([[a**2 + b**2]])
>>> abs(a+b*I)**2
a**2 + b**2
\det\left(\begin{array}{c|c}a & -b \\ b & a\end{array}\right)
=\left(\begin{matrix}a \\ b\end{matrix}\right)^{\top}
\left(\begin{matrix}a \\ b\end{matrix}\right)
=a^2+b^2=|a+bi|^2
Berechnen wir das Produkt, indem wir die komplexe Zahl durch die Ausdrucksmatrix ersetzen.
>>> (a1+a2*I).conjugate()*(b1+b2*I)
(a1 - I*a2)*(b1 + I*b2)
>>> a1*_1-a2*i
Matrix([
[ a1, a2],
[-a2, a1]])
>>> b1*_1+b2*i
Matrix([
[b1, -b2],
[b2, b1]])
>>> (a1*_1-a2*i)*(b1*_1+b2*i)
Matrix([
[a1*b1 + a2*b2, -a1*b2 + a2*b1],
[a1*b2 - a2*b1, a1*b1 + a2*b2]])
>>> expand((a1+a2*I).conjugate()*(b1+b2*I)).collect(I)
a1*b1 + a2*b2 + I*(a1*b2 - a2*b1)
\begin{align}
(a_1+a_2i)^*(b_1+b_2i)
=&(a_1-a_2i)(b_1+b_2i) \\
\mapsto
&\left(\begin{matrix}a_1 & a_2 \\ -a_2 & a_1\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}b_1 & -b_2 \\ b_2 & b_1\end{matrix}\right) \\
=&\left(\begin{matrix}
a_1b_1+a_2b_2 & -(a_1b_2-a_2b_1) \\
a_1b_2-a_2b_1 & a_1b_1+a_2b_2
\end{matrix}\right) \\
\mapsto
&(a_1b_1+a_2b_2)+(a_1b_2-a_2b_1)i
\end{align}
Das Ergebnis stimmte mit der Berechnung überein, da es sich um eine komplexe Zahl handelte. Das Verhalten komplexer Zahlen kann ** durch eine Matrix ** dargestellt werden.
Wenn Sie die Darstellungsmatrix transponieren, werden die dargestellten komplexen Zahlen konjugiert. Deshalb entspricht die Transposition Konjugaten in komplexen Zahlen.
>>> (a*_1+b*i).T
Matrix([
[ a, b],
[-b, a]])
\left(\begin{matrix}a & -b \\ b & a\end{matrix}\right)^{\top}
=\left(\begin{matrix}a & b \\ -b & a\end{matrix}\right)
\mapsto a-bi=(a+bi)^*
Das zuvor bestätigte Berechnungsbeispiel liefert das gleiche Ergebnis, selbst wenn das komplexe Konjugat durch die Translokation ersetzt wird.
>>> (a1*_1+a2*i).T*(b1*_1+b2*i)
Matrix([
[a1*b1 + a2*b2, -a1*b2 + a2*b1],
[a1*b2 - a2*b1, a1*b1 + a2*b2]])
\begin{align}
(a_1+a_2i)^*(b_1+b_2i)
\mapsto
&\left(\begin{matrix}a_1 & -a_2 \\ a_2 & a_1\end{matrix}\right)^{\top}
\left(\begin{matrix}b_1 & -b_2 \\ b_2 & b_1\end{matrix}\right) \\
=&\left(\begin{matrix}
a_1b_1+a_2b_2 & -(a_1b_2-a_2b_1) \\
a_1b_2-a_2b_1 & a_1b_1+a_2b_2
\end{matrix}\right) \\
\end{align}
Ein 4-dimensionaler reeller Vektor ist einem 2-dimensionalen komplexen Vektor zugeordnet, vorausgesetzt, der Imaginärteil des Berechnungsergebnisses wird ignoriert.
\left(\begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d\end{matrix}\right) \mapsto
\left(\begin{matrix}a+bi \\ c+di\end{matrix}\right)
Überprüfen Sie den Vektor, der eine komplexe Zahl in der Komponente enthält (komplexer Vektor), da für die Translokation besondere Aufmerksamkeit erforderlich ist.
Ersetzen Sie jede im komplexen Vektor enthaltene komplexe Zahl durch eine Darstellungsmatrix.
\left(\begin{matrix}a+bi \\ \hline c+di\end{matrix}\right) \mapsto
\left(\begin{matrix}a & -b \\ b & a \\ \hline c & -d \\ d & c\end{matrix}\right)
Wenn Sie die Darstellungsmatrix zurück in eine komplexe Zahl transponieren, können Sie sehen, dass das komplexe Konjugat gleichzeitig mit der Translokation angezeigt wird.
\begin{align}
\left(\begin{matrix}a & -b \\ b & a \\ \hline c & -d \\ d & c\end{matrix}\right)^{\top}
=&\left(\begin{array}{cc|cc}a & b & c & d \\ -b & a & -d & c\end{array}\right) \\
\mapsto &\left(\begin{array}{c|c}a-bi & c-di\end{array}\right) \\
=&\left(\begin{array}{c|c}a+bi & c+di\end{array}\right)^* \\
=&\left\{\left(\begin{matrix}a+bi \\ \hline c+di\end{matrix}\right)^{\top}\right\}^*
\end{align}
Auf diese Weise werden in komplexen Vektoren und komplexen Matrizen Transposition und komplexes Konjugat verknüpft. Matrix mit Translokation und komplexer Konjugation ist Elmeat-Konjugation (begleitende Matrix Es heißt E5% 88% 97)) und wird in diesem Artikel durch Dolch ($ ^ {\ Dolch} $) dargestellt. In SymPy lautet das Akronym für Hermite ".H" (H wird auf Französisch nicht ausgesprochen). Das Ergebnis ist das gleiche, auch wenn die Reihenfolge der Operationen umgekehrt ist (konjugiert → Translokation).
>>> a,b,c,d=symbols("a b c d",real=True)
>>> Matrix([a+b*I,c+d*I]).H
Matrix([[a - I*b, c - I*d]])
>>> Matrix([a+b*I,c+d*I]).T.conjugate()
Matrix([[a - I*b, c - I*d]])
>>> Matrix([a+b*I,c+d*I]).conjugate().T
Matrix([[a - I*b, c - I*d]])
\left(\begin{matrix}a+bi \\ c+di\end{matrix}\right)^{\dagger}
:=\left\{\left(\begin{matrix}a+bi \\ c+di\end{matrix}\right)^{\top}\right\}^*
=\left\{\left(\begin{matrix}a+bi \\ c+di\end{matrix}\right)^*\right\}^{\top}
=\left(\begin{matrix}a-bi & c-di\end{matrix}\right)
Je nach Material kann ein Sternchen ($ ^ {}
Elmeet-Konjugat und [Elmeet-Matrix](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83% Bitte beachten Sie, dass 88% E8% A1% 8C% E5% 88% 97) unterschiedliche Bedeutungen haben. Die Elmeet-Matrix ist eine Matrix, deren Elmeet-Konjugat mit der ursprünglichen Matrix übereinstimmt und auch als selbstbegleitete Matrix bezeichnet wird. (Reale symmetrische Matrix in der Ausdrucksmatrix)
Referenz: [Contingent Matrix-Motivation-Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%8C%E5%88%97# .E5.8B.95.E6.A9.9F.E4.BB.98.E3.81.91)
Eine einfache Berechnung bestätigt die Translokation des realen Vektors und des Elmeat-Konjugats des komplexen Vektors.
>>> Matrix([1,2,3,4]).T*Matrix([5,6,7,8])
Matrix([[70]])
>>> expand(Matrix([1+2j,3+4j]).H*Matrix([5+6j,7+8j]))
Matrix([[70.0 - 8.0*I]])
\left(\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{matrix}\right)^{\top}
\left(\begin{matrix}5 \\ 6 \\ 7 \\ 8\end{matrix}\right)
=70 \\
\left(\begin{matrix}1+2i \\ 3+4i\end{matrix}\right)^{\dagger}
\left(\begin{matrix}5+6i \\ 7+8i\end{matrix}\right)
=70-8i
Das gleiche Ergebnis wurde durch Ignorieren des Imaginärteils erhalten.
Ein vierdimensionaler reeller Vektor ist einer quaternären Zahl zugeordnet.
\left(\begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d\end{matrix}\right) \mapsto a+bi+cj+dk
Wenn Sie das Produkt mit dem Konjugat berechnen, erhalten Sie das innere Produkt aus dem Realteil.
[Quartärnummer]\ (1-2i-3j-4k)(5+6i+7j+8k)=70-16j-8k
Wenn Sie den Imaginärteil verwerfen möchten, haben Sie die Möglichkeit, eine bikomplexe Nummer anstelle einer quaternären Nummer zu verwenden. Im Gegensatz zu quaternären Zahlen sind di-komplexe Zahlen austauschbar, sodass sie je nach Anwendung bequemer sind als quaternäre Zahlen (manchmal auch als konvertierbare quaternäre Zahlen bezeichnet). Beachten Sie, dass sich die Form des Konjugats aufgrund der Struktur der bikomplexen Zahlen von der der quaternären Zahlen unterscheidet.
[Bi-Komplex-Nummer]\ (1-2i-3j+4k)(5+6i+7j+8k)=70-8i-16j-4k
Ich werde hier nur quaternäre Zahlen und bikomplexe Zahlen einführen, aber ich werde die Details im Folgeartikel erklären.
Wie wir gesehen haben, halbiert die Zuordnung eines realen Vektors zu einem komplexen Vektor die Anzahl der Zeilen. Wenn Sie die Ausführungsspalte einer komplexen Matrix zuordnen, wird auch die Anzahl der Zeilen halbiert.
Eine quadratische reelle quadratische Matrix ist einem zweidimensionalen komplexen horizontalen Vektor (1x2-Matrix) zugeordnet.
\left(\begin{matrix}a & c \\ b & d\end{matrix}\right) \mapsto
\left(\begin{matrix}a+bi & c+di\end{matrix}\right)
Ein Berechnungsbeispiel ist unten gezeigt.
>>> Matrix([[1,3],[2,4]]).T*Matrix([[5,7],[6,8]])
Matrix([
[17, 23],
[39, 53]])
>>> expand(Matrix([[1+2j,3+4j]]).H*Matrix([[5+6j,7+8j]]))
Matrix([
[17.0 - 4.0*I, 23.0 - 6.0*I],
[39.0 - 2.0*I, 53.0 - 4.0*I]])
\left(\begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{matrix}\right)^{\top}
\left(\begin{matrix}5 & 7 \\ 6 & 8\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}17 & 23 \\ 39 & 53\end{matrix}\right) \\
\left(\begin{matrix}1+2i & 3+4i\end{matrix}\right)^{\dagger}
\left(\begin{matrix}5+6i & 7+8i\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}17-4i & 23-6i \\ 39-2i & 53-4i\end{matrix}\right)
Das gleiche Ergebnis kann durch Ignorieren des Imaginärteils erzielt werden. Beachten Sie, dass die resultierende Matrix dieselbe Größe wie die Ausführungsspalte hat. Intuitiv kann interpretiert werden, dass zwei Zeilen nicht zu einer Zeile kombiniert werden können, da sie einen Imaginärteil enthalten.
Eine 4x2-Ausführungsspalte ist einer quadratischen komplexen quadratischen Matrix zugeordnet.
\left(\begin{matrix}a & e \\ b & f \\ c & g \\ d & h\end{matrix}\right) \mapsto
\left(\begin{matrix}a+bi & e+fi \\ c+di & g+hi\end{matrix}\right)
Ein Berechnungsbeispiel ist unten gezeigt.
>>> Matrix([[1,5],[2,6],[3,7],[4,8]]).T*Matrix([[9,13],[10,14],[11,15],[12,16]])
Matrix([
[110, 150],
[278, 382]])
>>> expand(Matrix([[1+2j,5+6j],[3+4j,7+8j]]).H*Matrix([[9+10j,13+14j],[11+12j,15+16j]]))
Matrix([
[110.0 - 16.0*I, 150.0 - 24.0*I],
[ 278.0 - 8.0*I, 382.0 - 16.0*I]])
\left(\begin{matrix}1 & 5 \\ 2 & 6 \\ 3 & 7 \\ 4 & 8\end{matrix}\right)^{\top}
\left(\begin{matrix}9 & 13 \\ 10 & 14 \\ 11 & 15 \\ 12 & 16\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}110 & 150 \\ 278 & 382\end{matrix}\right) \\
\left(\begin{matrix}1+2i & 5+6i \\ 3+4i & 7+8i\end{matrix}\right)^{\dagger}
\left(\begin{matrix}9+10i & 13+14i \\ 11+12i & 15+16i\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}110-16i & 150-24i \\ 278-8i & 382-16i\end{matrix}\right)
Als Referenz wird das Berechnungsergebnis unter Verwendung der quaternären Matrix angezeigt.
\begin{align}
&\left(\begin{matrix}1+2i+3j+4k & 5+6i+7j+8k\end{matrix}\right)^{\dagger}
\left(\begin{matrix}9+10i+11j+12k & 13+14i+15j+16k\end{matrix}\right) \\
&=\left(\begin{matrix}
110-32j-16k & 150-48j-24k \\
278-16j- 8k & 382-32j-16k
\end{matrix}\right)
\end{align}
Dies ist das Ende des Vergleichs.
Dieses Mal habe ich das äußere Produkt nicht viel erwähnt, weil ich mich auf das innere Produkt konzentriert habe. In den folgenden Artikeln finden Sie Informationen zum Außenprodukt und zur Clifford-Algebra.
Bikomplexe Zahlen und quaternäre Zahlen werden in den folgenden Artikeln aus der Perspektive ihrer Herstellung erläutert.
Wenn Sie den Koeffizienten der quaternären Zahl anders als die Ausdrucksmatrix behandeln und berechnen, sehen Sie das Bild, dass die inneren und äußeren Produkte "innen" und "außen" heißen.
Ich bezog mich auf das Elmeat-Konjugat.
Ich habe es als Referenz für SymPy verwendet.