[Python] Ich habe versucht, den Kampf zwischen Lion und Gazel mit einer super coolen Formel namens Rotoka-Volterra-Gleichung zu reproduzieren.
Rotka-Volterra-Gleichung
Nun, eine Gleichung mit einem Namen wie diesem Zweitklässler dachte. ** Transzendentale cool. ** ** ** Dieses Mal möchte ich mit dieser Gleichung mit numerischer Berechnung (Python) spielen. Der Inhalt der Gleichung selbst sieht so aus.
\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy \\
\frac{dy}{dt}=\gamma x-\delta xy
Es ist eine ziemlich schlampige Formel, aber es ist eine ** Formel, die die Beziehung zwischen Raub und Beute ** ausdrückt. Seien Sie versichert, dass es nicht so schwierig ist, weil es ein Lametta ist! !! Dieses Mal werde ich es in der afrikanischen Kulisse von ** Lion vs. Gazelle ** lesen.
Formeln verstehen
Es gibt viele Charaktere, aber ich werde sie einzeln erklären.
Definition von Variablen / Konstanten
Variable
$ x $: Anzahl der Raubtiere (Anzahl der Gazellen), $ y $: Anzahl der Raubtiere (Anzahl der Löwen)
Konstante
$ \ alpha $: Beuteseitengeburtenrate, $ \ beta $: Beuteseitige Beuterate, $ \ gamma $: Beuteseitige Geburtenrate, $ \ delta $: Beuteseitige Sterblichkeitsrate
(Akademisch gesehen gibt es einige Teile, die genau sind, aber wir betonen die Klarheit)
Ich bin sicher, es gibt Leute, die ??? in ihrem Gehirn haben, aber bitte haben Sie etwas Geduld, wie wir im nächsten Abschnitt erklären werden.
Implikationen für Ausdrücke
Dies ist der interessanteste Ort! !! Schauen wir uns die Originalformel an, während wir uns die Bedeutung der oben definierten Zeichen ansehen.
\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy~~~~(1) \\
\frac{dy}{dt}=\gamma xy-\delta y~~~~(2)
Lassen Sie uns zuerst über (1) nachdenken.
\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy~~~~(1)
Die linke Seite bedeutet die Änderungsrate über die Zeit von $ x $, dh ** wie viel die Gazelle zunimmt **. Was kann man sich also als Zunahme oder Abnahme der Gazelle vorstellen? Ja, ** Geburt ** und ** Tod **, richtig? Die Geburt entspricht im ersten Semester $ \ alpha x $ und der Tod entspricht $ \ beta xy
Lassen Sie uns über dasselbe in Gleichung (2) nachdenken.
\frac{dy}{dt}=\gamma xy-\delta y~~~~(2)
Die linke Seite ist die Zeitänderungsrate von $ y
Versuchen Sie numerisch zu berechnen
Ich hoffe, Sie haben Ihr Verständnis von Gazel und Lion im vorherigen Abschnitt vertieft und die Formel verstanden. Da Differentialgleichungen jedoch nicht direkt von einem Computer verarbeitet werden können, verwenden wir diesmal die ** Differenzmethode ** zur Berechnung. Angenommen, $ x, y $ zum Zeitpunkt $ n $ wird als $ x_ {n}, y_ {n} $ dargestellt. Das ist
\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy~~~~(1) \\
\frac{dy}{dt}=\gamma xy-\delta y~~~~(2)
Wenn es differenziert ist, sieht es so aus,
\frac{x_{n+1}-x_{n}}{\Delta t}=\alpha x_{n}-\beta x_{n}y_{n}~~~~(1) \\
\frac{y_{n+1}-y_{n}}{\Delta t}=\gamma x_{n}y_{n}-\delta y_{n}~~~~(2)
Lösen der unbekannten Werte $ x_ {n + 1}, y_ {n + 1} $ beim nächsten Mal $ n + 1 $
x_{n+1}=(\alpha -\beta y_{n})x_{n}\Delta t + x_{n}~~~~(1) \\
y_{n+1}=(\gamma x_{n} -\delta)y_{n}\Delta t + x_{n}~~~~(2)
Wird sein. Da der Wert auf der rechten Seite aus bekannten Werten besteht (Werte der Konstanten oder der Zeit n), kann die linke Seite einfach durch Ausführen einer Substitutionsberechnung erhalten werden.
Quellcode
Diesmal habe ich es in Python geschrieben. Sie können den Wert der Konstante beliebig ändern.
Lotka-Volterra.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#Koeffizient
a, b, c, d = 0.3, 0.1, 0.3, 1.3
#Ursprünglicher Wert
init_x = 10
init_y = 2
#Zeitfortschritt
dt = 0.01
n = 5000
#Array-Initialisierung
x = np.zeros(n)
x[0] = init_x
y = np.zeros(n)
y[0] = init_y
for i in range(1, n):
x[i] = (a - b * y[i - 1]) * x[i - 1] * dt + x[i - 1]
y[i] = (c * x[i - 1] - d) * y[i - 1] * dt + y[i - 1]
print(i, x[i], y[i])
t = np.arange(0, n * dt, dt)
plt.plot(t, x, label="Prey")
plt.plot(t, y, label="Predator")
plt.legend()
plt.show()
Ergebnis
Das Ergebnis sollte wie in der folgenden Abbildung aussehen.
Erwägung
Es ist interessant, dass das Ergebnis vibriert. Wenn Sie es in chronologischer Reihenfolge betrachten,
- Die Anzahl der Löwen (gelb) nimmt zu und die Anzahl der Gazellen (blau) nimmt ab.
- Die Zunahme der Löwen hört auf und beginnt abzunehmen, und die Gazelle nimmt entsprechend zu.
- Die Anzahl der Gazellen wird zunehmen, aber nach einer Weile wird die Anzahl der Löwen zunehmen und die Anzahl der Gazellen wird abnehmen.
- Wiederholen Sie diesen Vorgang
Es ist geworden.
1. Die Anzahl der Löwen (gelb) nimmt zu und die Anzahl der Gazellen (blau) nimmt ab.
Nun, das stimmt. Wenn die Anzahl der Löwen zunimmt, wird die Gazelle gegessen und nimmt ab.
2. Die Zunahme der Löwen hört auf und beginnt abzunehmen, und die Gazelle nimmt entsprechend zu.
Als Folge davon, dass zu viele Löwen ** kein Futter mehr haben und anfangen zu verhungern ** (ich fühle so etwas wie einen Hinweis ...). Und infolge des Rückgangs der Löwen gewinnt Gazel wieder an Dynamik und beginnt zuzunehmen.
3. Die Anzahl der Gazellen wird zunehmen, aber nach einer Weile wird die Anzahl der Löwen zunehmen und die Anzahl der Gazellen wird abnehmen.
Wenn die Anzahl der Gazellen zunimmt, wird es für Lion zum ** Himmel **. Und die Gazelle wird abnehmen
4. Wiederholen Sie diesen Vorgang
Ja, diese Welt bewegt sich in diesem Zyklus für immer. Ich fühle mich seltsam.
Zusammenfassung
Dieses Mal habe ich eine coole Gleichung mit dem Namen ** Rotoka-Volterra-Gleichung ** verwendet, um numerische Berechnungen für das Löwen- und Gazellen-Ökosystem durchzuführen. Ich würde mich freuen, wenn es jemand interessant findet! Ich hoffe du magst es! !!